ИНВАРИАНТНОСТЬ В ВЫСШИХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ. ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА
При движении в электромагнитном поле произвольного профиля частицы дрейфуют вдоль и поперек магнитных силовых линий. При этом заранее не ясно, можно ли изучать адиабатическую инвариантность в трехмерном случае теми же методами, которые использовались в § 2 при рассмотрении адиабатической инвариантности в одномерном случае. Вращение по ларморовской орбите, а также продольный и поперечный дрейфы не являются» вообще говоря, независимыми движениями. В связи с этим следует отметить найденные в работе [74] канонические преобразования, которые полезны при изучении точных уравнений движения. Как следует из гл. 3, применяя указанные канонические преобразования к точным уравнениям движения, можно показать, что движение частицы описывается тремя степенями свободы, каждая из которых совпадает соответственно с вращением по ларморовской орбите продольным и поперечным дрейфами. Пользуясь преобразованными уравнениями движения, Гарднер [74] показал, что изучать адиабатическую инвариантность в трех- * В работах [85] исследовано неадиабатическое движение заряженной частицы в различных переменных магнитных полях. — Прим. перев. 132 мерном случае можно при помощи тех же методов, которые использовались при изучении одномерного гармонического осциллятора. В этом параграфе ограничимся изложением теории эквивалентного магнитного момента при помощи интеграла действия, которая развита Крускалом [46]. Берковиц и Гарднер [70] показали, что выражение C.6) для радиуса-вектора частицы р(/) удовлетворяет точному уравнению движения C.3). При этом для почти периодической системы можно определить интеграл действия B.71), который имеет вид D.2) и связан с тем, что решение C.6) допускает введение функции #(/), непосредственно связанной с вращением частицы по ларморовской орбите. Именно поэтому интеграл действия / D.2) является точной константой. Отсюда следует, что, разлагая в ряд подынтегральное выражение в формуле D.2), можно получить разложение для эквивалентного магнитного момента с точностью до любого порядка по параметру малости е. Этот результат получается при подстановке р и dp/dt из выражения C.6) в интеграл D.2). Теперь вернемся к результатам раздела 1.3 гл. 3. Складывая скалярные произведения вектора С! на обе части векторного равенства C.32) и вектора Sx на обе части векторного равенства C.33), получаем следующее соотношение: (С? + S\)& + 2b(C1XSi)-В + 2e»(si •C1 — Cl.'S1)+ + eC1.(C1Xfy+*Sl-(S1Xfy-zB{C] + S2l)^ = 0(е«), D.96) где в уравнениях C.32) и C.33) использовано выражение C.34) для силы F. Таким образом, в результате имеем + C1.[(C].V)(CXS)I +X'\{S1'V)(CXB)l D.97) 133 где все коэффициенты вычислены в центре вращения частицы. Выражения C1^-S1xB-\-0(e)y~Sl = C1XB + 0(B) D.98) в соответствии с уравнением C.39) удовлетворяют уравнениям C.35) и C.36). Как было отмечено в разделе 1.3 гл. 3 в связи с формулой C.37), члены более высокого порядка по # нельзя определить из разложения C.6), и поэтому их можно выбирать произвольно. Вид этих членов зависит от того, как мы определяем векторы Cv и 5V, связанные с вращением по ларморов- ской орбите [47]. Потребуем, чтобы векторы С\ и S{ удовлетворяли следующему условию: CJ.Sj^O'(e). D.99) Тогда, дифференцируя по времени уравнение C.35), а также используя уравнения D.99) и D.98), получаем Cj-Si = -CrSi + 0(e) = Cv (СгхВ) + 0(e). D.100) Аналогичное уравнение можно получить также для величины S\- (S\XB). Это озн-ачает, что выбрано такое представление, в котором Сх и Сь а также S\ и S\ попарно почти параллельны, т. е. векторы С{ и Si не вращаются вокруг В, а только меняют со временем свою величину в первом порядке по теории возмущений. Именно так выбраны векторы С\ и S{ в работе [65]. При этом, согласно условию D.100), третий, четвертый и пятый члены в выражении D.96) обращаются в нуль, и решение для Ф принимает следующий вид: 0 =?