Предположим, что достаточно много частиц движутся с раз- различными скоростями в направлении силовых линий магнит- магнитного поля. Когда электростатическая волна (продольная волна с к || Е) распространяется вдоль силовых линий магнитного поля, возникает взаимодействие между волной и группой частиц (см. рис. 11.1). Выберем ось z в направлении магнитного поля и/к Рис. 11.1. Распространение волны и движение частиц в процессе затухания Ландау 7 Миямото К. 194 Гл. 11. Затухание Ландау и циклотронный резонанс и обозначим единичный вектор в этом направлении z. Тогда электрическое поле и скорость v = vz удовлетворяют уравнениям E = zEcas{kz-u;t), A1.1) т— = qEcos(kz - ut). 01.2) UjTi Электрическое поле Е — величина первого порядка малости. Решение A1.2) в нулевом порядке z = vot + zo, а уравнение первого порядка т—г^- = qEcosikzo + kvtf — ut). (П.З) at Решение A1.3) для начального условия v\ = 0 при t = 0 имеет вид _ qEsin(kzo + kvot — cot) — sinkzo c\\ a\ m kvo — uj Изменение кинетической энергии частицы d тпу d d d + Из A1.2),A1.4) получаем соотношения AL5) ^ = qEcos(k(z0 + Vbt + zx)- ut) = = qEcos(kzQ + at) — qEsin(kzQ + at)kz\, t Г jj. QE ( — cosffc^o + cd) + cos kzo t sin kzo \ z\ = vi at = — § , J rn \ a2 ol ) 0 где a = kvQ — u. Используя их, можно преобразовать A1.5) к форме „2 „2 тр2 d mv q E /sin(kzn + at) — sinkzo\ ,, f4 —-r- = —^— '- cos(b0 + at) dt 2 m \ a ) ч ' kvoq2E2 ( — cosffc^o + ott) + cosfczn tsinfc^n\ • /7 , «\ — !l—-—т1 sm(kz0 + at). m V a2 a / v 7 §11.1. Затухание Ландау и резонансная раскачка 195 Усреднение предыдущей величины по начальному положению zq дает / dmv2\ q2E2 /-a; sin at u;?cosatf\ /ц С\ (-77-O-) = ^— 2 htcosat+ . A1.6) \dt 2 / 2m \ a2 a J Если мы произведем усреднение A1.6) по скоростям vq с функцией распределения в качестве весового множителя, то получим скорость роста кине- кинетической энергии частиц. Функция распределения нормирована: оо I f(vo)dvo = -\g(a)da= 1. — ОО Интеграл от второго члена в правой части A1.6) - g(a)t cos at da = - \ g f - J cosxdx (П-7) стремится к нулю при t —> оо. Интеграл от третьего члена A1.6) принимает вид ()d A1.8) Функцию д(а) можно рассматривать как сумму четной и нечет- нечетной функций. Четная функция не дает вклада в интеграл. Вклад нечетной функции стремится к нулю, когда t —> оо, если д(а) непрерывна при а = 0. Следовательно, остается только вклад первого члена в A1.6), и мы получаем d mv2\ uq2E2ri f g(a)sinat , /11 m dt 2 / z v 2mk J or где Р обозначает главное значение интеграла в смысле Коши. Основной вклад в интеграл дает окрестность а = 0, так что д(а) может быть разложена вблизи а = 0: 7* 196 Гл. 11. Затухание Ландау и циклотронный резонанс Так как sin at/a2 — четная функция, только второй член этого разложения дает вклад в интеграл, и для больших t d mv2 ЩЦ Г g'(O)si J « 2m\k\ (т)(д4^) • 01-ю) \kj \ dv0 JVn=u;/k Если число частиц со скоростями, меньшими фазовой скорости волны, превышает число частиц со скоростями, чуть большими фазовой скорости волны, т. е. если vodfo/dvo < 0, группа частиц в целом получает энергию от волны, а волна затухает. И наобо- наоборот, когда vodfo/dvo > 0 при vq = u/k, частицы отдают энергию волне и амплитуда волны возрастает (рис. 11.2). Этот механизм а б Рис. 11.2. а — затухание и б — резонансное усиление Ландау называют затуханием Ландау [1] (а в случае vodfo/dvo > 0 — резонансным усилением). Экспериментально существование за- затухания Ландау для волн в бесстолкновительной плазме про- продемонстрировали Малмберг и Уортон [2] в 1965 г. — через двадцать лет после предсказания Ландау. Скорость роста A1.10) кинетической энергии частиц должна быть равна скорости затухания энергии волны. Поэтому скорость роста 7 амплитуды поля волны G < 0 в случае затухания) определяется равенством d mv2 = -27W, и инкремент 7 дается выражением 2 VW \\k\JV" dv0 где Я2 = nq2/e0m, W » 2е0Е2/4, J f(v)dv = 1. A1.11) §11.2. Времяпролетное затухание 197 Существует ограничение на применимость приближения, в котором получается линейное затухание Ландау. Упрощения, приводящие к такому затуханию, оправданы до тех пор, пока при протекании этого явления орбиты частиц не отклоняются от линейного решения. Время, необходимое для отклонения частиц от линейного приближения, определяется периодом колебаний в потенциальной яме, создаваемой электрическим полем волны (J1 ~ еЕк/т из тиР'х = еЕ). Этот период равен 1 / т \ 1/2 c^osc \ekEJ Условие применимости линейного приближения для затухания Ландау состоит в том, что время затухания I/7 должно быть меньше, чем tosc, или столкновительное время 1/исо\\ меньше, чем TOsc- |7Tosc|>l, A1.12) kcollToscI > 1. A1.13) С другой стороны, предполагалось, что частицы бесстолкнови- тельны. Для того чтобы можно было бы воспользоваться асимп- асимптотическим выражением интеграла-A1.9) при t —> 00, необхо- необходимо, чтобы время до столкновения 1/Vcon было больше, чем V^rms, где ^ ~~ Длина волны, a vTms — разброс распределения по скоростям: — >~. A1.14)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Затухание Ландау и резонансная раскачка» з дисципліни «Основи фізики плазми і керованого синтезу»
