Прежде чем приступить к детальному изучению свойств продольного адиабатического инварианта, рассмотрим движение частицы в магнитном поле пробочной конфигурации (рис. 4.4). Расстояние 2sm между магнитными пробками меняется во времени достаточно медленно по сравнению с периодом продольных колебаний частицы 11Г При этом отражение частицы происходит в узкой области толщиной Asm<c2sm, где напряженность магнитного поля увеличивается от В0 до Вт. Движение частицы аналогично движению упругого шарика, который попеременно отскакивает от двух движущихся навстречу друг другу поршней. В этом случае в течение каждого периода /|[=4sm/|a|| | шарик приобретает скорость, равную Рис. 4.4. Движение заряженной частицы, захваченной двумя магнитными пробками, расстояние между которыми 2 sm изменяется во времени. 103 —4(dsm/dt). Отсюда следуют уравнения И 4\u\\\sm = u] '„ = const, D.21) которые в точности совпадают с формулой D.9). Это и есть тот эффект продольного адиабатического сжатия [76], который увеличивает продольную энергию частицы 2 » Перейдем теперь от простого примера к общему случаю [78]. Если в конфигурации магнитного поля, изображенной на рис. 4.4, легко представить положение точек отражения частицы, то для магнитного поля произвольной формы, медленно изменяющегося во времени, это сделать значительно труднее. Кроме того, и это гораздо важнее, в произвольном магнитном поле одновременно с колебаниями частицы происходит дрейф поперек магнитных силовых линий со скоростью и±. Таким образом, частица с радиусом-вектором р(а, {$, s, t), находящаяся в момент времени / в точке, лежащей на магнитной силовой линии L0, дрейфует по направлению к магнитной силовой линии Lb как это показано на рис. 4.5. Это происходит в течение короткого интервала времени dt=dsju^y когда смещение поперек силовой линии мало по сравнению с ds и можно считать, что частица находится на элементе длины ds магнитной силовой линии L0. Если же поместить частицу в точку с радиус- вектором р', лежащую на магнитной силовой линии L0, то она будет дрейфовать из элемента длины ds' этой силовой линии по направлению к силовой линии L2, которая не обязательно совпадает с L\. Так как в общем случае одновременно с продольными колебаниями частицы возникает медленный и меняющийся вдоль силовой линии дрейф, приводящий к уходу частицы с данной лиловой линии, то отсутствует строгая аналогия между рассматриваемым общим случаем и одномерным движением (см. рис. 4.4). Таким образом, теперь нужно 104 построить теорию, которая учитывала бы тот факт, что частицы не попадают точно в первоначальную точку после одного продольного колебания. В дальнейшем покажем, что для каждой магнитной силовой линии можно однозначно определить интеграл действия D.8). Поскольку поперечный дрейф приводит к переходу частиц с одной магнитной силовой линии на другую, то, с точки зрения наблюдателя, движущегося Поверхность, на которой Подерхность Hajpmopoa Рис. 4.5. Дрейф частицы, находящейся на элементе длины ds магнитной силовой линии L0, по направлению к силовой линии L\ за промежуток времени dt. вдоль действительной траектории частицы, возникнет мгновенное изменение dJ/dt продольного адиабатического инварианта /. Очевидно, dJ/dtфO. Покажем, однако, что среднее значение \dt / '„ D.22) взятое по полному продольному периоду, приблизительно равно нулю. Это означает, что все изменения /, возникающие при различных положениях частицы р и р', приблизительно компенсируются в течение одного периода t\\ продольных колебаний. —*• Предположим, что значение F связана только с электрическим полем ?, и для гамильтониана продольного движения Яц воспользуемся выражением D.7). Из раздела 1.1 следует, что определение продольного инвари- 105 анта / имеет смысл только в том случае, если эквивалентный магнитный момент M = mW2/2B — адиабатический инвариант. Предположим, что это условие выполнено. Кроме того, ограничимся случаем, когда продольные колебания частицы происходят в пространстве между двумя магнитными пробками, так что величина Я|| ти ц имеет минимум в этой области. Все члены в правой части выражения D.7) изменяются достаточно медленно по сравнению со временем обращения частицы по ларморовской орбите tg. Поэтому