Исследуем рассеяние частиц сферически-симметричным прямоугольным потенциаль- ным барьером, когда потенциальная энергия изменяется по за^ кону: f Fo при г <п9 п ^ A4.40) 0 при r> a. l ' § 14. Упругое рассеяние частиц силовым центром 211 Этот пример имеет большое методическое значение, так как в принципе он допускает точные решения и позволяет выйти за рамки борновского приближения. Конкретно теория рассеяния потенциальным барьером нахо- дит свое применение в ядерной физике. При не слишком высоких энергиях результаты исследования с короткодействующими ядер- ными силами практически не зависят от формы потенциального барьера и в основном зависят от высоты (т. е. Vo) и радиуса дей- ствия (т. е. расстояния а). Поскольку прямоугольный потенциальный барьер (или потен- циальная яма) представляет собой простейшее описание корот- кодействующих сил, то естественно им и следует аппроксимиро- вать ядерные силы. Исследуем случай, когда tec 1. Физически он означает, что дебройлевская длина волны много больше радиуса потенциаль- ного барьера А = ^ >2яа. A4.41) Прежде всего с помощью приближенной формулы A2.60) найдем фазу б/ рассеяния в зависимости от L При малых значениях kr^Cka функцию Бесселя, входящую в A2.60), мы можем представить в виде г iu\ (kr\l + l/2 I -1/2 (kr)l + 4*2ll\ n . 1ОