Течение идеального газа в тонкой трубке переменного сечения
Те- перь рассмотрим простейшую модель устройства, превращающего тепловую энергию газа в его кинетическую энергию. Это будет "тонкая" трубка переменного сечения (рис. 2.2.3), на вход в которую поступает нагретый газ (температура То) с малой скоростью, а на выходе в "пустоту" он истекает уже охлажденный (Твых —> 0) с кинетической энергией частиц гвых ~ kT$. "Тонкость" трубки означает, что в данном приближении можно пренебречь зависимостью продольной скорости v и плотности р от расстояния г до оси: vx(r,z) = v(z) + O(r2); Процесс считаем стационарным и адиабатическим. Именно такую модель в 60-х годах XIX века рассмотрел французский ученый Гюгонио 0. Динамика газа при сделанных допущениях описывается системой двух алгебра- ических уравнений: законом сохранения вещества и уравнением Бернулли: pvS = га = const; B.2.16a) 2 у + i(p) =io = const. B.2.166) l) Впервые профилированные трубки, адекватные теории, на практике реализовал француз Лаваль (^1860 г.) в паровой турбине ("сопло Лаваля"). Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы Рис. 2.2.3. Течение в трубке переменного сечения: а — схема трубки, б — изменение сечения S, скорости потока v и местной скорости звука ст вдоль трубки Здесь S — сечение трубки, а во втором уравнении предположено, что на входе можно пренебречь кинетической энергией газа по сравнению с его тепловой энергией. В случае адиабатического процесса р = Ро \ — -\ dp(p) 7 сто dp 7-I \poj \poj Из B.2.16b) видно, что на выходе, где р ная скорость равна энтальпия равна 7-1 с* =7^. 7-1 О, а следовательно и i(p) B.2.17) ^шя.х — Ро ¦> 0, максималь- B.2.18) т. е. она порядка скорости звука на входе. Учитывая, что р = nkT, p = Мп, имеем: СТ = видно, что vmax тем больше, чем выше температура на входе (в камере сгорания) и меньше масса образующихся частиц. Поэтому наибольшие скорости истечения создаются "криогенными" двигателями, в которых используются водород и кислород, а в результате получается вода. Но вернемся к системе двух уравнений B.2.16) и выясним условия, при которых имеет место регулярный (без разрывов) разгон газа за счёт тепловой энергии. Это проще всего сделать, записав уравнения в дифференциальной форме: fo + 4—=0. B.2.19) Р Исключая отсюда dp, получаем связь dv с dS\ dp dv dS p v S - 1 dv v dS B.2.20) Отсюда видно, что если течение дозвуковое (cj > v), то скорость потока возрастает (dv > 0), если сечение трубки сжимается (dS < 0). При переходе через местную скорость звука (v = ст) сечение должно быть минимальным (dS = 0). Наконец, возрастание скорости сверхзвукового потока требует расширения канала (dS > 0). Таким образом, регулярный разгон газа от v ~ 0 до v ~ vmax может происходить 2.2. Примеры задач гидродинамики Эйлера 105 только в капле с перетяжкой ("критическим сечением"), где скорость потока перехо- дит через местную скорость звука (рис. 2.2.36). Ну а если в зоне сверхзвукового потока начать уменьшать сечение трубки, то в таком месте, как правило, возникнет ударная волна. Наглядно разное поведение дозвукового и сверхзвукового потока в трубке можно пояснить следующим образом. В дозвуковой зоне расширение газа мало и здесь газ ведёт себя практически как несжимаемая жидкость. А ведь хорошо известно, что скорость воды возрастает при сужении потока. Наоборот, в сверхзвуковой зоне взаимодействие между частицами (каплями) ослабевает и здесь происходит переход поперечной энергии частиц в продольную за счёт столкновений со стенками. А в силу сохранения поперечного адиабатического инварианта (J± = v±h) для этого ширина канала h должна возрастать. Замечание. Вторая половина XX века ознаменовалась техническим достижением, которое быстро пронизало все области человеческой деятельности, включая идеоло- гию. Речь идёт о выходе человека в космос. Это огромное достижение было обеспече- но, прежде всего, созданием жидкостных ракетных двигателей (ЖРД). Первый мощ- ный ЖРД, развивавший огромную для своего времени (начало 1940-х годов) тягу (~ 20т), был двигатель, разработанный и доведённый до практического применения тридцатилетним немецким инженером Вернером фон Брауном, руководившим рабо- тами по созданию ракеты "ФАУ-2", носившей рабочее название "А-4" (Agregat-4) 0. Эта ракета имела массу ~ 13 тонн, длину ~ 14 метров, а её двигатель работал на смеси этилового спирта и жидкого кислорода, выбрасывая в 1 секунду около 100 кг продуктов сгорания (рис. 2.2.4) [63]. Созданные фон Брауном двигатели были установлены на первых баллистических ракетах (P-I) у нас и в США, куда был вывезен после войны выдающийся инженер. Позднее ЖРД претерпели серьёзные изменения, основным был переход от камер сгорания низкого давления (~ 20атм) к камерам высокого давления (> бОатм). Будучи уже в Америке, фон Браун совершил ещё одно чудо. Под его руководством был создан двигатель Сатурн-V, который развивал тягу ~ 1000т (рис. 10.4.1). Эти двигатели обеспечили американцам возможность послать трёх человек на Луну и вернуть их на Землю (июль 1969г). У читателя естественно может возникнуть вопрос: какое это всё имеет отношение к плазмодинамике? На самом деле — прямое. Во-первых, ЖРД у нас выступит как некий эталон, когда мы будем говорить (раздел 10.4) об электрореактивных двигателях (ЭРД). Во-вторых, в камере сгорания ЖРД, работающих на кислороде и водороде, темпе- ратура достигает ~ 4000 К, а это температура солнечных пятен, и здесь концентрация электронов ~ 0, 1% от общего числа частиц. Поэтому не удивительно, что продукты сгорания ракетных топлив используются в МГД-генераторах как проводящая среда. В-третьих — при возвращении космических аппаратов на Землю, вокруг них обра- зуются облака плазмы, как около метеоритов. Поэтому общее знакомство с ракетной техникой необходимо всякому, кто посвящает себя работе с плазмой.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Течение идеального газа в тонкой трубке переменного сечения» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