+ sVo) + 0(e2). D.101) 134 Справедливость этого решения легко установить, подставляя его в уравнение D.96) и используя при этом условие D.99). Теперь вычислим интеграл действия, который определяется выражением D.2). Пользуясь разложением C.6), получаем У* = тф С + еCi cos — + eSxsin — — OC^sinX X — + &SlCos— + -^-Л+0(е2I [-Cxsin— + ? ml .1,1 + Si cos 2sC2 sin f- 2eS2 cos h e e e + 0(e2)j d» = const, D.102) где индекс / означает, что время t следует считать постоянным всюду, где оно явно входит в выражения. Это значит, что при вычислении /* производные от С, Сх и Si по О исчезают. Интегрируя в формуле D.102) по # в интервале от 0 до 2яе, получаем y* = e/nic»(Ci+S?) + <7 \ ГЛ (S^cos^ CiSin— )l X о Xd» + 0(s3) =econst. D.103) При вычислении интеграла учитывалось, что C\-S\ и C\S\ в первом порядке по параметру е обращаются в нуль в соответствии с уравнением D.100). Так как явная зависимость от времени / подынтегрального выражения в формуле D.103) отсутствует, то интегрирование по Ф следует производить вдоль замкнутой орбиты. По теореме Стокса приведенный выше интеграл представляет собой полный магнитный поток через площадь, 135 которую заметает при движении вектор р за один период по ft. Соответствующий элемент поверхности равен ^* —*¦ Tds = - 4-ГхG+ ф> » -4«+ -S-rf» = = - -j-etCiXSOrf» + 0(е«), D.104) где минус указывает на то, что положительно заряженная частица в магнитном поле В вращается по часовой стрелке* если смотреть вдоль направления магнитного поля. Используя выражение C.7) для магнитного поля и выражение D.104) для элемента поверхности, получаем по теореме Стокса следующее выражение для интеграла D.103): У* = гтгЛ {С\ + Si)— emirB.(C1x51) + 0(83)- const.D.105) Из формул D.98) и C.35) следует B&XSi) - у (С? + S?) + 0(е2). D.106) Поэтому формулу D.105) можно переписать в следующем виде 1L = ± т (» - ± В) (С? + S?) + О Н = const, D.107) где /*/2ле — среднее значение подынтегрального выражения в формуле D.102). Среднюю величину квадрата —>¦ —»- скорости вращения W=da[dt за период $ = 2т легко получить при помощи разложения для вектора положения частицы C.6) <W*> = -i- Г (?)(d» = JU2(C? + .Si)+O(e2).D.108) 2яе Л 2 G Комбинируя формулы D.101) и D.108), для эквивалентного магнитного момента [48] найдем M = ^ = -|m(&-^-fi)(S?+C?) + 0CJ). D.109) 136 Из уравнения D.107) следует, что М = const + О (г2). <4.110) Таким образом, мы получили явное выражение для магнитного момента М с точностью до членов первого порядка включительно по малому параметру е. Этот результат показывает, что изменение магнитного момента М является, по крайней мере, величиной второго порядка по параметру е. Вообще пр,и помощи разложений C.6) и D.2) можно получить уравнения для /* с точностью до любого порядка по е. Это и было сделано Крускалом [46], который показал, что мгновенное значение величины [Bx(wX ХВ)—иЕ]2/В, где w = dp/dt можно найти при помощи уравнения C.6), является адиабатическим инвариантом с точностью до любого порядка по степеням €. В следующем параграфе будет продолжено обсуждение некоторых вопросов, относящихся к понятию адиабатической инвариантности. В последнее время [66] определение первого адиабатического инварианта было обобщено на релятивистский случай, а также на случай трех измерений. При этом использовался метод, предложенный Чандрасека- ром [19].
Ви переглядаєте статтю (реферат): «ИНВАРИАНТНОСТЬ В ВЫСШИХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ. ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
