Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Динаміка заряджених частинок

Однородные магнитостатическое и электрическое поля

Рассмотрим частицу, движущуюся в однородном
магнитостатическом поле В и зависящем от времени
однородном электрическом поле Е. Допустим, что эф-
34
//////////////////////////////
®к—<~L ^Ьь «X*.
*УЙ> " " - - - ф2 ф1>Фг
%-0
Рис. 2.4. Траектории заряженных частиц в однородном
магнитостатическом поле В и однородном, зависящем
от времени электрическом поле E(t):
а — определение системы координат; б — постоянное
электрическое поле EQ. Электрический дрейф одинаков для частиц любого
заряда; в — постоянное электрическое поле, начальная скорость
Т^О равна нулю; г — медленно убывающее со временем
электрическое поле. Скорость изменения дрейфа в электрическом поле
изображена в сильно преувеличенном масштабе; д —
электрическое поле медленно нарастает от начального значения,
равного нулю. Начальная скорость частицы также равна нулю.
Смещение вдоль оси х сильно преувеличено.
2*
фектами индукции, связанными с зависимостью Е от
времени, можно пренебречь. Введем прямоугольную
систему координат (рис. 2.4). Направим ось z вдоль
магнитного поля 5, а вектор электрического поля
E=[Ex(t),09Ez(t)] расположим в плоскости xz. Тогда
уравнение движения B.36) запишем в виде
B.72)
B.73)
B.74)
at т
где (ug=qB/m, как будет видно из дальнейшего, —
частота вращения частицы в магнитном поле. Движение
вдоль магнитного поля, которое, согласно выражению
B.74), происходит с ускорением, зависящим от
времени, не влияет на движение в плоскости ху и поэтому
не рассматривается в дальнейшем.
Для поперечного движения подставим wx из
выражения B.73) в формулу B.72) и получим
*?- + •'».--•"-%-• B-75)
dwx
at
dwy
1й~
dwz
=
=
даЛ
-°v
qF-z
+ ¦
U>x,
<agEx
В
dt* J 0~ g В
Зададим начальные условия в момент /=0 wy@) =
= Wyoy wx@)=wx0i Ех@)=Ех0, Полное решение
уравнения B.75) —это 'сумма общего решения
соответствующего однородного уравнения и частного решения
уравнения с правой частью. При выбранных
начальных условиях находим общее решение
t
wy = wy0 cos > — wx0 sin (ogt H — cos Mgt \ Ex sin a>gtdt —
о
— -^L sin u>gt Г Ex cos Ugtdt, B.76)
о
t
wx = wx0 cos wgt + wy0 sin a>gt -j sin o)gt \ Ex sin >dt -f
36
-Ь — cos ugt f?v cos (ogtdt. B.77)
о
Интегрируя но частям выражения для wy и wx один и
два раза соответственно, получаем следующие
выражения [49]:
Е Е
wy = wy0 cos <ugt — wx0 sin (ogi + —^ cos<ogt — -f~ +
t t
-4 cos со J \ —- cos со Jdt -\ sin со JI —- sin со Jdt B.78)
В g J dt g В g J dt * v '
wx =- wxo cos <V + WyoSin wgt + -jp- sin(Ogt +
. \ dEr 1 / dEx\ , 1 ч.
^B d/ <ogB \ dt /0 * оз^Я
/
X cos co„/ I — cos со Jdt sin со J I —— sin со Jdt,
о й 0
B.79)
где индекс 0 относится к начальным [значениям.
Впервые качественное рассмотрение траекторий
частиц в зависящем от времени поперечном
электрическом поле было проведено {в работах [50, 51].
Используем теперь уравнения B.78) и B.79) для изучения
следующих частных случаев.
