Предположим, что частица удерживается магнитным полем ловушки между двумя точками отражения s = S\ и s = s2 на некоторой силовой линии, как это показано на рис;. 6.3. При этом, как и в гл. 4, предположим, что электростатическое и гравитационное поля отсутствуют. Величина магнитного поля В = = B(s, t) есть функция продольной координаты 5. Если магнитное поле В меняется достаточно медленно по сравнению со временем обращения частицы по ларморовской орбите tg, а также по сравнению со временем продольных колебаний t ]{ между точками отражения, то эквивалентный магнитный момент М = — F.15) 2sn Рис. 6.3. Движение частицы вдоль магнитной ежовой линии между двумя точками отражения s{ и $2- Координата точки пересечения траектории частицы с плоскостью минимального магнитного поля В0 равна Го. 2В (s, t) и продольный инвариант У = т & и.. ds = 2т | и ds F.16) 178 будут приближенными интегралами движения. Теперь рассмотрим явления сжатия в магнитном поле В, основываясь главным образом на результатах, которые были получены Постом [106]. Прежде всего обсудим нагрев частиц, связанный с приближенным сохранением магнитного момента М. Так л А дА ' как характерное время А/ , изменения магнитного dt поля велико по сравнению с временами tg и t v то члены в правой части уравнения B.38) достаточно малы. Ввиду этого выражение для полной скорости w2^u\ +W2^W2m. F.17) Эта величина оказывается приблизительно постоянной в течение времени tv но существенно изменится за время, сравнимое с временем изменения магнитного поля. В уравнении F.17) и± <с№, а величина Wm равна скорости вращения частицы по ларморовской орбите в точках поворота S\ и 52, где Иц = 0. Согласно уравнению F.15), соответствующие значения магнитного поля в точках двух последовательных отражений В\ и В2 = Вт равны. Они связаны со скоростью W следующим образом: ^^ = ZL = j^. = ^L = const B(s,t) B0(t) Bm(t) m Здесь индекс 0 относится к «экваториальной» плоскости ловушки, где величина магнитного поля В имеет минимальное значение. Комбинируя уравнения F.17) и F.18), получаем .2 1V/2 /1 JL Так как и2,. — положительная величина, то частица не может достичь области, где поле превышает значение В = Вт. Формула F.19) представляет собой хорошо известное соотношение, которое описывает движение частицы в ловушке с магнитными зеркалами. Введем пробочное отношение K^^iik' R« = E?-- F-20) =wl{x-jr)' FЛ9) 179 Используя формулы F.17), F.18) и F.20), получаем w2(t) = w*@)- Rm(t) Rm@) go«) В0@) F.21) где увеличение энергии частицы выражается при помощи параметров продольного и поперечного сжатия. Теперь исследуем некоторые особенности движения частицы по ларморовской орбите. Магнитный поток, который охватывает частица при ларморовском вращении за один оборот, равен na2B = 2(m/q2)M и, как показано в разделе 1.2 гл. 4, является приближенным интегралом движения. В то же время при движении в магнитной ловушке частица касается двух силовых линий магнитного поля, которые пересекают «экваториальную» плоскость в точках Го и г0+2а. Магнитный поток через соответствующую кольцевую область в экваториальной плоскости равен ДФо«4яг0ОоВо, как это видно из рис. 6.4. Если частица двигалась вдоль магнитного поля В, то в новом положении она будет касаться других силовых линий, которые обозначены пунктирными линиями, причем соответствующий поток равен ДФ«4яга5. Отсюда следует, что ДФ/ДФ0 = (г/г0) X X(?/?0I/f. Поэтому при вращении по ларморовской окружности частица будет касаться тех же силовых линий только в том случае, если В~1/г2. Этот результат справедлив для магнитного поля монополя, которое показано на рис. 2.6. В общем случае произвольной ловушки с магнитными пробками это неверно. В частности, это несправедливо для частицы, вращающейся по ларморовской окружности вокруг силовой линии, которая не проходит через ось симметрии. Рис. 6.4. Движение частицы в магнитном поле пробочной конфигурации, когда величина -магнитного поля В увеличивается быстрее чем 1/г2. Из рисунка видно, что при движении вдоль силовых линий частица касается различных силовых линий. 