Неустойчивость резкой границы плазмы в поле силы тяжести при малых ларморовских радиусах
Предположим, что в невозмущенном состоянии плазма с плотностью N = N\, расположенная в верхней полуплоскости, отделена резкой границей от плазмы с плотностью N = N2 в нижней полуплоскости (на рис. 8.5,а). Сила тяжести g действует вдоль отрицательного или положительного направления оси у, а плазма удерживается однородным магнитным полем, направленным по оси z перпендикулярно плоскости рисунка. Предположим для простоты, что тепловые скорости электронов и ионов невелики, так что эффекты, связанные с конечностью ларморовского радиуса, можно не учитывать. Рассмотрим теперь возмущение границы, которое представляет собой синусоиду с длиной волны 2n/kXy 255 причем возмущенное состояние вначале такое, что плазму можно считать электрически нейтральной по обе стороны границы, а плотность плазмы равна соответственно Ux,t)\ 6 Ц *d^ftlflllllllIШДUн^' гя/кх Рис. 8.5. Разделение зарядов во внутренней области замагниченной^ плазмы в результате гравитационного дрейфа распределения плотности. а — резкая граница между двумя областями, занятыми пла $- мои с плотностью N, и ЛГ2; б — градиент плотности невозмущенного состояния dN/dy при синусоидальном возмущении плотности в плоскости х, ц приводит к образованию впадин л гороов по поверхности постоянной плотности Вертикально заштрихованные участки соответствуют увеличению плотностч при отклонении от оси х вниз и уменьшению плотности при отклонении вверх N{ и N2. Таким образом, амплитуды Аг- и Хс пространственных возмущений шлотности электронов и ионов равны в начальном состоянии, т. е. >^0)=X0sinVx = >v@). (8.11) 256 Во всей внутренней области плазмы, исключая границу, уравнение (8.9) принимает вид (v*x|-).- дп' ;.---"; v«i—— v2— (8.12) N -~2 дф -=-(^фХ^)Я--^в-(^ХВ)-Я. (8-13) Так как невозмущенные плотности N\ и N2 не зависят от координат и времени, то линеаризация уравнения (8.13) приводит к соотношению 1 -^ -^ - ?-tt<*x/*>v az, = 0. (8.14) Отсюда следует, что распределение плотности электронов не меняется в системе координат, движущейся со скоростью ug = —gXB/coiB относительно центра масс невозмущенного состояния. Мы считали, что в начальный момент времени пе@) было равно N\ и N2 в верхней и нижней полуплоскостях соответственно. Поэтому пе остается постоянной внутри плазмы во все остальные моменты времени. Этого следовало ожидать, так как мы пренебрегли инерционным дрейфом электронов. Вычитая из выражения (8.12) уравнение (8.13), при помощи уравнения (8.10) получим -(?о+тЬ24г= —(?ХБ)^ (8-15) Вспоминая, что пе постоянная величина внутри плазмы, а Ф обращается в нуль в начальный момент времени, получаем у2ф =. 0 (внутри плазмы) (8.16) Учитывая условие непрерывности электрического потенциала при переходе через границу, получаем уравнение (8.16), ограниченное при у=±ооу ф = [Sb (t) sin kxx + Cb (t) cos kxx] exp (=F kxy). (8.17) 9 Б Ленерт 257 Здесь Sb и Сь — функции времени; 2n/kx — длина волны возмущения границы, а плюс и минус относятся к нижней и верхней полуплоскостям рис. 8.5, а. Согласно дрейфовой теории и уравнениям (8.12) и (8.13), ведущие центры ионов и электронов в первом приближении дрейфуют так же, как соответствующие распределения плотности. Скорость поперечного дрейфа одинакова для ионов и электронов и составляет (\/В) дФ/дх. Далее, смещение ионов в горизонтальном направлении примерно равно нулю, а электроны двигаются вдоль оси х со скоростью ug = —g'/cot, где g может иметь любой знак. В системе координат, движущейся вместе с дрейфующей частицей, радиусы пространственного распределения зарядов меняются во времени, так что д / д д \ 1 / лф \ Здесь правая часть уравнения вычисляется в точках слабовозмущенной границы. Будем считать, что для амплитуд пространственного возмущения справедлива следующая зависимость: X. = S. (/) sin kxx + Ct @ cos kxx (8.19) и \e = Se (t) sin (kxx - ziet) + Ce (t) cos (kxx - 7iet). (8.20) Здесь aie = kxug — частота, с которой электронное облако колеблется относительно ионного. Отделение ионного облака от электронного за счет дрейфового движения вызывает появление электрического заряда o^eWi-NtHh-K) (8.21) на единицу площади плоскости xz. Так как возмущение мало, этот заряд можно считать поверхностным, расположенным вблизи невозмущенной границы у = 0. При помощи уравнения (8.18) определим скорость изменения этого заряда во времени d^i_ = е (jV _ Ni) и ^l_ 9 (8.22) 258 В данном случае характерно время, в течение которого