Неустойчивости плазмы с резкой границей: критерий Крускала—Шафранова
Рассмотрим плазму радиуса а с резкой границей и продоль- продольным магнитным полем Bqz на этой границе, а также продоль- продольным магнитным полем Bez и азимутальным магнитным полем Вв — до//Bтгг) вне плазмы (рис. 8.8). Пред- Предполагается, что Bqz и Bez постоянны. Мож- Можно рассмотреть смещение ) ехр(гга0 + ikz), (8.51) поскольку любое смещение может быть вы- выражено как суперпозиция таких мод. Так как член в V • ? в интеграле энергии по- положителен, то наиболее опасным является несжимаемое возмущение. Исследуем лишь наихудшую моду, с Bz (8.52) = V х (8.53) Уравнение движения (8.32) принимает вид V • ? = 0. Возмущение магнитного поля х (? х Во) равно х Рис. 8.8. Плазма с резкой границей -W РтО Mo = -Vp*. (8.54) Поскольку V • ? = 0, отсюда следует, что Ар* = 0, т. е. собственных мод, которые могут быть как устойчивы, так и нет, так что итоговая временная зависимость может быть весьма сложной. — Примеч. ред. 134 Гл. 8. Магнитогидродинамические неустойчивости Решение без особенности в точке г = О дается модифицирован- модифицированной функцией Бесселя 7ш(Ат), так что р*(г) равно Соответственно, находим Ш = Jm(bL24(fca). (8.56) Mo Поскольку возмущение вакуумного магнитного поля Bie удовле- удовлетворяет уравнениям VxB = 0hV-B = 0, величину Bie можно представить как Bje = Чф. Скалярный магнитный потенциал ф удовлетворяет условиям Аф = О и ф —» 0 при г —> оо. Тогда ф = С^тУ ехр(гт^ + ikz). (8.57) Граничное условие (8.33) выглядит как Mo Поскольку Во ос 1/г, то р*(а) дается выражением р*(а) = — (kBez + —Ве\ С -fr(a). (8.58) Граничное условие (8.38) сводится к Из (8.56), (8.58) и (8.59) получаем дисперсионное соотноше- соотношение: ^ = jB^ __ (kBez + (m/a)^ к2 й)АпО /io/^mo^2 Im(ka) K'm(ka) ^4N (860) *a)/w(fco) Здесь первый и второй члены представляют стабилизирующий эффект от Bqz и Bez (Km/Kfm < 0). Если волновой вектор к нормален к магнитному полю, т. е. если §8.3. Неустойчивости цилиндрической плазмы 135 ТП (к • Ве) = kBez + -Вв = О, Си то возмущение желобковое, и второй (стабилизирующий) член в (8.60) становится равным нулю. Третье слагаемое дестабили- дестабилизирующее. A). Мода с га = 0 при Bez = 0. Эта конфигурация со- соответствует неустойчивости перетяжки, описанной в разд. 8.1с. Уравнение (8.60) сводится к 1Ж) (8.61) Поскольку Ifo(x)/xlo(x) < 1/2, условие устойчивости Bl > Bl/2. B). Мода га = 1 при Bez = 0. Для этой моды уравнение (8.60) имеет вид с<; = I 1 + ЗЦка) Ii(ka) К[(ка) Для возмущений с большой характерной длиной: Дисперсионное соотношение соответствует винтовой (кинк) неустойчивости, которая неустойчива при возмущениях с боль- большой длиной волны (см. (8.23)). C). Неустойчивость в случае |2?в*| > \В$\. Если \Bez\ » » \В$\, неустойчивость может быть при \ка\ < 1. Разлагая в ряд модифицированную функцию Бесселя (предполагается, что га > > 0 ), находим = k2B20z + {kBez + ^BeJ - f2Bl (8.64) Величина ш2 минимальна при дш/дк = 0, т. е. когда k(B%z + + Blz) + (m/a)BsBez = 0, и равна JL (i^|-l\ (8.65) где /3 = 2/j,op/B2z. Соответственно, плазма неустойчива, когда 0 < га < B — /3)/A — /3). Для плазмы с низкой бета могут быть 136 Гл. 8. Магнитогидродинамические неустойчивости неустойчивы лишь моды с т — 1 и т — 2. Если выполняется условие (|J<(М2. (8-66) то плазма устойчива даже при т = 1. Обычно длина плазмы конечна, так что к не может быть меньше, чем 2тг/?. Соответ- Соответственно, когда _ плазма устойчива. Это условие устойчивости называется крите- критерием Крускала—Шафранова [8, 9]. Когда плазма окружена цилиндрической проводящей стенкой (кожухом) радиуса 6, скалярный потенциал возмущения магнит- магнитного поля вне плазмы равен (8.57') (вместо (8.57)). Граничное условие J5ier = 0 при г = Ь дает d _ Гт{кЪ)Кт{ка) с2 K'm(kb)Im(ka)- Дисперсионное соотношение принимает вид ш2 = Bj (kBez + (m/a)BeJI'm(ka) = y к2 fMipmO ЦОРток2 Лп(М Кт(каI'т(кЬ) - 1т(ка)К'т(кЬ) К'т{ка)Гт{кЪ)-1'т{ка)К'т{кЪ) _ Порто (каIт(ка)' Разлагая в ряд модифицированные функции Бесселя при усло- условиях ка <S I, kb <C 1, находим Чем ближе располагается стенка к границе плазмы, тем сильнее эффект стабилизации этой стенкой. В тороидальных системах к = n/R, где п — целое число, аи- большой радиус тора. Если ввести коэффициент запаса устойчивости qa на границе плазмы г = а §8.3. Неустойчивости цилиндрической плазмы 137 то (к • В) можно записать как Тогда условие Крускала—Шафранова (8.66) для моды т = 1, п = = —1 можно выразить через коэффициент запаса устойчивости: qa >!• (8.68) Именно по этой причине величина qa и названа коэффициентом запаса устойчивости.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Неустойчивости плазмы с резкой границей: критерий Крускала—Шафранова» з дисципліни «Основи фізики плазми і керованого синтезу»