1. ? = 0. Проекция траекторий частицы на плоскость
ху представляет собой [окружность, вдоль которой
частица движется с постоянной скоростью W0 = (wx0 +
+ WyoY1** В начальный момент времени скорость равна
W0. Интегрирование уравнений B.78) и B.79)
показывает, ^то положение частицы ;можно описать при
помощи вектора
аГ= — В х W0 cos ш f + — W0 sin co„ /, W0 - K0, wy0i 0),
"g "g
B.80)
37
начало которого находится в центре вращения (или
в ведущем центре). Здесь В = В/В означает единичный
вектор вдоль В, а 'знак (о# определяется (знаком заряда
частицы q. Назовем модуль вектора а радиусом
вращения (или ларморовским радиусом)
W0 mW0
v I \я\-в
B.81)
При фиксированной скорости W0 |радиус вращения
оказывается обратно пропорциональным В. Изменение
вектора а соответствует скорости вращения
^ da
dt
W=^- = (oga ХВ. B.82)
Движение частицы вокруг силовых линий магнитного
поля можно представить как циркулирующий
электрический ток, эквивалентный магнитный момент которого
равен
М=-±т~В(^)\ B.83)
Заметим, ,что для любого знака заряда q этот момент
антипараллелен В. Другими словами, движение частиц
индуцирует магнитное поле, направление которого
противоположно внешнему полю в центре вращения
частицы. Газ заряженных частиц имеет, (таким образом,
диамагнитные свойства.
Поскольку ^2=0, движение вдоль В происходит с
постоянной скоростью, и результирующая траектория
частицы представляет собой [спираль с постоянным
шагом, определяемым, как это видно из рис. 2.5,
отношением wJW.
2. Е=Е0=const. В этом случае в правой части
выражения |B.78) (сохраняются только первые четыре
члена, а в уравнении B.79) — первые три. После
подстановки
щ = т, + -^-, w'y0 = wy0 + -^f- B.84)
38
уравнения B.78) и B.79) вновь принимают вид,
который рассматривался уже при ?=0. | Таким образом,
движение частицы состоит из вращения со скоростью W,
на которое накладывается дрейф со скоростью ЕоХВ/В2.
Это также следует из уравнения движения B.36), в
котором поперечное
электрическое поле исчезает, если
движение частицы
рассматривать в системе
координат, движущейся со
скоростью %хв]в2.
Проекция траектории
частицы на плоскость ху
изображена на рис. 2.4,6.
Рис. 2.5. Движение
заряженной частицы в однородном
магнитостатическом поле В.
Когда продольное электри
ческое поле Ег равно нулю,
частица дрейфует в
направлении у в пространстве
между двумя
эквипотенциальными поверхностями
Ф=<Р1 и ф=ф2.
Происхождение дрейфового движения
частицы становится
понятным, поскольку поперечная
скорость увеличивается,
когда частица «падает» от
Ф=ф1 до ф=ф2. Мгновенный
радиус вращения при ф! значительно меньше, чем при
ф2. Заметим, что электрический дрейф не зависит от
знака заряда частицы. В частном случае, когда
начальные скорости wx0 и wy0 равны нулю, траектория
частицы представляет собой циклоиду (см. рис. 2.4,в).
3. Периодическое электрическое поле Е, Для
поперечного поля
Ex=Ex0cos(ot, B.85)
осциллирующего «с частотой ш, уравнения B.76) и B.77)
легко интегрируются. После выполнения некоторых
тригонометрических преобразований находим
w„
W,
g^xo
у, cos <у - wx0 sin «у + В{ю+ sin
'N-(
ш +
39
+ „,)(]sin[4.(»-»8),]_Tr|?i_x
X sin U- (о + ©r) Л sin \-L (©— wg) Л B.86)
wx = wx0 cos o)^/ + wy0 sin u>^ -| — sin (ogt —
Exo («» — <°g) . Г 1 , 1 Г 1 1
- isF+^Гsln It (ffl + ^) 4cos [t <•" ~ <°J (\ +
+ 2с—/ cosIt<» + «*>'JsinLt(ffl -«*>'J• B-87)
Особый интерес (представляет случай циклотронного
резонанса, когда со = (о^ и уравнения B.86) и B.87)
сводятся к следующим:
wy = куу0 cos (Ogt — шж0 sin ю^ — ю^ sin w^ B.88)
р
wx = wx0 cos <ogt -f wy0 sin co^ + —^- (sin co^ +
+ <*>gt cos (ogt). B.89)
Для достаточно больших промежутков времени
основное значение имеют последние члены этих
выражений, и для поперечной кинетической энергии частицы
можно приблизительно написать
-Lm(wl+wl)^J^}L. B.90)
Таким образом, согласно настоящей теории, частица
может приобрести сколь угодно большую энергию, если
только поле Ех настроено в резонанс с гирочастотой
частицы. В действительности увеличение энергии
ограничивается потерями при соударениях с другими
частицами и излучением. Дальнейшее обсуждение механизмов,
которые могут быть использованы для увеличения
энергии ионизованного газа, будет дано в § 6.2.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Однородные магнитостатическое и электрическое поля» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»