Как уже отмечалось, всякое реальное физическое поле локально, и этого же естественно ожидать от пси-поля. С другой стороны, согласно закону связанных состояний пси-поле (а значит, и частицу) можно локализовать только в области пространства, где имеется потенциальная яма, причём достаточно глубокая. Поэтому возникают два вопроса. Во-первых, как ведёт себя микрочастица в области пространства, где нет потенциальных ям и нет условий для её локализации? Во-вторых, возможны ли стационарные состояния частицы в такой области? Для ответа на этот вопрос рассмотрим простейшую ситуацию: частица – свободная. Это означает, что частица находится в области пространства, где на неё не действуют никакие силы. Классическая частица в такой ситуации подчиняется первому закону Ньютона (закону инерции) и движется равномерно и прямолинейно (v = const). Попробуем теперь найти пси-функцию стационарного состояния частицы по схеме, изложенной в §2. Раз уж мы рассматриваем простейшую ситуацию, то будем, как и ранее (в §4 и в §5) считать частицу одномерной. П.1. Решение стационарного уравнения Шрёдингера. Так как консервативная сила, действующая на частицу, связана с потенциальной энергией формулой F = (U, то потенциальная энергия свободной частицы равна константе. Выбор этой константы совершенно произволен , поэтому её можно считать равной нулю. При этом стационарное уравнение Шрёдингера имеет вид: , (5.42) Это уравнение нам уже встречалось в §4. Там же приведено его общее решение (5.16) в виде линейной комбинации синуса и косинуса. В данном случае удобнее представить это решение в показательной форме: . (5.43) П.2. Исследование решения (5.43) и определение энергетического спектра. Для выбора конкретных значений произвольных постоянных A и B, входящих в пси-функцию (5.43), необходимо проверить, удовлетворяет ли эта пси-функция стандартным условиям. Но чтобы это сделать, необходимо знать ещё так называемые граничные условия. Это значит, что надо знать, где кончается область пространства, в которой частица свободна, какие силы на неё действуют на границах этой области и за ними, и какое пси-поле эти силы создают. Если частица – абсолютно свободна, то есть область её свободы – это вся Вселенная, то тогда нетрудно убедиться, что пси-функция (5.43) при любых конечных значениях произвольных постоянных A и B удовлетворяет стандартным условиям. Она в любой точке однозначна, нигде не испытывает никаких разрывов, то есть непрерывна, и нигде не обращается в (, то есть ограничена. Поэтому для абсолютно свободной частицы единственным ограничением на выбор постоянных A и B является условие нормировки. Конечно, абсолютно свободных частиц в природе не существует, поэтому, считая частицу свободной в неограниченной области пространства, мы допускаем приближение, которое может оказаться слишком грубым и привести к абсурдным результатам. И всё же не следует прежде времени отказываться от этого приближения, так как в рамках классической механики оно оказывается вполне удобным и себя оправдывает. Итак, будем считать частицу абсолютно свободной, и выясним, как влияет на выбор произвольных постоянных A и B условие нормировки. Но прежде, чем мы им займёмся, отметим, что одно лишь условие нормировки никак не может привести к каким-либо ограничениям на параметр пси-функции k. А так как этот параметр k связан с энергией частицы, то нет и никаких ограничений на энергию. Это означает, что энергетический спектр абсолютно свободной частицы – непрерывный. А теперь обратимся к условию нормировки. Оно состоит в том, что . Для абсолютно свободной частицы область интегрирования – это вся числовая ось от –( до +(. При этом значение интеграла, вычисленного для функции (E(x), определяемой выражением (5.37), оказывается бесконечно большим числом. Результат абсурдный, и физическая причина его, разумеется, в том, что в природе не существует абсолютно свободных частиц. Интересно, однако, что можно обойти этот парадокс с помощью перенормировки пси-функции. Суть перенормировки состоит в следующем. Пусть у нас имеется не одна частица, а N. И пусть все эти частицы находятся в одном и том же квантовом состоянии (. Такая группа частиц называется квантовым ансамблем. Пси-функция частицы в координатном представлении ((x, y, z) позволяет находить вероятность dW того, что каждую из частиц ансамбля можно обнаружить в элементе пространства объёмом dV, расположенном в окрестности точки с координатами (x, y, z). Эта вероятность равна(((x, y, z)(dV. Зная вероятность dW и число частиц в ансамбле N, можно определить среднее число частиц <dN>, которые можно одновременно обнаружить в элементе dV: . Отношение <dN> к dV называется, как известно, концентрацией частиц и обозначается буквой n. Таким образом, . (5.44) Введём