Теперь рассмотрим МГД волны, со- провождающиеся возмущением плотности плазмы. Для этого сведем систему B.5.2) к одному уравнению для р, как это раньше делалось при рассмотрении звуковых волн в гидродинамике Эйлера. Учитывая равенства [Но, rot Hi] = V(Ho#i) - (H0V)tfi; rot [v, Ho] = (H0V)v - Hodiv v, и дифференцируя первое и третье уравнения B.5.2) по t и подставляя в них второе уравнение B.5.2), получим: B.5.12а) _ 2 Но d*Pi tfo &рх 2.5. Линейные МГЦ волны в однородной плазме 123 Дифференцируя ещё два раза первое уравнение B.5.12а) по t и подставляя в него B.5.126), получаем искомое уравнение B.5.13) dz2 Зная р\, можно найти возмущения скорости плазмы vi и поля Hi. Они определяются выражениями: о Здесь L и L\ — операторы 1 1 - слслтт 9 7 тт /47Г Г д 9^ L[Hl=_ )c LVpi-CA B.5.14) д2 Подставляя в B.5.13) экспоненту р\ ~ ехр{—iut + гк • х}, получаем дисперсионное уравнение 4 D \)V 443! = 0. B.5.15) со4 - Это биквадратное уравнение определяет два типа волн с квадратом частоты ,2.5.,6a) B.5.166> D " Здесь D = Волны с частотой uj = ±о;б называются "быстрыми магнитозвуковыми волнами", а с частотой и = ±и;м — "медленными магнитозвуковыми волнами". Исследуем их свойства. 1. Прежде всего, видно, что фазовая и групповая скорости не зависят от длины волны, т.е. \к\ = к, а зависят только от угла между направлениями Них. 2. Если волны распространяются вдоль магнитного поля, то B.5.17а) B.5.176) 3. Если волны распространяются поперёк магнитного поля, то l = D ш2ж = 0. Наглядное представление о зависимости фазовой скорости от угла между Них даёт полярная диаграмма (рис. 2.5.3а). Здесь изображены три линии, соответствую- щие быстрым (Б), альфвеновским (А) и медленным (М) МГД волнам. Различие в поведении быстрой и медленной МЗВ объясняется тем, что в быстрой волне упругость среды есть сумма газокинетического и магнитного давлений (см. B.5.16)). В то же время в медленной волне при к ^ Но происходит, образно говоря, "вычитание" газокинетического давления и магнитного натяжения. А это ослабляет 124 Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы Рис. 2.5.3. Полярные диаграммы фазовых (а) и групповых (б) скоростей МГД-волн. А — альфвеновская волна, М — медленная, Б — быстрая магнитозвуковая волна эффективную упругость среды при распространении медленной магнитозвуковой волны. Выражение для ио^ в случае к\ЛИ совершенно естественно в свете того, что говорилось о плоских течениях поперёк магнитного поля B.3.11). Если угол между к и Но не равен нулю, то картина здесь достаточно сложна, о чем говорит, в частности полярная диаграмма групповых скоростей, построенная Фридриксом (рис. 2.5.36). На этой диаграмме альфвеновские группы вырождаются в две точки, медленным МЗВ соответствуют криволинейные обособленные треугольники, и только быстрые МЗВ характеризуются овалом, похожим на овал фазовых скоростей. Подробнее об этом цикле вопросов см. [70, 71]. Диаграмма групповых скоростей может быть использована для построения картин возмущения однородной плазмы при разных ориентациях и величины скорости vo "возмутителя" по отношению к внешнему магнитному полю Hq. Эта картина не проста даже если таким "возмутителем" является точечный объект. Поэтому мы отсылаем интересующегося к цитированной литературе [10].
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Магнитозвуковые волны (МЗВ)» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
