В соответствии со сказанным исходим из следующей системы уравнений (а — проводимость, кт — теплопроводность плазмы): % +divpv = 0; р^ = -Vp+ - [j,H]; рТ% = *- +divxTVT, B.3.2a) at at с at a rotH=—j; rotE = --?5; divH = 0, B.3.26) с с ot l) Течения сравнительно плохо проводящих жидкостей (ртути и др.) в магнитном поле изучал Гартман за десять лет до Альфвена. 2.3. Одножидкостная магнитная гидродинамика (МГЦ) 109 - =E + -[v,H]. B.3.2в) а с Первая группа уравнений B.3.2а) — это система уравнений Эйлера, в которой в качестве объёмной силы введена сила Ампера и уравнение для энтропии, в котором учтены джоулево тепло и теплопроводность. Как и в разделе 2.1 вместо уравнения для энтропии часто используется уравне- ние энергии. В случае МГД оно получается, если в первый член B.1.7) добавить плотность энергии магнитного поля Я/8тг, а во второй — вектор Умова-Пойнтинга П: + ^- ) + div ( -F-v ( w 9 ( П = Р м с 4тг / [Е, Н pv 2 W \м \ 2 / / B.3.2г) В большинстве случаев в данной главе мы будем пренебрегать детальным рас- смотрением тепловых процессов и вместо уравнения для s просто использовать уравнение баротропы р = р(р). B.3.2д) Вторая группа B.3.26) — уравнения Максвелла без тока смещения 0 Из нее следует условие замкнутости (точнее "соленоидальности") токов div j = 0. B.3.3а) Наконец последнее уравнение B.3.2в) — это обычный закон Ома, учитывающий явление электромагнитной индукции. Если взять rot от закона Ома и воспользо- ваться уравнениями B.3.26), то можно исключить Е. В результате при а = const получаем ^- = rot [v, H] + vmАН. B.3.36) (УС 2 Здесь уш = магнитная вязкость. 4тг а В правой части этого уравнения стоят два члена: конвективный и диссипативныи. Если рассматриваются неподвижные проводники, то конвективный член исключён. Получается обычное уравнение типа уравнения для теплопроводности, и оно опи- сывает скин-эффект. Конвективным членом можно пренебречь и в том случае, если "магнитное число Рейнольдса" Rem мало, то есть ^ « ,. B.3.4) у Rem = = « ,. {iymAH} уш Здесь, как и ранее, фигурными скобками обозначен масштаб величины. Если наоборот, магнитное число Рейнольдса Rem = — » 1, B.3.5) то можно обычно пренебречь омическим членом в B.3.36). 1) Пренебрежение токами смещения означает малость величины dE/dt по сравнению с величиной 4ttj. Как правило, условие {dE/dt} <C 4?r{j} означает низкую частоту процесса. ПО Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы Ниже будут рассматриваться преимущественно бездиссипативные процессы. В этом случае система МГД-уравнений имеет вид: B.3.6а) ^ + (W) v) = -Vp + l- [j, H]; B.3.66) Р = р(р)\ B.3.6b) rotH=—j; B.3.6r) е divH = 0; B.3.6д) — = rot[v,H]. B.3.6e) Эта система уравнений может быть формально несколько упрощена, если исклю- чить j из уравнения B.3.66) с помощью уравнения B.3.6г). Учитывая векторное тождество а2 [a, rota] = V— - (а\7)а, Получим: (? ) ( ?) (-S.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнения МГД» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
