Уравнение КдФ и уравнения Чаплыгина-Трубникова не описывают такие хорошо известные автономные структу- ры как вихри. Однако уравнение, описывающее многие типы вихрей есть, и мы его сейчас рассмотрим. Оно относится к классу дрейфовых течений, в которых уже гово- рилось в п. 8.2.4. Но там речь шла только о безинерционных возмущениях. Здесь же будут рассмотрены дрейфовые возмущения в плазме с учётом инерции ионов, а также глобальная динамика атмосфер планет. Речь пойдет об уравнении, которое впервые было получено геофизиками Дж. Г. Чарни A948г.) и A.M. Обуховым A949г.). Позднее, в 1978 году, в связи с разработкой теории нелинейных дрейфовых процессов в плазме аналогичное уравнение было опубликовано А. Хасегавой и К. Мимом. Мы приведем здесь вывод в простейшей форме уравнения Чарни-Обухова, как более простого. После этого без вывода выпишем обобщенные уравнения Чарни- Обухова и Хасегавы-Мимы. Ниже в разделе 9.1 рассматривается аналогия между двумерной динамикой плазмы в поперечном магнитном поле и динамикой "мелкой воды" со свободной границей во вращающемся сосуде, т. е. при наличии силы Кориолиса. В последнем случае система уравнений имеет вид (9.1.5) 448 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем — + div_L/iv = 0, (8.3.19а) at S ) O\- (8.3.196) Здесь h = /i(x, t) — толщина жидкого слоя, р — плотность несжимаемой жидкости, ft — угловая скорость вращения сосуда, g — ускорение силы тяжести, индексом "_1_" отмечена двумерность операторов. Как видно, уравнения (8.3.19) аналогичны уравнениям динамики ионов в двух- жидкостной модели плазмы при наличии магнитного поля. Нас будет интересовать случай, когда Кориолисова сила существенно больше силы инерции, т.е. члена в левой части уравнения (8.3.196) и уравновешивается преимущественно силой гидростатического давления. А это значит, что параметр До = ^<1, (8.3.20) где г — характерный временной масштаб процесса, например, время оборота вихря. Этот параметр геофизики обычно называют параметром Россби-Кибеля. Очевидно, он означает, что период циркуляции в вихре должен быть много больше времени оборота сосуда или планеты вокруг оси. В свете отмеченной аналогии между ди- намикой "мелкой" воды и плазмой в магнитном поле, можно сказать, что критерий Россби-Кибеля полностью соответствует критерию замагниченности частиц, т. е. применимости дрейфового приближения (п. 1.2.5). Чтобы не усложнять вычисления, рассмотрим случай, когда невозмущенная среда однородна и неподвижна. Тогда, ограничиваясь квадратичными по амплитуде возму- щениями скорости, можно положить h = h0 + h\ + h2, h0 = const, ,ooon yo.d.Zl) vx = ^l + Щ\ vy = щ + Щ. Допущение (8.3.20) позволит нам величины ~ dv\/dt считать величинами второго порядка малости. Подставляя разложение (8.3.21) в (8.3.19) и группируя члены одного порядка, получим ^ + |-Mi + S-houi = 0; (8.3.22) at ox ay яь : (8.3.23) dh2 д n 7 ч д n 7 ч л + (hv + hv) + {hu + hxu\) = 0; 2Clu2; (8.3.24) at ox oy ox дщ дщ дщ dh2 at ox oy oy Подставляя (8.3.23) в (8.3.22), получаем ,.. 8.3. Модельные уравнения "автономных" плазменных структур 449 т. е. в первом приближении плотность среды при наличии дрейфовых возмущений остается постоянной (сравните с п. 8.2.4). В первом приближении скорость дрейфо- вых движений равна г -. vi =-x[v/ii,n°J (8.3.26) Здесь х — 77^' а Г2° — единичный вектор вдоль оси вращения сосуда. Учитывая выражение (8.3.23) для vi = (v\,u\), нетрудно убедиться, что dv\ dv\ 2D(h\y,h\) дщ дщ Z_V.1X.,..1/ г?1— Ьгм-^—=л 7^—ч—; v\— \-Щ—— = — у -, :—. (8.3.27) дх ду D(x,y) дх ду D(x,y) Подставляя (8.3.27) и (8.3.26) в (8.3.24), находим выражения для г>2 и и^'. _ X , X2 D(hix,hi)m t)o — —^i^in — ib\tT H~ / \—5 ",7 (8-3.28) Здесь индексы ж, у, t означают соответствующие частные производные. Подставляя (8.3.28) в (8.3.24) и учитывая (8.3.26), получаем (8.3.29) Это упрощенный случай уравнения Чарни-Обухова. Его иногда называют уравнени- ем Ларичева-Резника, по имени тех, кто детально изучали его свойства. В нашем выводе невозмущенная конфигурация была неподвижной. Однако разви- тие волн (вихрей, солитонов) Россби (как и дрейфовых волн) обычно происходит на движущемся фоне. Поэтому в (8.3.21) при выводе уравнения Чарни-Обухова надо положить v = vo + vi, v0 = (vo,O). Соответственно этому получается уравнение, которое в стандартной безразмерной форме имеет вид D(h д/ч (Ah - h)t + vohx + vohhx + Д/ / = 0. (8.3.30) Учитывая геофизические приложения данного уравнения, величину г>о надо считать функцией поперечной (широтной) координаты vo = щ(у) « здо (l - Щ- (8.3.31) где R — радиус меридиальной кривизны. Соответствующее уравнению (8.3.30) уравнение Хасегавы-Мимы, записанное для возмущения потенциала в плазме, имеет вид: (Аф - ф)г + уо{ф)фх + vi#я + ?' У = 0. (8.3.32) Здесь ^о — дрейфовая скорость. Отметим основные особенности уравнения (8.3.30). а. Видно, что если пренебречь нелинейными членами, то мы получим линейные возмущения с дисперсионным уравнением и = кх(\ + х2)-1. (8.3.33) 15 А. И. Морозов 450 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем Это уравнение совпадает с уравнением (8.2.33), если пренебречь здесь величи- ной к2 в знаменателе, которое обязано учету инерции среды в членах второго порядка малости. б. В уравнении (8.3.30) есть два нелинейных члена: "скалярный" ~ hhx и "век- „ D(h,Ah) торный ~^т Г- D(x,y) Если векторный член мал, то мы имеем в области малых волновых чисел урав- нение Картевега-де Фриза (КдФ) с его волнами и солитонами. Действительно, при отсутствии векторной нелинейности в одномерном случае имеем d3h dh , ,9ft л ox1at at ox Учитывая, что в линейном приближении (при к —> 0) можно написать Q Q дЧ дЧ Если, наоборот, превалирует векторная нелинейность, то здесь есть, кроме линейных волн с указанным законом дисперсии, также вихри и вихреобразные солитоны. В том, что в (8.3.30) содержатся вихри, проще всего убедиться на примере стационарного уравнения (8.3.29) =0. <8.3.34а) Отсюда, в частности, следует возможное решение Aft = — q n, где ft = A smxx -sinx22/; >c\ + х| = q2. (8.3.346) Вихревая структура этого выражения уже была ранее изображена на рис. 2.2.1. Подробнее о вихревых структурах будет сказано в разделе 9.1.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение Чарни-Обухова» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
