Рассмотрим более подробно волновую функцию атома гелия, где взаимо- действие спинов и орбитальных моментов электронов должно носить характер рессел — саундерсовской связи. Поскольку в последнем случае независимо складываются орбитальные и спиновые моменты, волновая функция может быть записана в виде произведения двух частей, одна из кото- рых зависит от спинов частиц, а другая — от их координат. § 24 Учет спика в гелиеподобных атомах 341 , !учтем, что волновая функция должна быть антисимметрична относительно перестановки четырех квантовых чисел _ С (я с \ ih (г Г \ (94 9^ причем здесь перестановка координат эквивалентна переста- новке не четырех квантовых чисел (пространственных и спино- вых), как в B4.9), а только трех пространственных Это реа- лизуется в двух случаях- либо в случае, когда функция яв- ляется симметричной относительно спинов и антисимметричной относительно координат, либо наоборот. Поэтому мы имеем следующие два типа решений ь. (гр г2), B4.24) ,(гр г2). B4.25) Напомним, что координатная часть волновой функции нами получена (см. § 23). При пх Ф п2 имеем. СЛгг ^2)=^ (« + »). B4.26) где Обратимся теперь к исследованию спиновой части волновой функции двух электронов. В случае связи Рессела — Саундерса, спиновые моменты складываются независимо от орбитальных. Спиновые функции для каждого электрона выберем в виде собственных функций оператора проекции спина на ось z S, = ycr^ B4-29) а также оператора квадрата спинового момента S2 = ^K + ^2 + ^> B4.30) 1 Обе функции у?а и ЧГс являются антисимметричными при перестановке всех четырех квантовых чисел В данном случае эти индексы определяют характер симметрии относительно пространственных координат. 342 ЧАСТЬ III ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ Здесь двухрядные матрицы Паули от [см. A6.26)] мы будем писать без штриха г0 1\ /О -Л /1 (Г оГ а2 W о)9 °3 = {о - (сЛ Спиновая функция С = одной частицы удовлетворяет та- \С2/ ким. образом двум уравнениям: S2C = -? К + °\ + аз) ( ';) = *% ( ';) • B4.32) Учитывая, что а^==1 и т.д., из уравнения B4.32) находим А2 = ^~- Матричное же уравнение B4.31) для Фиределения \х эквивалентно системе дв>х однородных алгебраических урав- нений: С у-*, -О, , ч B4.33) с2 Ьг + *1 =0. из которых следует, что существуют два решения, соответствую- щие двум возможным ориентациям спина относительно оси г: 1) Xj^y, С! = 1, С2==0. При этом спин направлен параллельно оси г. Волновая функ- ция, принадлежащая собственному значению 7г» имеет вид [см. A6.48)]: В этом случае спин направлен антипараллельно оси г. Соответ- ствующая волновая функция равна C) B4.35) В решениях B4.34) и B4 35) в скобках у амплитуд С указано значение проекции спина на ось г. Нетрудно заметить, что обе спиновые части волновой функции удовлетворяют условию орто- нормированности. Действительно, если под сопряженной (точнее, эрмитово-сопряженной) спиновой функцией понимать, как обыч- но, матрицу из одной строки § 24. Учет спина в гелиеподобных атомах 34$ то из B4.34) и B4.35) следует, что Действие же матриц Паули на спиновые функции B4.34) и B4.35) будет следующим: При наличии двух электронов оператор проекции полного спина на ось г, а также оператор квадрата полного спина со- ответственно равны: S, = S; + S" = 1 h (аз + а"), B4.37) S2 = ft2 (| +у (*'*'')). B4.38) Здесь штрих и два штриха у матриц Паули означают, что эти матрицы должны действовать на спиновые функции соот- ветственно первого (с7 (± уI и второго (С" f ± yj J электронов. Из спиновых функций обоих электронов мы можем соста- вить три симметричные комбинации: с- - w Iе' (т)с" (- т)+с' (- т)с" (т)] <24-39> и одну антисимметричную с> - 7Г [с' (т)с" (- 7)" С (" ?)с" AI • B4-40> Для того чтобы найти ориентацию спина относительно оси г, подействуем на спиновые симметричные функции оператором B4.37). 344 ЧАГТЬ 1П ТЕОРИЯ МНОГИХ Ч4ГТМИ С помощью равенств B4.36) можно показать; S,C? = uCi> B4.41) SZC2= -hCl B4.42) S.CC3 = 0, B4.43) т. е. в состоянии С\ спины обоих электронов направлены по оси г (ff), в состоянии Со— против оси г(Ц) и з состоянии С\~ пер- пендикулярно К ОСИ 2(=>). Для того чтобы найти абсолютное значение общего спина, воспользуемся соотношением, которое легко получить, учиты- вая B4.36) 1: S2Cl 2^ = h2 [| + у {<*'*")] Cl Zi = h2S{S+\) Cl 2, з, B4.44) где S=l, т. е. общий спин симметричного состояния равен еди- нице (спины обоих электронов параллельны). При действии спиновых операторов на антисимметричную спиновую комбинацию B4.40) аналогичным путем легко по- казать, что S2Ca = h2 (у + \ (а'а")) Са = 0, B4.45) S,Ca = 0, B4.46) т. е. антисимметричное спиновое состояние Са описывает слу- чай, когда спины обоих электронов направлены антипарал- лельно друг другу. В случае, если оба электрона находятся в одном и том же состоянии П[ = п2, существует только одно решение с симмет- ричной координатной частью 2: Ч" = са(*ь s2)f\ B4.47) 1 Учитывая B4.36), m следние равенства могут быть вычислены при- мерно по следующей схеме: W + О С? - С" A) a'f A) + С A) *;С" A) - 2С ( 1-) С" A) - 2^, <aV) CJ - aJC (I) аГС (i-) + ^' A) <C (I) + «^' ({) ^C и т. д. 2 См примечание к формуле B4 25). 24. Учет спина в гелиеподобных атомах 345 Фиг. 24.1. Ориентация спинов элек- тронов в атоме гелия Парагелий \ Ортогелий.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Волновая функция атома гелия с учетом спина» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
