Законы электродинамики согласуются с требованиями теории относительности. Построение релятивистской механики удобно начать с описания влияния электромагнитного поля на движение заряженной частицы. Следуя Клейну [190], введем инерциальную систему отсчета С, в которой частица имеет скорость w(to)=w0 в заданный момент времени t=t0. Введем далее систему С, движущуюся относительно С с постоянной ско- ростью Wo. Таким образом, скорость частицы в системе С равна нулю только в момент времени to. Не нарушая общности, можно считать, что обе системы совпадают при /=/'=0, и положить t0=t'0=0. Так как скорость частицы w'=0 при /'=0, то в системе С в этот момент времени справедлив закон Ньютона m— = qE\ / = /'=0. (9.24) 288 Вопрос заключается в том, каким будет это соотношение для величин, измеренных в системе С. Для этого необходимо связать ускорение dw'ldt' в системе С с соответствующим ускорением dw/dt в системе С, которая движется относительно С с постоянной скоростью до0. Используя соотношения (9.2) и (9.6), получаем / dw' \ \ dt ///=о dw' ~~dT dt_ dt /r=o dw . , n / -* dw Wn i'=0 (9.25) Здесь мы положили до'@)=0. Подобный вывод можно проделать для любого момента времени /0 и любой скорости w(to). Комбинируя равенства (9.22), (9.24) и (9.25), в результате получаем уравнение движения ту dw . . л\[~*' dw \'~^ = ql4E — (y— l)(w -E)w +twXB], (9.26) где y=y(w). Умножив это уравнение скалярно на до, получим myw -*• dw dt qw • Е . (9.27) Это уравнение является релятивистской аналогией уравнения B.38), определяющего изменение энергии во времени. Подставляя уравнение (9.27) и соотношение &\ _ Y3 ""*" &и° dt ~ с2 dt в уравнение (9.26), после несложных преобразований получим m±Dw) = ±P=q(E + wXB). Ю Б Ленерт (9.28) 289 Полученное соотношение — релятивистское уравнение движения [сравни с уравнением B.36)]. Здесь P = myv представляет собой импульс. Уравнение (9.27) можно также переписать в виде ^ = qw-E, Q = чтс\ (9.29) где g — релятивистская энергия. Вернемся теперь к четырехмерному пространству, введенному в разделах 1.2 и 1.3. Определим собственное время как dr = [(rfO'--^-],/' = -?-. (9.30) Эту величину можно также рассматривать как меру длины дуги, по которой движется конец вектора положения в четырехмерном пространстве, так как 2(djtvJ--c2dx2. (9.31) Поэтому она остается инвариантной при преобразовании координат. Таким образом определим четырехмерную скорость dx _ / dp dt_ .п dt dz ~~ \ dt dz ic^A = (W Щ). (9.32) Можно также ввести четырехмерный вектор импульса (Л *>&1С) при помощи соотношений (9.19) и (9.32). Уравнения сохранения импульса и энергии (9.28) и (9.29) можно объединить в одно d2x x^i dx *nl&- = q2jF^-dr> v = (l, 2, 3, 4). (9.33) Заметим, что система четырех уравнений переопределена, так как уравнение при v = 4 соответствует закону сохранения энергии, который следует из остальных трех уравнений при v=l, 2, 3 [обозначения такие же, как в соотношении (9.7)].
Ви переглядаєте статтю (реферат): «РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
