Эффекты, связанные с конечностью ларморовского радиуса
Особого рассмотрения требуют случаи, когда не выполняется условие LCN^>LCMim. При этом необходимо учитывать следующее приближение в тензоре давления и пятый член правой части уравнения (8.9). Это приводит к появлению эффектов, связанных с конечностью ларморовского радиуса, и к дополнительному разделению зарядов. Впервые эта задача решена в работе [72] с помощью уравнения Больц- мана. При этом учитывались дополнительные члены, которые соответствуют слагаемому G4)a2vi F в уравнении C.40). В нашем изложении критерий устойчивости будет выведен при помощи результатов §2.2 и учете членов второго порядка по отношению ко второму слагаемому уравнения (8.9). Предположим для простоты, что N'/N= = const и возмущение не зависит от у, т. е. возмущение имеет форму желобков, как это показано на рис. 8.6. Рассмотрим как и в разделе 2.4, неустойчивость в поле силы тяжести. В уравнении (8.32) согласно нашему предположению все производные по у равны нулю. Воспользовавшись теперь более общими выражениями E.48) —E.50) для тензора давления, получим Рис. 8.6. Конфигурация, подобная изображенной на рис. 8.5,6. Различие состоит в том, что возмущение плотности имеет вид длинных желобков, протянувшихся в направлении у. Поверхности постоянной плотности в нормальном состоянии являются синусоидами. 1 -9 / d*v{ (div^)x = V(*U- Щ)+ -г-еВй (-- N дх* N' дх dvix d2vix yv дх ^ ' дх* (8.37) 266 Так как ларморовский радиус электронов мал, то можно считать, что тензор давления для электронов определяется выражением (8.30). Следовательно, с точностью до членов второго порядка имеем -i-Brot (div^) = ^ 5? 41 • IP" • (8-38) Итак, уравнение (8.33) остается тем же, а из травой части выражения (8.32) нужно вычесть правую часть уравнения (8.38). В первом приближении по аналогии с уравнением (8.34), полагая uf = N/Ki±/eNB, получаем Здесь Gie=—UgMiN'IN, как и в разделе 2.4. Для собственных колебаний вида exp[i(kx + x + a)t)] при aie = kxg/ui получим дисперсионное соотношение •• = ~^ie - kjif)[\ ± Г 1 - Г 1'/а), (8.40) где Г определяется формулой (8.36) при ky = 0. Решая непосредственно уравнения (8.4) без применения итераций, получаем кубичное уравнение, два корня которого определяются формулой (8.40), а третий — величиной порядка o)f. Последний корень не может быть решением, так как при (о~(ог- нарушаются условия адиабатической инвариантности. Далее будет показано, что при таком подходе не исключено появление резких градиентов плотности, поэтому теория локальных возмущений дает правильный результат только в том случае, когда N'/N = const. Уравнение (8.40) согласуется с дисперсионным соотношением [72]. Его можно также вывести из одножид- костной модели [96]. Теперь определим критерий устойчивости г <(.-?)¦ „.(*?-)¦(.-?)>.в* 267 где kxuf l -« 9 N' l « лг -^ = ofcof = г? . (8.42) *ie 2 l l Ng 2 l Ng v ' Если энергия поперечного движения l/2fniWf мала по сравнению с работой силы гравитации niig\N/N'\ на пути, равном характерной длине LcN=\N/N'\, то поправками, возникшими при учете высших порядков в тензоре ионного давления, можно пренебречь. В этом случае получается тот же результат, что и в § 2.4 при ky = 0. В то же время, если поперечная энергия много больше работы силы гравитации на указанном пути, то устойчивость определяется вкладом kxUf/a,ie в первое условие (8.41). При этом система оказывается устойчивой для возмущений с конечной длиной волны, если градиент плотности и ларморовский радиус достаточно велики для того, чтобы выполнялись условия (8.41). Если сила тяжести и градиент плотности имеют противоположные направления, то учет эффекта конечного ларморовского радиуса в тензоре ионного давления, а также конечный градиент плотности приводят к тому, что система становится более устойчивой. Второй из указанных эффектов приводит к устойчивости, системы при малых градиентах плотности, а первый — при больших. Остановимся теперь на парадоксах, которые содержатся в полученных результатах. Если исходным положением для сделанного вывода служит соотношение (8.30) (давление — скаляр) и если, кроме того, опустить в выражении (8.35) Uh, то оказалось бы, что условие устойчивости формально совпадает с соотношениями (8.41) [72]. Пренебрегая и&, мы опускаем последний член выражения (8.32), который связан со скоростью изменения момента количества движения при ларморовском вращении. Если же мы удержим этот член и в качестве тензора давления используем выражение (8.30), то слагаемые, содержащие щ и щ в уравнении (8.35), взаимно уничтожатся, так как Uf=tik. В этом случае условие устойчивости отличается от условия (8.41) и имеет вид Г<1 (см. раздел 2.4 [169]). Однако отсюда вовсе не следует, что эффект, найденный в работе [72], отсутствует. Как было показано в работе [96], а также в этой главе, 268 члены более высокого порядка в тензоре ионного давления дают дополнительный вклад в условие устойчивости. Этот вклад в точности равен вкладу, связанному с щ, поэтому выражение для коэффициента перед d2/dxdt в уравнении (8.39) содержит сумму щ—и/ + и/ = = Uf. Таким образом, условие устойчивости не меняется. Полученные результаты прекрасно иллюстрируют те трудности, которые могут возникнуть, если в дифференциальном уравнении отбрасывать члены высшего порядка по малому параметру. Так, например, отношение последнего члена ко второму члену правой части уравнения (8.32) равно по порядку величины т/еВХ X(N/N Lctc)y где Lc и tc — характерные масштабы длины волны и периода возмущения. Подобно этому отношение правой части уравнения (8.38) и первого члена правой части уравнения (8.32) примерно равно а?/2Ц> • На первый взгляд кажется, что можно опустить последний член в уравнении (8.32), т. е. пренебречь тем вкладом от vg в уравнении E.58), который соответствует изменению момента при ларморовском вращении. Подобно этому можно пренебречь эффектом конечного ларморов- ского радиуса, описываемым формулой (8.38). Однако эти приближения приводят к неправильным выводам, так как при учете последнего члена в уравнении (8.32) и соотношения (8.38) окончательные результаты существенно меняются. Вклад их в дисперсионное соотношение так же важен, как и слагаемые, возникшие из членов, содержащих щд\дх в уравнениях (8.32) и (8.33). Другими словами, при оценке различных членов дифференциального уравнения следует принимать во внимание не только порядок величины, но и их математическую структуру. Наконец, эти результаты наглядно показывают, что замена е0 в уравнении B.5) эквивалентной диэлектрической постоянной Nrrii/B2 является слишком грубым приближением. Выражение (8.38), а также разность между уравнениями (8.32) и (8.33) соответствуют дополнительным членам в тензоре давления, связанным с ларморовским вращением. Когда же ео заменяется Nrrii/B2, то эти эффекты не учитываются. Получающиеся при этом уравнения для скорости локального изменения плотности электрического заряда do/dt нельзя свести к уравнениям типа B.5) и C.50).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Эффекты, связанные с конечностью ларморовского радиуса» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