180 Обратимся теперь к продольному адиабатическому инварианту. Из формул F.16) —F.18) и F.20) получаем J = 2т ] (W2m — W2Lt ds = (8mM)l,> J (Вт — BL*ds = st si = l8mMB0(t)\4* [ lRm(t)-R(stt)]lf'^dR, F.22) где В незначительно меняется за время продольного периода f(|. При помощи этого соотношения можно определить, как перемещаются в процессе сжатия точки отражения s\ и s2. Соотношения F.21) и F.22) дают полную информацию об изменении плотности и энергии частиц. Проиллюстрируем это на следующих трех примерах: 1. Пусть в процессе сжатия форма магнитного поля не изменяется "w-iw^ + i-kf- F-23) где sB — постоянная величина. Тогда преобразуем формулу F.22) J = *sl(ty Р^М'Н* , F.24) SB где 2sm(t)—расстояние вдоль магнитного поля между точками отражения в момент времени t. Из условия сохранения / получаем выражение для коэффициента продольного сжатия ^ Sn, @) Х|1 sM(t) B°(t) -ll/4. F.25) *о@) При этом изменение пробочного отношения определим из уравнения JRm(t)-l]* =gojOLt F26) [/?m@)-U2 B0(t) Если предположить, что пробочное отношение достаточно мало, то величину магнитного поля приближенно 181 можно считать пропорциональной 1/г2 вдоль произвольной силовой линии. Это означает, что в течение всего процесса сжатия сохраняется поток в соответствии с § 6.1 этой главы. Введем соответствующий коэффициент сжатия в поперечном направлении х -.ML х *.@) ' Тогда полный коэффициент сжатия равен n(t) F.27) •X я@) \в^щи б28 Он определяет относительное увеличение плотности n(t)/n@). При этом прирост энергии найдем при помощи уравнений F.21) и F.26) w*(t) В0 @ ГГВо@) у/, Г- Вв @I , Во@) ш2@) В0@) IfW^h W + M), F.29) UMoJ I вм@)Г Bm@)j v Из уравнения F.25) видно, что расстояние 2sm между точками отражения уменьшается даже в том случае, если форма магнитного поля сохраняется в течение всего процесса сжатия. Это и понятно, так как в отсутствие столкновений продольные и поперечные движения не связаны друг с другом. Кроме того, при поперечном движении из-за большего числа измерений по сравнению с продольным движением происходит более сильное сжатие, а потому W2 увеличивается быстрее, чем и2{ . Это согласуется с полученным выше результатом х± > >*ц. Так как отталкивающая сила, связанная при продольном движении с W2, увеличивается быстрее, чем «давление частиц» и2г то точки отражения движутся навстречу друг другу. 2. Если в радиальном направлении магнитное поле постоянно, а меняется только расстояние между точками отражения частицы в магнитном поле, то возникает так называемое одномерное сжатие [76]. Упрощенная модель такого сжатия рассмотрена в разделе 1.3 гл. 4 (см. также рис. 4.4). При одномерном сжатии хх остается постоянным, а хй увеличивается обратно пропорционально sm(t). Как следует из уравнения D.21), увели- 182 чение энергии связано в этом случае только с увеличением продольной скорости, так как W(t) =W@) и «¦(О-УЦО) = и\ @ = 4@) F до) »¦(<>)-Г» (О „2 @) 4@* 3. В принципе при помощи полученных уравнений можно рассмотреть процесс сжатия, при котором форма магнитного поля меняется произвольно. Однако вычисления становятся при этом довольно сложными. Ограничимся поэтому следующим простым случаем, когда R — такая функция gBi что «¦^¦*-*й' <в-з1) a sB(t) в процессе сжатия изменяется так, что R оказывается независимым от / для всех точек между S\ и $*. Поведение функции gB в этом случае определяется изменением масштаба продольной координаты магнитного поля. Это происходит, когда пробки медленно движутся навстречу друг другу, а пробочные отношения остаются постоянными. Обозначая посредством gBl функцию, об- / / ч &* а(ёв1) х ратную gB (s/sB), получаем = sB — —. Тогда формула F.22) примет следующий вид ЯтB) J = sB(t)l8mMB0(t)]4' J [Rm-R(s)]^^^dR. F.32) Но функция g~l и квадратный корень в подынтегральном выражении будут функциями только от пробочного отношения R(s), которое по предположению не зависит от времени для всех точек 5 внутри рассматриваемой конфигурации. Поэтому подынтегральное выражение не будет теперь явно зависеть от времени. Особенно интересен случай, когда значение Rm остается постоянным для всех захваченных частиц плазмы. Тогда из условия сохранения / следует, что величина s2B В0 постоянна для всех частиц. Так как площадь поперечного сечения магнитной трубки пропорциональ- 183 на l/В, то сжатие однородно по всем направлениям. Предположим теперь, что пробочное отношение настолько мало, что выполняется соотношение F.27). Если Вт не зависит от времени, то энергия частицы, как следует из формул F.21) и F.27), увеличивается пропорционально коэффициенту поперечного сжатия лт.=м«х . (б.зз) и>*@) Во@) х При этом объем газа меняется пропорционально (хл X X *j_)-1 или (*±)~',*> так как Следовательно, средняя энергия частицы изменяется обратно пропорционально объему в степени 2/3. Как и следовало ожидать, это согласуется с адиабатическим законом E.60) для изотропного сжатия газа с показателем адиабаты, равным 3/2.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Сжатие плазмы в ловушке с магнитными пробками» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
