Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Квантова механіка і атомна фізика

Электромагнитный вакуум

При движении электрона в атоме
он взаимодействует не только с атомным ядром, но и с ваку-
умами: электромагнитным, электронно-позитронным (см. § 22)
и т. д.
Классическим аналогом учета подобного взаимодействия яв-
ляется электромагнитная масса электрона, которая, как из-
вестно, в случае точечного электрона обращается в бесконеч-
ность. Точно так же и в квантовой электродинамике, где элек-
трон по существу рассматривается как точечный, взаимодействие
ею с вакуумом приводит к расходящимся результатам.
Однако большим достижением современной квантовой тео-
рии поля оказалось развитие так называемой проблемы ре-
гуляризации, позволяющей дать рецепт выделения в этом
расходящемся взаимодействии таких конечных вакуумных чле-
нов, которые можно наблюдать экспериментально.
Мы не имеем возможности подробно останавливаться на су-
ществующих методах регуляризации и укажем здесь лишь их
основную идею.
Оказывается, взаимодействие электрона, находящегося а
поле ядра (потенциальная энергия УФО), и свободного элек-
трона (V = 0) с вакуумом несколько различно, хотя оба они яв-
ляются расходящимися. Однако разность их (в первом прибли-
жении пропорциональная V) может стать конечной величиной.
В частности, при взаимодействии электрона атома водорода
с электромагнитным вакуумом ътг разность и обусловливает,
лэмбовский сдвиг уровней, т. е. сдвиг уровня 2sy2 вверх относи-
тельно уровня 2ру2, которые, как мы отмечали, по теории Ди-
рака должны быть слившимися.
300 ЧАСТЬ II РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Согласно формулам A0 3) и A0.4) волновое уравнение, опи-
сывающее движение электронов с учетом наличия квантового
поля фотонов, имеет вид:
где
,r/ e
(А р).
Вектор-потенциал вторично квантованного поля А мы разобьем
на две часги:
Л = Л~ + Л\ B1.2)
где оператор
Л""" . ^ ~| / /у (ryf \ 0 — I Cut / 01 О V
-~ ~7ТГ /1 у к и v^; e; B1.о)
описывает поглощение, а оператор
— испускание фотонов.
В наших расчетах рассматривается нерелятивистский случай,
для которого основной вклад дает дипольное приближение, и
поэтрму мы положили
Допустим, что нам известно решение уравнения B1.1) без
учета вакуумных членов (V = 0)
¦°@-2С^"Ч B1.5)
причем собственные функции удовлетворяют стационарному
уравнению Шредингера
НV- = ?И&. ^ = Ц-. B1.6)
Далее предположим, что электрон находится в состоянии я,
4>»@ = 4>k~'V- B1-7)
Тогда при учете вакуумных членов во втором порядке теории
возмущения отличными от нуля (в случае отсутствия фотонов
N = 0) остаются лишь комбинации [см. (9 51)]:
которые и обусловливают лэмбовский сдвиг уровней.
§ 21. Лэмбовский сдвиг уровней 301
Энергию второго приближения Ё'г1 согласно A5.84) следует
вычислять по формуле.
(^)?@ d\ B1.9)
причем, чтобы осуществить комбинацию B1.8), мы должны при
вычислении tyn в энергии возмущения У оставить члеьы, про-
порциональные лишь Л+.
Тогда, полагая
и принимая во внимание, что ^(t) является решением уравне-
ния B1.1) с V = 0, для определения г|? (*) получаем уравнение,
в котором оставлены лишь члены первого порядка малости
h д т
Решение уравнения B1.11) ищем в виде
*»(*)= S S'Cn-W^-e"'4"-""). B1-12)
= S S
причем используя равенство B1.6), имеем:
/_j С я" (х) ^ (СО + (йп"п) 1|V == ^Ц
-" mocL
я, B1.13)
где
ft
Умножая все равенство на г|з^ и учитывая условие орто-
иормированности
J
найдем для коэффициента CV(x) следующее выражение:
7
Подставляя B1.12) в B1.9) и учитывая B1.14), а также пере-
становочные соотношения B1.8), получаем выражение для
302 ЧАСТЬ ТТ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
дополнительной энергии:
г" — _ 2яе2 VI yv 1
1х ^^ ( )
X [(р„Я'Р„'п)-(>е0РпЯ')(^0Рп'Я)]. B1.15)
В дальнейшем сделаем переход от суммы к интегралу
е- B1Л6)
Тогда после интегрирования по телесному углу dQ вектора >с°
с помощью равенства A0.55) мы приведем равенство B1.15)
к виду:
|?т2 ]тЧ^р^ B1Л7>
3 шояс ^ J (© + ©„,„)
Воспользуемся в дальнейшем следующим преобразованием:
^^ B118)
и учтем, что в знаменателе мы можем исключить частоту (о«^
из рассмотрения, если сопоставим друг с другом следующие
два равенства 1:
а)
Верхний предел в обоих равенствах соМакс, хотя и стремится
к бесконечности, однако, приравнивая оба равенства друг другу»
находим, что члены, пропорциональные In и)макс в обеих частях
равенства, сокращаются. Тогда для определения частоты ш0, не
зависящей от индексов п\ находим:
S ®л'п (Рпп'Рп'п) ln I ®rt'« I
In Шо в _л: ш B1.21)
2L <»п п {Рпп'Рп'п)
1 Учитывая, что ©^ = 0, знак штрих у суммы можно вообще снять, i. e.
