Рассмотрим конфигурацию с диффузной границей плазмы и равновесными параметрами \ = (O,Be®,Bz®). Возмущение ? берется в виде ? = ?(г) ехр(гт0 + ikz). Возмущение магнитного поля Bi = V х (? х Во) есть ВХг = »(к • В0N-, (8.69) (8.70) (8.71) где (к • Во) = kBz + —В9, (8.72) А = Z9BZ - izBe = (С х В0)г. (8.73) Поскольку члены с давлением 7Po(V • ?J + (V • ?)(? • Vpo) = G — ~ l)Po(V • ^J + (V • ?)(V • роО в интеграле энергии неотрица- неотрицательны, опять рассмотрим несжимаемое смещение V • ? = 0, т. е. - т- (г&) + —6 + iKz = 0. (8.74) 138 Гл. 8. Магнитогидродинамические неустойчивости Отсюда и из соотношения (8.73) для А компоненты смещения и ?г выражаются через ?г и А: Из /iojo = V х Во следует, что dBz dr ' dr r re Члены в интеграле энергии даются выражениями = l[\t I2 — 4 J l?n| дп __^!1_р0 vex (8.75) (8.76) (8.77) (8.78) (8.79) (8.80) (8.81) Величины ?g и ?z в (8.79) могут быть исключены с помощью (8.75) и (8.76), a dSz/dr и dB^/dr — с помощью (8.77) и (8.78). Тогда Wp становится равным Mo §8.3. Неустойчивости цилиндрической плазмы 139 Подынтегральное выражение в VFp можно представить в форме ;2 , т2 - х , ikBe{{dtjr/dr) - &./r) - im(Bt/r)({dtr/dr) k2 + (m2/r2) (k.Bf_2jzBe\UA2 + Bl ^ + ^2+В1 5Г до dr r /io \ikBe({dtr/dr) - F-/r)) - im(Bz/r)№r/dr) Оно минимально, когда к2 + (m2/r2) При этом Wp сводится к A;2 + (m/rJ , (8.82) где т —j г Теперь определим W$. Из F.8) следует, что (d/dr)(po + (В\ + + Б|)/2//о) = —5|/(гдо). Величина В| непрерывна на границе т = а, так что d s?i«>+ • 2мо Соответственно, находим, что как следует из (8.80). (8.83) 140 Гл. 8. Магнитогидродинамические неустойчивости Выражение для Wy можно получить, если в интеграле (8.82) для Wp положить j -» О, BZ —> Bez = 2?s(= const), Bq —> Beo = = Baa/r, B\r — г(к • Bo)?r —> Be\r = г(к • Beo)r/r. Эта замена дает Г Г \[kBs + (m/r)(Baa/r)](dr,r/dr) + [kBs - k2 + (m/rJ Интегрируя по частям, для Wp имеем тг }( r(k-BpJ 8.84) тг г к2 + (m/rJ ,2 2Вв d(rBe) г dr d (k2Bl-(m/rfB2\ ~d-r{ k2 + (m/rJ )¦ (8'86) Используя обозначение ( = rBe\r = гг(к • Beo)r?r, находим ь 1 (m/rJ) dr Функции ?г или ?, минимизирующие решениями уравнений Эйлера: dr d r. (8.87) или Wy, являются г«"' (888) Есть два независимых решения для ?г с асимптотикой ос г (8.89) -l или a r~m~l при г —> 0. Поскольку ?г конечно при г — 0, реше- решение должно удовлетворять условиям г —» О, ?Г ос г771, §8.3. Неустойчивости цилиндрической плазмы 141 г = а, С(а) = га (kBs + — Ва ] ?г(а), г = Ь, С(Ь)=О. Используя (8.89), получим 1 7Г i r(fc2 + (m/rJ) Решение (8.89) выглядит следующим образом (8.90) = ffifl ft ?3 " ft К + ^«) &.(а). (8.91) \ а а)srw v y I'm(ka)K'm(kb) - K'm{ka)I Теперь решение проблемы устойчивости сводится к исследова- исследованию знака выражения Wv + Wy. Для этого используем запись где dr тг к2В2 - (т/аJВ\ -1 2/хо г(к2 + (т/аJ) f (т/г)Б9J к2 + (т/гJ ' (8.92) (8.93) (т/г) V dr d fk2B2z-(m/rJB2e dr\ k2 + (m/rJ (8.94) Если воспользоваться уравнением равновесия -г(/лор + В2/2) = = —В$/г, то уравнение (8.94) для д сводится к 2к2 ф0 , 9 = (m/rJ г ¦' к2 + (т/гJ Bk2/r)(k2B2z-(m/rJB2e) (к2 + (т/гJJ
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Неустойчивости плазмы с диффузной границей» з дисципліни «Основи фізики плазми і керованого синтезу»
