На первый взгляд может показаться странным, почему любое твердое вещество не может существовать в виде многочисленных кристаллических структур, соответствующих всем возможным типам решеток Браве. Утверждение о том, что в действительности одна из аллотропных модификаций оказывается предпочтительней любой другой возможной модификации, в большой степени определяется энергетической стабильностью, о которой мы уже упоминали при рассмотрении межатомных связей. Однако из условий симметрии кристаллов следует, что для любого вещества число возможных аллотропных форм ограниченно, причем нередко возможна лишь единственная структура. Это обусловлено требованием того, что точечная группа (симметрия базиса) должна обязательно согласовываться с симметрией самой решетки Браве. Операции симметрии решетки удобно изучать с помощью мощного и замечательного аппарата теории групп19, причем для детального изучения- кристаллографии желательно использовать обозначения и методы этого аппарата. Однако нам необязательно привлекать эти алгебраические обозначения для того, чтобы получить понятие о физически реализуемых операциях симметрии. По замыслу этой книги, знание элементов кристаллографии должно служить только основой для изучения тех свойств твердых тел, которые связаны с существованием периодической структуры. В литературе, приведенной в конце этой главы, содержится более исчерпывающее рассмотрение вопросов кристаллографии и симметрии решетки. 19 О применении методов теории групп для изучения кристаллических структур см. в книгах: Knox R. S., Gold A. Symmetry in the Solid State, W. A. Benjamin, 1964 [имеется перевод: Нокс P., Голд А. Симметрия в твердом теле.—М.: Наука, 1970]; Koster G. F. Space Groups and Their Representations, Academic Press, 1964. В этих книгах рассматриваются также электронные и другие свойства кристаллов, возникающие как следствие симметрии решетки, причем используется терминология теории группы 48 Гл. L Кристаллическая структура и форма твердых тел В дополнение к трансляционной симметрии рассмотрим, каким образом решетка может оставаться инвариантной (не измениться по сравнению с первоначальной) по отношению к любой из следующих операций: отражение от плоскости; вращение вокруг оси (1, 2, 3, 4 или 6-го порядка); инверсия в точке; скольжение (отражение в плоскости с одновременным переносом параллельно плоскости); винтовой поворот (вращение вокруг оси с одновременным переносом вдоль этой же оси). Последние две операции, которые требуют выполнения комбинированных действий, называются сложными операциями. Инверсию в точке можно также рассматривать как сложную операцию, поскольку она эквивалентна вращению на 180° с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Воображаемая плоскость, от которой происходит отражение, или ось вращения не обязательно проходит через точки решетки, что четко демонстрируется на примерах для двумерных случаев на рис. 1.18. Принято считать, что кристаллическая структура имеет центр инверсии, если расположение атомов относительно произвольной точки г (расстояние г измеряется относительно центра инверсии) совпадает с расположением атомов относительно противоположной точки — г. Таких кристаллов в действительности гораздо меньше, чем можно предположить с первого взгляда. В тех кристаллах, в которых существует симметрия относительно инверсии, центр инверсии либо совпадает с одним из атомов, либо находится в точке, равноудаленной от двух атомов. Как легко убедиться из следующих ниже рисунков, центр инверсии может существовать в любой решетке Браве и его отсутствие в большинстве кристаллов связано лишь с геометрическими особенностями базиса. Плоскость же отражения (плоскость зеркальной симметрии) отсутствует в ряде случаев, так как она несовместима с некоторыми из основных решеток Браве, независимо от вида базиса. В дальнейшем мы покажем, что плоскость отражения либо совпадает с одной из граней элементарной ячейки, либо делит элементарную ячейку пополам. Говорят, что кристалл обладет осью вращения /г-го порядка, если после поворота на угол 2я/м расположение атомов не изменяется. Выше уже упоминались операции вращения для случаев п—\ (это универсальная и тривиальная операция, которая на языке теории групп называется единичным элементом или единичной операцией), а также для п = 2, 3, 4 и 6, Возникает 1.2. Операции симметрии 49 Рис. 1.16. Из всех правильных многоугольников только треугольники, квадраты и шестиугольники могут образовать плотноупакованную решетку, демонстрируя таким образом свойства как трансляционной, так и вращательной симметрии. вопрос, почему в симметрии кристаллов повороты на углы, не равные 180, 120, 90 и 60°, недопустимы, ведь в природе, естественно, встречаются и другие виды симметрии, например пятиконечная морская звезда. Дело в том, что наличие трансляционной симметрии в кристаллах допускает существование лишь осей 1, 2, 3, 4 и 6-го порядка. Это показано на рис. 1.16. Правильные треугольники, квадраты и шестиугольники, полностью стыкуясь друг с другом, образуют плотную упаковку; попытка же заполнить всю область правильными многоугольниками любой другой вращательной симметрии приводит к тому, что либо остаются незаполненные участки, либо многоугольники перекрываются *. Эти утверждения можно проверить на простой геометрической модели (рис. 1.17) двумерного «кристалла», имеющего в горизонтальном направлении постоянную решетки а. Тогда в ряду А расстояние между 1-м и m-м атомами равно (т—1)а. Теперь допустим, что симметрией данной решетки разрешен * В последние годы активно изучаются так называемые квазикристаллы— системы, в которых существует ось 5-го порядка.— Прим. ред, 50 Гл. I. Кристаллическая структура и форма твердых тел Ряд А - Ряде - 1 —•— а 2 /в- X (т-1) а m \J(X Рис. 1.17. Двумерная модель, показывающая, какие углы вращения совместимы также с трансляционной симметрией кристалла. поворот на угол а. При вращении вокруг атома 2 в направлении против часовой стрелки атом 1 переместится в положение, занятое прежде атомом Г. Аналогично при вращении по часовой стрелке вокруг (пг—1)-го атома атом mпереместится в положение, занятое ранее атомом т'. Очевидно, что атомы V и т! принадлежат ряду В, так что расстояние X между ними должно быть кратно а, если поворот на угол а разрешен симметрией решетки. Предположим, что Х=ра, где р — неизвестное целое число. Разность двух неизвестных целых чисел тир можно выразить через а. Из рис. 1.17 с помощью очень простой тригонометрии получаем X = ра = (т—3) а+ 2а cos а, (1.26) откуда cos а = (3 + р—т)12. (1.27) При условии что тир целые числа, это уравнение имеет всего пять решений, которые представлены в табл. 1.4. В дальнейшем при рассмотрении различных двумерных и трехмерных решеток будет показано, что инвариантность по отношению к сложным операциям, включающим, например, вращение с одновременной инверсией, скольжение или же винто- Таблица 1.4. Решения уравнения (1.27) для вращений, разрешенных в периодической решетке р — m —1 —2 —3 —4 —5 cos а 1 1/2 0 -1/2 —1 а 0 я/3 я/2 2я/3 я Порядок оси вращения 1-Й 6-й 4-й 3-й 2-й 1.2. Операции симметрии 51 вой поворот может встречаться даже чаще, чем инвариантность по отношению к «простым» операциям. Прежде чем приступить к изучению реальных трехмерных решеток, целесообразно рассмотреть основные понятия на примере более простых гипотетических двумерных решеток, точечных и плоских групп. Плоская группа — это двумерный эквивалент пространственной группы в трех измерениях; т. е. это совокупность всех операций симметрии, при выполнении которых идеальный двумерный кристалл переходит сам в себя.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Симметрия решетки» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
