Рассмотрим газ, состоящий из N частиц, состояние которого можно задать при помощи 3N пар {quPk) обобщенных координат и импульсов. Введем теперь бМ-мерное фазовое пространство и будем считать газ единой системой с 3/V степенями свободы. Тогда состояние движения этой системы полностью определится заданием точки (<7ь..., <7злг, Pu-.-,Pzn) в 6УУ-мерном фазовом пространстве. При этом соответствующий гамильтониан обозначим H(qu .. .,q3N, /?ь .. .,/?злг). Далее рассмотрим ансамбль из большого числа тождественных систем, не взаимодействующих друг с другом. В некоторый момент времени / = 0 зададим в б/У-мерном фазовом пространстве точки, каждая из которых представляет собой некоторую систему определенного нами ансамбля в начальном состоянии. Исследуем теперь, как движется эта совокупность точек в фазовом пространстве в зависимости от времени. Так как число систем в ансамбле фиксировано, то точки в фазовом пространстве не могут зозникать или исчезать. Следовательно, мы можем рассматривать точки в фазовом пространстве как некоторый «газ» без источников и стоков и записать соответствующее «уравнение непрерывности». Если ввести плотность точек в фазовом пространстве F, то получим ?+|;г^<*->'--д>>1- = -^ +{/%//) = 0, E.1) где мы использовали канонические уравнения B.56) и B.57), а скобки Пуассона во втором равенстве определены аналогично выражению B.59) для ?=1,...,ЗЛЛ Уравнение E.1) представляет собой теорему Лиувилля. 141 Так как второе равенство в соответствии с выражением B.59) имеет вид полной производной по времени dF/dt от F, то очевидно, что фиктивный газ фазовых точек движется в 6уУ-мерном фазовом пространстве подобно несжимаемой жидкости. Рассмотрим теперь физический газ, который состоит из очень большого числа N частиц. Предположим, что взаимодействие между частицами достаточно мало, так что им можно пренебречь. Тогда частицы можно рассматривать как совокупность N систем, взаимодействие между которыми полностью отсутствует. Введем функцию распределения f{qk, р}{, t) для ансамбля таких систем в шестимерном фазовом пространстве {quPk)- В этом случае по аналогии с выражением E.1) теорему Лиувилля запишем в следующем виде: 4- = %¦ + If, Я) = 0. Г5.2)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Теорема Лиувилля» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