в выражении для полной производной по времени Я и полную скорость частицы с достаточной точностью можно заменить скоростью дрейфа и + ^(-f-V«-^7vf)- D-23) При этом для исключения величин v (ф + а— ) и Е-и мы воспользовались уравнениями B.23) и D.14) соответственно. Кроме того, векторы у а и ур перпендикулярны магнитному полю В, а член (uju^J мал по сравнению с единицей и поэтому несуществен при дальнейшем рассмотрении. Выражение D.23) не содержит частной производной по продольной координате s. Поэтому дН \\ /ds = 0, что следует также из продольной компоненты уравнения движения ведущего центра D.6) и выражения D.7). Скорость изменения гамильтониана Н\\ в системе отсчета, движущейся вдоль магнитной силовой линии (а = const, р = const) со скоростью, равной продольной скорости частицы и(|, выражается первым членом в правой части уравнения D.23). Для стационарных полей Нц = 0 и Я у — интеграл энергии для продольных колебаний в потенциальной яме, определяемой выражением qy+MB. Если dH\\/dt=?0, то Н\\ все еще может быть интегралом энергии этого движения; при этом Я л оказывается постоянным вдоль магнитной силовой 106 линии, если колебания частицы вдоль силовой линии достаточно быстры по сравнению с изменением внешнего магнитного поля. В этом случае изменение гамильтониана Я у со временем происходит достаточно медленно и пропорционально изменению внешнего магнитного поля. Используя введенные определения, представим выражение для продольного инварианта в следующем виде: J = m(j)w„ {s')ds\ щ = (-^-I,2(Яц —q<? — qxX xJL_MB)ll2t D.24) где интегрирование по ds' производится вдоль заданной магнитной силовой линии, причем функции Яц,ф, а—— dt и MB однозначно определяются в каждый момент времени t для произвольной магнитной силовой линии L0. Из уравнения D.24) следует, что изменение продольного инварианта dJJdt при движении частицы связано с изменением продольной скорости 1/ц и элемента длины ds'. Для того чтобы получить полное изменение продольного инварианта dJ/dt, вычислим связанное с движением частицы изменение произвольного элемента длины ds'. Для этого на заданной магнитной силовой линии Lo между точками отражения определим для каждого элемента длины ds' на заданной магнитной силовой линии L0 скорость V± (s, s') перпендикулярную направлению магнитного поля B(s') для элемента длины ds'. Эта скорость переводит точку с магнитной силовой линии L0 на силовую линию L\ за то же время dt, которое необходимо для перемещения частицы, находящейся внутри элемента длины ds, с силовой линии L0 на силовую линию L\. Отметим, что скорость V± (s, s') отличается от дрейфовой скорости частицы и^ для данного элемента длины ds', как это показано на рис. 4.5. Действительно, если частица находится внутри элемента длины ds\ то она будет дрейфовать к магнитной силовой линии L2, а не к L\. 107 Теперь точно определим мгновенное значение величины dJ/dt. Если в начальный момент времени частица находится внутри элемента длины ds магнитной силовой линии L0, то в результате дрейфового движения через интервал времени (%t частица окажется на силовой линии L\. При этом интеграл в выражении D.24) изменится от первоначального значения J(L0) на магнитной силовой линии L0 до соответствующего значения J(L\)> которое получается при интегрировании вдоль магнитной силовой линии L\. Введя обозначение Uy.=u(s'), получим изменение этого интеграла dJ = т ф [du'{l ds' + и'ц d (ds')] = т ф—— X X [2u\fd(ds') +d(u'\ )ds']. D.25) Таким образом, изменение продольного инварианта dJ за время dt в точке с радиус-вектором р связано с изменением w'(| и элемента длины, возникающих при дрейфе частицы с одной силовой линии на другую (см. рис. 4.5). Рассмотрим изменение величины и'\\. При вычислении этого изменения, связанного с вкладом от продольного гамильтониана #ц, следует иметь в виду, что#ц остается постоянным вдоль магнитной силовой линии. Если частица перемещается за время dt с одной силовой линии L0 на другую Lb то связанный с изменением продольного гамильтониана Н\\ вклад в полный интеграл D.25) равен dH'ц = #ц (s)dt, где Н\\ определяется формулой D.23). Изменение величины и'ц, связанное с последними тремя членами в выражении D.24), определяется выражением d [q(f+q* -fr+MB]'= (if +^-v) x Х^Ф + ^-^ + МВ)''dt, D.26) где штрих указывает, чго все величины вычисляются для определенной точки силовой линии s'. Очевидно, выше ражение D.26) изменяется вдоль магнитной силовой линии L0. В каждой тючке s' силовой линии оно определяется полной производной по времени, вычисляемой в соответствии с вышеприведенными рассуждениями при помощи скорости V± (s, s'), которая переводит точки с магнитной силовой линии L0 на магнитную силовую линию L\. Наконец нужно еще получить выражение для изменения элемента длины ds' за время dt. Воспользуемся для этого геометрическими соображениями. Из рис. 3.3 видно, что рассматриваемое изменение элемента длины ds' определяется скоростью изменения радиуса кривизны R магнитной силовой линии в системе отсчета, движущейся вместе с частицей, d(ds') = V±• у {ds')dt^—V±- ~- .ds'dt. D.27) Подставляя формулы D.26) и D.27) в соотношение D.25), получаем выражение для скорости изменения адиабатического инварианта / D.28) Получим явное выражение для вектора скорости V± (s> s')- Поле скоростей, задаваемое этим вектором, сохраняет силовую линию и в точке с радиус-вектором q совпадает с локальной дрейфовой скоростью частицы и± (s) (см. рис. 4.5). Задавая положение магнитных силовых линий при помощи координат (а, р), получаем a(s) . (|_ + ы-1.уа)г (-fL +V±-v« )ff. D.29) Р(S) = (lT + "^ ), = ("f- + ^* Р), • D-3°) ти 109 где V±(s'=s) =и± (s). Определенный таким образом вектор скорости V± оказывается перпендикулярным магнитной силовой линии Lq в каждой ее точке s' B(s')-V±(s') = 0. D.31) Таким образом, получим окончательное выражение для 7x=[(^'-Pf«') + (-f-f«-^-fp)']x(|r),D.32) где штрих означает, что все величины взяты в точке s'. Очевидно, выражение D.32) для скорости Vj_ удовлетворяет условию D.31). При помощи несложных векторных преобразований и формулы B.22) найдем V±. V«' = ( « -^ ) (fРХ |)' • f.' = а - ¦? • D.33) Оно совпадает с формулой D.29), а из симметрии координат аир следует, что при этом также выполняется соотношение D.30). Воспользуемся теперь полученными формулами для преобразования выражения D.28). В соответствии с формулами C.18) — C.20) скорость поперечного дрейфа частицы равна их=[дЕ-1ЩВ-ти\Щ--т^}х-^, D.34) где в первом приближении по параметру е можно пренебречь последним членом в скобках. Использовав выражения C.23), C.22), D.32) и D.34) соответственно для ?, 5, V± и и±, после несложных преобразований преобразуем интеграл D.28). -?• = $[*¦ М-?(w + ««-ff- + A!a)'-«>ix + *(-? +ад.)'] f. («Ч ПО где аир вычислены в точке s'. Сравнение полученного результата с соотношением D.23) показывает, что второй и третий члены подынтегрального выражения в формуле D.35) равны величин* //ц, вычисленной в точке s', ~f =(|){#11 (*)-Я„ (s') + <7 f?(s)a(s')- -«W(s')}}^-. D.36) a II Здесь для величин аир использованы выражения D.29) и D.30). Из формулы D.36) следует, что нет причин для обращения величины dJ/dt в нуль. При помощи определения D.22) получим - a (s)P(s')] 1-^1 = 0. D.37) Таким образом, вследствие антисимметрии подынтегрального выражения в формуле D.37) средняя скорость изменения величины / равна нулю. Настоящий вывод согласуется с результатом, полученным в разделе 1.1 при помощи интеграла действия D.8). Преимуществом данного вывода, приводящего к формуле D.37), является учет мгновенного поперечного дрейфа частицы со скоростью и±9 в результате которого на продольные колебания частицы накладывается смещение поперек магнитных силовых линий. При этом ограничения, накладываемые на величину /, оказываются менее жесткими по сравнению с ограничениями, введенными в разделе 1.1, где предполагалось, что частица остается на данной магнитной силовой линии в течение всего периода продольных колебаний /г Кроме того, этот вывод позволяет лучше понять механизм, приводящий к сохранению величины /. Из антисимметрии подынтегрального выражения в формуле D.37) следует, что вклады в изменение величины / от поперечного 111 дрейфа частицы в различных точках данной магнитной силовой линии компенсируются ая полный период продольных колебаний /1(.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Продольный адиабатический инвариант» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