теперь новую пси-функцию , отличающуюся от ( только постоянным множителем : . (5.45) Использование этой функции позволяет упростить формулу (5.44): . (5.46) Так как пси-функции и ( отличаются друг от друга лишь постоянным множителем, то они описывают абсолютно одинаковые квантовые состояния: если одна из них (например, () описывает собственное состояние некоторой величины F и потому удовлетворяет уравнению , то вследствие линейности операторов физических величин пси-функция тоже удовлетворяет этому же уравнению. В частности, если ( есть пси-функция стационарного состояния, то и характеризует это же самое стационарное состояние, и обе они являются физически эквивалентными решениями одного и того же стационарного уравнения Шрёдингера (5.7). Множитель вносит по сути лишь два отличия между ( и . Одно из них – математическое, другое – физическое. Математическое отличие. Функции ( и удовлетворяют разным условиям нормировки: . (5.47а) . (5.47б) Физическое отличие. Функция ( определяет распределение вероятностей, а – распределение частиц. В квантовой физике принято обе эти функции обозначать совершенно одинаково – буквой (, но в зависимости от того, в каких формулах пси-функцию используют, – для нахождения вероятностей или концентрации – применяют первое или второе условия нормировки. Поэтому переход от ( к не считается изменением пси-функции, не сопровождается никакими изменениями обозначений и называется перенормировкой пси-функции. Перенормировка пси-функции позволяет разрешить парадокс, который обнаружился, когда мы пытались определить постоянные A и B, входящие в функцию (5.43), с помощью условия нормировки. То, что интеграл в условии нормировки оказался равным бесконечности, для перенормированной пси-функции имеет простое физическое объяснение. Определим по формуле (5.46) концентрацию свободных частиц, состояние которых определяется пси-функцией (5.43). Постоянные A и B – это некоторые комплексные числа. Если их записать в показательной форме , то получается следующее выражение для концентрации: . (5.48) Из этого выражения видно, что концентрация есть периодическая функция с максимумами и минимумами. Все её максимумы совершенно одинаковые. Они равны и следуют друг за другом через равные интервалы, равные (/k. Посредине между максимумами расположены минимумы, равные . Таким образом, частицы распределяются в пространстве одинаковыми группами. Среднее число частиц в каждой группе одно и то же, а число этих групп во всём бесконечном пространстве, естественно, бесконечно. Поэтому интеграл от концентрации, равный полному числу частиц во всех группах, равен бесконечности. Именно этот интеграл и входит в левую часть условия нормировки для перенормированной пси-функции (5.47б). В правую же часть входит число частиц N в квантовом ансамбле, которое как раз и есть полное число частиц во всех группах, равное в данном случае бесконечности. Так что всё сходится, и никакого парадокса нет. Правда, хотя парадокса и нет, возникает одна проблема: если число частиц в ансамбле N равно бесконечности, то как можно использовать условие нормировки для выбора конкретных значений произвольных постоянных A и B? Решение этой проблемы подсказывает известное в молекулярной физике распределение Больцмана, в котором концентрация частиц в любой точке пространства n(x, y, z) связывается с концентрацией n в некоторой фиксированной точке: . Значение n задаётся или произвольно, или на основании экспериментальных данных. Точно так же можно поступить и в нашей задаче. Например, можно обозначить n максимальную концентрацию частиц и считать эту величину заданной. Тогда получается формула , которая связывает произвольные постоянные A и B и позволяет, зная модуль одной из них, определить модуль другой. Правда, остаётся ещё произвол в выборе модуля одной константы и фаз (, (. Этот произвол означает, что существует бесконечно много различных стационарных состояний частицы с одной и той же энергией. Отличаются эти состояния начальными условиями, то есть тем, в каком состоянии находится частица в момент времени t = 0. Это состояние (начальное) как раз и описывает координатная пси-функция (5.43). Начальные фазы (, ( и модуль одной из констант A и B являются параметрами этой функции и, следовательно, количественными характеристиками начального состояния. Между прочим, классическая свободная частица с заданной энергией тоже может двигаться по различным траекториям, которые отличаются друг от друга начальными условиями. Эти начальные условия определяют начальное состояние частицы, количественными характеристиками которого являются координаты точки старта и начальная скорость.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Нелокализованные состояния» з дисципліни «Квантова фізика»
