В предыдущем параграфе рассматривалось уравнение сохранения импульса с точки зрения дрейфовой и гидродинамической теорий. В настоящем параграфе мы установим соответствующую связь между этими двумя теориями на примере закона сохранения энергии. Начнем с закона B.1) электромагнитной индукции. Ограничиваясь членами низшего порядка в уравнениях 157 E.20) и E.52) и используя условия, перечисленные при выводе формулы E.55), получаем — = Е - — wg - -7х В. E.56) q д * Воспользуемся теперь законом индукции B.1). Тогда 1L = rot(^X В) - -G^)В + (В.уO— BdivT. E.57) dt Предположим, что выражение для тензора давления определяется формулой E.21), и подставим (В- y)v из выражения E.57) в уравнения E.34) и E.35). Находя div v при помощи уравнения E.17), получаем И (ir + '-v) (?)-<>• <5-59> Эти уравнения, выражающие закон сохранения энергии для продольного и поперечного теплового движения, впервые были выведены Чу, Гольдбергером и Лоу [90]. В изотропном случае, когда р^=р±=р, эти уравнения нужно заменить одним уравнением, которое непосредственно следует из выражений E.33) и E.17): (i+^vM-fr)-0- <5-60> Это уравнение представляет собой хорошо известный адиабатический закон. В нулевом порядке по параметру е массовая скорость v равна выражению E.55) и совпадает со средней скоростью дрейфа ведущего центра ы, вычисленной в том же приближении. В этом случае величины •4-=— =Alf -^— = — = СЬ E.61 определенные согласно уравнениям E.59) и E.58), совпадают с адиабатическими инвариантами в системе 158 отсчета, которая движется со средней скоростью дрейфа частиц. __ Первый из инвариантов М — это среднее значение эквивалентного магнитного момента. Проводя несложные рассуждения, нетрудно убедиться, что второй адиабатический инвариант С\\ непосредственно связан с продольным адиабатическим инвариантом /, введенным в гл. 4. Предположим ,что внутри силовой трубки с магнитным потоком Ф и средним сечением 5 = Ф/5 находится постоянное число частиц со средней плотностью п (см. рис. 4.4). Пусть среднее расстояние между магнитными пробками, где происходит движение частиц, равно 2sm. Так как полное число частиц внутри силовой трубки не изменяется, то величина /г55т=Ф(/г/5Mт должна сохраняться. Комбинируя эту величину со вторым инвариантом из E.61), можно показать, что величина и\ $2т должна быть постоянной. Но как легко убедиться при помощи определения продольного адиабатического инварианта D.8), эта величина совпадает с /2. Кроме того, из уравнения E.56) следует, что поле, скоростей в нулевом порядке по параметру е удовлетворяет условию сохранения потока B.9). Рассмотрим аксиально симметричную конфигурацию, аналогичную изображенной на рис. 4.1, е. Предположим, что средняя массовая скорость v возникает под действием аксиально симметричного поля сил F. В нулевом порядке ао параметру е скорость v равна скорости ведущих центров и. Рассмотрим далее контур С, который движется вдоль оси вместе с полем скоростей v. Пусть он имеет форму коаксиального кольца, образованного частицами, которые в момент времени t0 были расположены на некотором расстоянии от оси. В более поздние моменты времени эта кривая пройдет через те же силовые линии, на которых расположены частицы, совпавшие в момент времени t0 с контуром кольца. Отсюда следует, что при изменении магнитного поля во времени рассматриваемый контур будет охватывать постоянный поток Ф. Это и означает, что в нулевом порядке по параметру е величина Ф есть адиабатический инвариант в полном соответствии с определением раздела 1.5 гл. 4. 159 Полученные результаты, касающиеся сохранения потока и адиабатических инвариантов E.61), имеют непосредственное отношение к явлениям магнитного сжатия, которые будут рассмотрены в гл. 6.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Адиабатические изменения состояния» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
