Пусть имеется электромагнитное поле, мед- ленно меняющееся в пространстве и во времени. Медленность изменения в простран- стве означает, что величинами порядка (рн/LJ — квадрата отношения ларморовско- го радиуса рн к масштабу неоднородности магнитного поля L, можно пренебречь. Медленность изменения во времени означает пренебрежение членами порядка 1 «1, где Т — характерное время изменения поля. В таком случае в первом приближении движение частиц будет подобно движению в однородных постоянных полях. Оче- видно, в следующем приближении окажется, что центр ларморовской окружности как-то переместился, а ларморовский радиус измениться. Уравнения, описывающие эволюцию параметров "кружка", называются "дрейфовыми". Строгий вывод этих уравнений проводится методом усреднения по ларморовскому вращению. Однако, из- за трёхмерности пространства, он сравнительно громоздок. Поэтому мы не будем его приводить (см. [54], [56]) и ограничимся анализом смысла членов этих уравнений. Дрейфовые уравнения пишутся для компонент скорости г^ц и v_l, направленных соответственно вдоль и поперёк магнитного поля, а также для радиус вектора R некоторого эффективного центра ларморовской окружности. Три уравнения для этих величин в случае статических Н и Е-полей — а только этот случай нам и потребуется в дальнейшем, можно записать в виде: V2 -± = const; A.2.23а) н m(vn + v2, ) 11 + еф(Я) =е = const; A.2.236) M + R+^ Ь- A-2.23В) Первое из написанных уравнений означает, что магнитный поток, проходящий через ларморовский кружок, сохраняется 0, несмотря на то, что размеры кружка могут в процессе дрейфа очень сильно изменяться. Нетрудно видеть, что это закон сохранения есть не что иное, как сохранение адиабатического инварианта, связанно- го с ларморовским вращением J±=lpdq. A.2.24) Второе уравнение A.2.236) есть закон сохранения энергии. В третьем уравнении первые два члена описывают известные нам движение вдоль магнитного^поля и электрический дрейф. Члены Rm>i и Rm,2 связаны с неоднородностями магнитного поля и описывают "магнитный дрейф". Так, при движении частицы по искривлённой силовой линии (рис. 1.2.4а), на неё действует центробежная сила, вызывающая "центробежный" дрейф, и член Rm>i описывает этот эффект (см. A.2.10)) Действительно, Ф = тгр2Н = тг (v±Mc/EHJ H ~ v]_/H. 1.2. Движение частиц в электромагнитных полях 61 mv\ !по. mcv A.2.25) Здесь р — радиус кривизны магнитной силовой линии; п° — вектор нормали к этой линии. VH а б Рис. 1.2.4. Составляющие магнитного дрейфа: а — центробежный дрейф; б — градиентный дрейф Если напряжённость магнитного поля переменна в направлении, перпендикуляр- ном к силовым линиям, то имеет место градиентный дрейф, описываемый членом Rm?2> который равен A.2.26) ин Причина градиентного дрейфа состоит в том, что радиус кривизны ларморовской окружности меньше в области более сильного поля и больше в области слабого поля (см. рис. 1.2.46). Если магнитное поле безвихревое (т. е j = 0), то радиус кривизны р магнитной силовой линии связан с градиентом \Н\ = Н соотношением О Vtf = -- Р A.2.27) Подставляя выражения A.2.25), A.2.26) в A.2.236), получаем окончательно с учётом A.2.27) dR H JE, Н] , тс ,Оя12 , л12агхт ^ A22g) 'Я н2 Переход от точного уравнения A.2.1) к системе дрейфовых уравнений A.2.23) означает переход от трёх дифференциальных уравнений второго порядка к трём уравнениям первого порядка. А это радикально упрощает анализ динамики частиц. В пункте 1.2.1. отмечалось, что при движении частиц каждому виду симметрии полей соответствует свой строгий закон сохранения. Аналогичными свойствами об- ладают и дрейфовые уравнения. В полях, не зависящих от времени, как и в случае точных уравнений, сохраняется полная энергия частицы е = (m/2)(vj_ +V|) + еФ. 1) Оно очевидно для магнитного поля прямого тока. 62 Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели) Если поля к тому же обладают осевой симметрией, то сохраняется аналог момента количества движения (Морозов, Соловьёв 1959г, [54]) TflCVw \Т Z) гАв = ф{г, z) + у ' гНд(г, z) = const. A.2.29) Здесь Н = |Н|, vy = JB/m)(e — еф) — Vj_, Vj_ = у^_0(Я/Я0). Нулем отмечены зна- чения, взятые в некоторой начальной точке. Уравнение A.2.29) определяет в плоско- сти г, z траекторию движения частицы. Вывод выражения A.2.29), а также примеры его применения см. в работе [54]. Его мы используем в п. 1.4.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Дрейфовое приближение» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
