Зная угловой множитель пси-функции Yl,m((, () и радиальную функцию Rn,l ®, можно определить и всю координатную пси-функцию стационарного состояния электрона в водородоподобном атоме по формуле: . (7.29) Но особой пользы от этого выражения нет – физический смысл содержится в каждой из функций Rn,l ® и Yl,m((, () по отдельности: они определяют независимые функции распределения сферических координат электрона f1® и f2((, (). Первая функция f1® называется функцией радиального распределения и определяет, на каком расстоянии от ядра располагается пси-поле электрона и, следовательно, на каком расстоянии от ядра предпочитает находиться электрон. f1® однозначно связана с радиальной функцией: (7.30) Вторая функция f2((, () называется функцией углового распределения. Она показывает, как распределено пси-поле в разных направлениях от ядра, как изменяется вероятность пребывания электрона в пределах воображаемого узкого луча, исходящего из ядра, в зависимости от ориентации этого луча. f2((, () однозначно связана с угловым множителем пси-функции: (7.31) Функции распределения определяют следующие вероятности. Вероятность dW® пребывания электрона в тонком сферическом слое между сферами с радиусами r и r + dr: . (7.32) Вероятность dW((, () пребывания электрона в пределах воображаемого исходящего из ядра узкого луча с телесным углом d( = sin(d(d(: (7.33) Пример. Рассмотрим радиальное и угловое распределения электрона в атоме водорода (Z = 1) в основном состоянии (n = 1). Как уже упоминалось, основных состояний два: (1, 0, 0, 1/2) и (1, 0, 0, 1/2). Из (7.30) и (7.23) следует, что радиальное распределение для этих состояний одно и то же: (7.34) График этой функции изображён на рисунке 7.2. Она обращается в нуль при r = 0 и при r ((. В этих точках у неё – минимум. Максимум функции радиального распределения находится на расстоянии от ядра, равном b. Следовательно, смысл боровского радиуса b – это наиболее вероятное расстояние электрона от ядра в атоме водорода при основном состоянии электрона.
Радиальное распределение электрона в атоме водорода при n = 1 Рис. 7.2 До появления квантовой механики существовала полуклассическая теория атома, которая называлась теорией Бора. В этой теории считалось, что электроны летают вокруг ядра по круговым траекториям подобно тому, как планеты вращаются вокруг звезды. Только, в отличие от планет, орбиты у электронов – дискретные, и в теории Бора существовало так называемое правило отбора разрешённых орбит. И вот радиус первой, самой низкой орбиты и получил название “боровский радиус”. Квантовая теория показывает, что боровские орбиты пролегают там, где достигает максимума функция распределения f®. Теперь выясним угловое распределение электрона. Как уже отмечалось, при n = 1 возможны только нулевые значения l и nr. Тогда и m = 0, так как все допустимые значения m лежат только в интервале от l до l. Следовательно, согласно формуле (7.10) угловой множитель пси-функции – это константа: (7.35) Значит, и f2((, () – тоже константа, не зависящая от ( и (. Таким образом, пси-поле электрона имеет форму сферически симметричного облака, равномерно обволакивающего ядро со всех сторон. Середина облака – наиболее плотная его часть – находится от ядра на высоте b = 0,0529 нм. Толщину облака h можно оценить, если считать, что его границы находятся там, где функция распределения f1® падает до половины от своего максимального значения (см. рисунок 7.2). Расчёты показывают, что толщина пси-поля составляет примерно 1,5b, то есть около 0,08 нм. Обратите внимание на уже упоминавшуюся ранее важную особенность основного состояния: пси-поле частицы в основном состоянии не расслаивается на отдельные части, а состоит из одного слоя. Расслоение характерно лишь для возбуждённых состояний, причём число слоёв пси-поля совпадает с номером энергетического уровня. Читателю предлагается в качестве самостоятельного упражнения проанализировать свойства состояний первого возбуждённого уровня водородоподобного атома, то есть состояний L-оболочки, и убедиться, в частности, что во всех этих состояниях пси-поле состоит из двух слоёв, на границе между которыми пси-функция обращается в нуль. Читатель, должно быть, помнит, что термин “уровень” означает не только одно из дискретных собственных значений энергии частицы, но и стационарное состояние частицы с этой энергией. Предоставляем читателю возможность потренироваться во владении аппаратом линейных операторов и самостоятельно убедиться в этом. По существу термины “уровень” и “оболочка” - это синонимы. Отличие только в том, что термин “уровень” применяется иногда и в другом смысле - в количественном. При этом он обозначает значение энергии.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Радиальное и угловое распределения» з дисципліни «Квантова фізика»