распространить суммирование и на значение п — л.
§ 21. Лэмбовский сдвиг уровней 303
Принимая во внимание последние соотношения, мы можем
выражение B1.17) для искомого сдвига уровня записать в виде:
ппФп'п). B1.22)
Дальнейшие вычисления мы произведем по формуле (8.89),
определяющей умножение матричных элементов
2 апп'Ьп'п = {ab)nn = J 4>S*ab4>n d\ B1.23)
п'
имеющей место, когда операторы а и b не зависят от индекса п'т
Тогда легко показать, что
2' РппФп'п = 2 РппФп'п ~ (Рпп? = (р\п - (Аи)*. B1.24)
S' «»'» (А»'А.'„) = S ю«'" (Р^Рп'п) = 4 (у2^)»«. B1 -25)
При выводе равенства B1.25) мы приняли во внимание, что
conn = 0. B1.26)
Кроме того, левая часть равенства B1.25) была записана в сим-
метричном виде
-1 V (
п'
и, наконец, были использованы соотношения:
1 г ,о*,_ п ч о
Ып'пРпп' = —"Г" ^/г (^/гР — Р^«') ф/г' в
I/ j
_рКЬ, B1.27)
а также
^ B1.28)
Учитывая равенства B1.24) и B1.25) для сдвига энергии,
B1.22) пол>чаем:
I e
304 ЧАСТЬ II РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Последнее выражение содержит две части. Первая часть, про-
порциональная (р2)пп — (РппJ, расходится по линейному за-
кону
J
d(o =
и не зависит от V. Вторая часть, пропорциональная V, расхо-
дится лишь по логарифмическому закону
.1
0H
B1.30)
Как было отмечено в начале параграфа, наблюдаемой вели-
чиной является лишь разность энергий взаимодействия элек-
трона с вакуумом при наличии внешнего поля V и без него, т. е.
она будет равна*
U ±(^J^. B1.31)
Из формулы B1.31) видно, что верхний предел дает лишь
логарифмическую расходимость (сомакс —* <х>). Однако эта рас-
ходимость связана с тем обстоятельством, что мы построили не-
релятивистскую теорию, соответствующую сравнительно малым
частотам. Если проделать аналогичные вычисления, используя
для описания движения электрона релятивистское уравнение
Дирака К то для сомакс мы нашли бы конечное значение. В гру-
бом приближении мы найдем эту частоту, если соответствую-
щую энергию приравняем энергии покоя электрона
?сомакс = т0с2. B1.32)
Последний критерий, который следует и из более точного
рассмотрения, соответствует той частоте, при которой реляти-
вистские эффекты начинают давать о себе знать, и поэтому ди-
польное приближение перестает быть основным.
Подставляя сомакс из B1.32) в формулу B1.31), находим:
Применим полученную формулу для определения сдвига
уровней в атоме водорода.
Полагая в атоме водорода
1 Более подробно см/ А А. Соколов. Введение в квантовую электро-
динамику. М., Физматгиз, 1958, стр. 398,
§ 21. Лэмбовский сдвиг уровней 305
имеем:
V2V = 4^6 (г).
Отсюда
(W)aa = 4nel J ф+ (г) б (г) г|,„ (г)Л = 4пеЦ Цп @) |2. B1.34)
Из последней формулы видно, что этот сдвиг имеет место
только для s-еостояний (/ = 0), поскольку для р-, d-, f- и т. д,
(/= 1, 2, 3...) состояний в нерелятивистском приближении
№n@)|2 = 0.
Учитывая, что для s-состояний согласно A2.4) и A3.28а)
„ @) Р = Rio I Y°of = -4т. B1 -35)
nan
а также, что в грубом приближении из B1.21) следует
| Еп | е*т0
O)o=- b
мы найдем с помощью формулы B1.33) в атоме водорода
следующее значение для сдвига 5у2-уровня относительно
/?1/2-уровня *:
Последняя формула впервые была получена Бете.
Отсюда для сдвига 2$72-состояния (п = 2) получаем следую-
щее численное значение:
?«iK2==1040 Мгц%
которое сравнительно хорошо совпадает с экспериментальными
данными для лэмбовского сдвига уровней (см. § 20)
?эксп = 1057,77 Мгц.
Более точные расчеты, проделанные по квантовой теории
поля, в которых, кроме флуктуации электромагнитного поля,
учитывались еше поляризация электронно-позитронного ва-
куума, а также релятивистские члены более высокого порядка,
дают теоретическое значение для лэмбовского сдвига уровней
?теор = 1057,19 Мгц, отличающееся от экспериментального ме-
нее чем на 1 Мгц,
1 Как только что было отмечено, в нерелятивистском приближении ваку-
умные члены уровень рх^ не сдвигают.
20 Зак. 328
806 ЧАГТЬ ТТ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАЧТОВАЯ MFXAHHKA
Наглядную интерпретацию влияния вакуумных эффектов на
движение электронов дал Вельтон х. Он рассмотрел движение
электрона методами классической теории с учетом воздействия
квантовых флуктуации электромагнитного поля. Как показы-
вает довольно несложный расчет, под влиянием взаимодействия
с полем «нерожденных» фотонов электрон движется подобно
броуновской частице с определенным средним квадратом сме-
щения. Вакуумные колебания приводят к некоторой эффектив-
ной размазанности точечного электрона, благодаря чему вели-
чина соответствующего радиуса электрона становится средним
геометрическим между классическим радиусом электрона и комп-
тоновской длиной волны
¦¦'V
1/V
т0с2 тос v moc *
Наличие подобного эффективного радиуса и приводит к лэмбов-
скому сдвигу уровней, поскольку кулоновский закон взаимодей-
ствия электрона с ядром должен быть дополнен поправкой на
конечный радиус электрона.
Как было показано в дальнейшем А. А. Соколовым сов-
местно с В. С. Тумановым 2, развивая метод Вельтона, можно
попытаться дать новое обоснование статистического характера
квантовой механики, имея в виду, что электрон при своем дви-
жении (например, в атоме) должен наподобие броуновской ча-
стицы еще взаимодействовать с флуктуациями электромагнит-
ного вакуума.
В связи с этим укажем также, что особенно отчетливо
флуктуационная интерпретация статистического характера кван-
товых эффектов проявляется при анализе явления так называе-
мого «светящегося» электрона (синхротронное излучение).
Электрон, движущийся с ультрарелятивистскими скоростями в
магнитном поле, начинает флуктуационно излучать кванты
света, благодаря чему на его непрерывное движение, вычислен-
ное по классической теории, начинают накладываться флуктуа-
ционные удары, приводящие к раскачке радиальных и верти-
кальных колебаний (бетатронные колебания). Поскольку ам-
плитуда этих колебаний при энергиях электрона порядка 1 Бэв
может достигнуть порядка нескольких миллиметров, то такое
движение представляет собой своеобразный «макроатом»3 (ам-
плитуда макроскопическая, законы колебания квантовые).
1 См.: Т Вельтон. Сб «Сдвиг уровней атомных электронов», под ред.
Д. Д Иваненко М, ИЛ, 1950
2 См.: А. А. Соколов В С. Туманов ЖЭТФ, 30, 802 A956).
3 См : А. А. Соколов, Д. Д. Иваненко, И. М. Тернов. Докл АН
СССР, 111, 334, 1956 См. также сб под ред. А. А. Соколова и И. М 1ер-
а о в а «Сиихротронное излечение». М, tHa^hd», i960.
§ 22. Полное решение уравнения Дирака 307
Благодаря действию флуктуационной силы (со стороны рож-
дающихся в вакууме реальных фотонов) мы можем лишь пред-
сказать (в рамках соотношения неопределенности) координату
и импульс электрона, совершающего квантовые бетатронные ко-
лебания х.
Таким образом, если в классической теории мы всегда мо-
жем выбрать некоторую замкнутую область, содержащую ко-
нечное число материальных точек (или конечное число степеней
свободы), для описания движения которых можно сформулиро-
вать точные классические уравнения движения (однозначная
предсказуемость или динамическая закономерность), то в кван-
товой теории этого сделать уже невозможно, поскольку даже
движение одного электрона можно описывать лишь с учетом
флуктуационных ударов со стороны поля вакуумных фотонов,
обладающих бесконечным числом степеней свободы (предска-
зуемость с определенной вероятностью или статистическая за-
кономерность). Благодаря этому в основе теории даже одного
электрона должна лежать статистическая закономерность.
Только в том случае, когда разброс, даваемый флуктуациями
вакуума, настолько мал, что рассматриваемые эксперименты не
позволяют его обнаружить, мы можем говорить о динамической
закономерности. Во всяком случае, статистический характер по-
ведения электрона должен определять собой объективное про-
явление закономерностей микромира. Конкретные же способы
описания этих статистических закономерностей могут быть раз-
личны. Модель Вельтона, а также введение флуктуационной
силы для описания «макроатома» мы рассматриваем лишь как
весьма наглядную иллюстрацию некоторых выводов современ-
ной квантовой теории поля.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Электромагнитный вакуум» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»