электронное облако проходит через ионное в направлении оси х. Следует отметить, что на движение электронного облака не влияют инерционные дрейфы. Поэтому скорость изменения плотности заряда, созданного электронами, определяется скоростью конвекции иё. Ионное облако за счет инерционного дрейфа движется очень медленно, кроме того, инерционный дрейф приводит к появлению дополнительного пространственного заряда. Предположим, что градиенты плотности на границе конечны, но очень велики. Тогда скорость изменения заряда из-за конвекции электронов определяется правой частью уравнения (8.15), которая совпадает с правой частью уравнения (8.22) в пределе резкой границы. Следовательно, интересующую нас задачу можно свести к изучению колебаний поверхностного заряда [уравнение (8.21)], распределенного на поверхности, отделяющей среду с диэлектрической проницаемостью Eo + triiNi/B2 от среды с диэлектрической проницаемостью го +miN2/B2. Это верно до тех пор, пока мы пренебрегаем ларморовским движением ионов и электронов [см. формулу E.55)]. Полученный результат сохраняется даже тогда, когда нарушается седьмое условие раздела 2.2. Согласно теории нормальные компоненты электрического поля — \Ф с обеих сторон заряженного слоя связаны следующим образом: «t — (v: ш,¦-$-)ф + (ц + «,-?) (?¦).. (8.23, Здесь производные берем по обе стороны границы в непосредственной близости от нее. Комбинируя полученные выражения с формулой (8.17), получаем следующее соотношение: - (lH = (|гJ= °Л2е, + т^г + N2),B*\. (8.24) Дифференцируя уравнение (8.24) по х и используя уравнения (8.18) и (8.21), получаем St sin kxx -f С, cos kxx = Se sin (kxx — a{et) + 9* 259 + Ce cos (kxx — diet) = — а^Г [St cos k^c — С i sin kxx — - Se cos (kxx - aiet) + Ce sin (kjc - *iet)\. (8.25) Здесь г — 4e* {Nl"" ^2) f Я 9fi^ 1 kxgm. [2e0 + m. (^ + N%)/B*] ' K°'^} Это уравнение можно решить элементарными методами [169]. После простых тригонометрических преобразований и введения новых переменных Si+Se> Si—Se, Ci + Ce и Ci—Ce уравнение легко решается. В результате Si=Se=:Xs и С* = —Се=ке, где + Х5Д0 = COS (— OLiet ) Ch (— r'oiiet ) + + (Jr)sin(-i.a»)sh(^-Pali/)f Г>1, (8.27) К/К = cos (-La?#<) cos (-L | Г | <W) + sin(-^-a,,/)sin(^- | Г I «**), Г< 1, (8.28) I" а Г'=(Г—1I/я. Подобные соотношения справедливы также для Л*. Из формул (8.26) —(8.28) следует, что система неустойчива, когда Г>1, и устойчива, когда Г<1. Согласно уравнению (8.26) знак выражения — определяет знак Г. Возможны три случая. g 1. Бели (N\—Л^)/#>0, т. е. Г<1, то это соответствует системе — легкая жидкость над тяжелой. Такое равновесие всегда устойчиво. 2. Если Г>1, а (N\—#г)?<0, то в данном случае возникает неустойчивость, аналогичная гравитационной неустойчивости Релея — Тэйлора (тяжелая жидкость над легкой). Это имеет место для достаточно больших значений величины (N\—N2)/N\+N2. В случае, когда N2-+O, а плазма имеет резкую границу (см. рис. 8.1), решение (8.27) принимает вид К=Кеч№№ (8.29) 260 для малых значений величины aiet (см. рис. 8.5, а). Этот результат впервые получен в работе [168]. При этом плазма уходит с экспоненциально нарастающей скоростью поперек магнитного поля. Когда амплитуда возмущения станет достаточно большой, дальнейший рост ее может прекратиться из-за нелинейных эффектов. 3. Если 0<Г<1, a (Ni—N2)/g<0, то можно по- прежнему использовать аналогию с равновесием тяжелой жидкости, расположенной над легкой. В этом случае амплитуда возмущения также нарастает во времени при малых aiet, как и во втором случае. Однако вынуждающая сила, зависящая от разности плотностей N\—N2, приводит к появлению электрического поля, которое теперь слабее, а следовательно, возмущение нарастает медленнее. Когда величина aieU определяющая разделение зарядов, достигает значения я/2, дрейф из-за электрического поля меняет направление, что приводит к колебаниям. Такие колебания могут происходить и во втором случае (слабая неустойчивость), однако из уравнения (8.28) следует, что амплитуда остается конечной. В заключение отметим, что решение, определяемое формулой (8.29), не зависит от магнитного поля, а инкремент неустойчивости совпадает с инкрементом гидродинамической неустойчивости Релея — Тэйлора. В более общем случае решение зависит от напряженности магнитного поля [см. уравнения (8.27), (8.28)].
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Неустойчивость резкой границы плазмы в поле силы тяжести при малых ларморовских радиусах» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
