Уравнение Власова E.9) можно решить методом последовательных приближений, представляя решение в виде ряда по степеням некоторого параметра малости е. Опять предположим (см. § 3.1), что магнитное поле и поле приложенных сил меняются достаточно медленно в соответствии с условиями C.1), C.2) и C.34). При этом мы ограничимся лишь кратким изложением некоторых результатов, которые были получены в работах [92, 95]. Полагая F—qEy запишем уравнение Власова е dw„ J q Заметим, что отношение ?ц/е должно быть величиной нулевого или более высокого порядка малости по е в соответствии с уравнением C.34). Произведем преобразование в пространстве скоростей, вводя вместо (р, w9 t) другие независимые переменные (р, w\ t), где скорость w' определяется следующим образом w' = w — ~u\ E.37) 150 причем ?х + ?ХВ = 0. E.38) В низшем порядке по параметру малости w'^ оказывается равной 'скорости вращения частицы W. Введем полярные координаты «в 'пространстве «скоростей ад! = w'± (cos Ф> sin ф)- E.39) В результате этих преобразований уравнение E.36) примет следующий вид где оператор D определяется как l-iD'. <6-40» Df = D'f — (D V) А — w' (D'B) -=J- + причем + W'UD>B)JL+±±.V, E.41) do»' e? *» I 1У =±+& + u')-V, E.42) 5/ a d/dw'= y'w. Члены в правой части уравнения E.40) первого порядка по параметру е. Поэтому если пренебречь правой частью этого уравнения, то можно 'получить решение /о в нулевом порядке по этому параметру. Соответствующее решение можно представить в еле* дующем общем виде /о = /.(а?«»|.М), E-43) так как оно не зависит от ср. Заметим теперь, что если уравнение E.40) записать в безразмерном виде, то параметр е окажется по порядку величины равным 151 1До^с<^1. Поэтому можно разложить f в ряд по степеням г /=2*7(,,) (v-0, 1,. . •)• E-44) Подставляя это разложение в уравнение E.40), получаем соотношение, которое должно выполняться при любом значении е, а следовательно, оно будет выполнено для каждого отдельного члена, пропорционального определенной степени е, т. е. D/(v}, <v = 1, 2, . . .)• E.45) Теперь из формул E.43) — E.45) получим решение этого уравнения с точностью до первого порядка по параметру е: f{=fw + ep\ где /<°>=/0, а /(,) - giWL w\, Р? /) Ч — f Dfjbf. E.46) Так как найденное решение должно быть периодическим по переменной ф, то на /о нужно наложить условие периодичности, т. е. Jof0d(f=0. <5.47) о При помощи этого соотношения частное решение f\ неоднородного уравнения, описываемое последним членом в уравнении E.46), можно записать в другом виде. На каждом этапе решения уравнения методом последовательных приближений на полученное решение следует накладывать указанное условие периодичности. Мы не будем подробно выводить окончательного выражения для f\. Однако следует отметить, что функцию /i можно использовать при вычислении компоненты тензора давления, образуя моменты с различными компонентами скорости согласно уравнениям E.19) и E.12). Если ось z направлена вдоль магнитного поля В, которое с достаточной степенью точности можно считать однородным, то для поля скоростей, расположенных dtp 152 в плоскости ху9 компоненты тензора давления, можно записать в виде [95, 96] 1 -, / dvy dv \ ***-p±-^rnm«>ga2(-i>r+-w)' , 1 -, / dvy , dvx \ E.48) E.49) E.50) В уравнениях E.48) — E.50) p±—поперечное скалярное давление в нулевом порядке по параметру е, а а — ларморовский радиус частицы. В наинизшем порядке по параметру е поперечную гидродинамическую —»• скорость жидкости v± в уравнениях E.48) — E.50) можно заменить скоростью электрического дрейфа иЕ-
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Приближенное решение уравнения Власова» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
