Вывод уравнения Ландау будет прозрачнее, если мы учтём один факт из теории случайных процессов. Среди вероятностных процессов существует класс "предельно детерминированных процес- сов" — это так называемые, марковские процессы. Они обладают тем свойством, что, зная вероятность распределения некой совокупности параметров {а\} при t\, мы однозначно находим вероятностное распределение параметров {а^} в любой другой 230 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях момент времени ?2- Формальное определение непрерывных марковских процессов та- ково. Вводится функция перехода из состояния 1 в состояние 2 в течение промежутка времени (t2,t\): W = W(a2]t2\ai]ti), E.1.7a) Очевидно, функция W(l|2) может рассматриваться как функция распределения /(t,x, v) в момент t, нормированная на единицу. Но, в отличие от /, в W явно указывается распределение параметров /o(t,x, to) в начальный момент to. Процесс является марковским, если удовлетворяется интегральное уравнение W(a2,t2|ai,ti) = W(a2,t2\a,t)W(a,t\ai,ti)da. E.1.76) Естественно, что все виды кинетических уравнений являются уравнениями для функций перехода соответствующего марковского процесса. Так уравнение Больц- мана соответствует процессам, при которых параметры системы (скорости частиц) изменяются "большими" скачками. Иное дело в случае кулоновских систем. Здесь, если б <С 1, скачки скорости малы и поэтому процесс оказывается диффузионным и описывается вытекающим из E.1.7а) уравнением Фоккера-Планка. \ ГП /l \ ТТ7""| Г\ /Г 1 О \ / J ^— 1-^\7'/\^> ^1' ^2» • • • > ttnj И/J = U, @.1 .oaj где коэффициенты Aj и Bji определяются равенствами Aj(t,a\,a2,...,an) = — (Auj) dtd E.1.86) Bji(t,aua2,...,an) = — (Auj, Ащ). Здесь dj(t) есть случайные координаты точки, движущейся в фазовом пространстве {}, a Adj — скачки; угловые скобки означают усреднение Wds.. E.1.8в) При выводе уравнения Фоккера-Планка предполагается, что Aai таковы, что среднее от произведения трёх и более скачков пренебрежимо мало. Из сказанного видно, что, применительно к кулоновским системам, нам надо вычислить Ai, Bjk и доказать, что Сцъ = 0. Фазовое пространство {а} в интересующей нас кинетике — это (х, v), но нас будет интересовать более специальный случай, когда скачками изменяются только скорости (Av), тогда как координаты частиц при этом не изменяются. Но, не испытывая скачков, координаты частиц могут изменяться благодаря их скорости, а скорости — кроме скачков — за счёт внешних детерминированных сил. Поэтому можно написать Ах = vAt, Av = — At + Avst = Avd + Av . E.1.9) m 5.2. Кинетика сталкивающихся заряженных частиц 231 Здесь Yd — детерминированная сила, a Avst — изменения скорости из-за столк- новений. Подставляя E.1.9) в E.1.86), находим коэффициенты Aj и Bji 4i-3) = dt = v; А(з_б) = dAv dt d m dt -Avst. E.1.10) В то же время коэффициент Bji зависит только от (Av)st, поскольку детерминиро- ванные компоненты At2 AvdtjAvdtl\~At\At^0^0. E.1.11) Таким образом, при отсутствии столкновений мы естественно получаем уравнение Лиувилля, но пока без учёта сохранения фазового объёма: dt <9x <9v m Учёт теоремы Лиувилля "мягких" (далеких) столкновений позволяет привести урав- нение E.1.8а) при сделанных конкретизациях к уравнению Фоккера-Планка |i !k|/ i» > # о. E1Л2) |+v + | + (F,t/) dt ax mow mow 2 ovjdvi Здесь Dji — тензор диффузии частиц в пространстве скоростей. Вывод уравнения E.1.12) и будет нашей ближайшей целью.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Марковские процессы. Уравнение Фоккера-Планка» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
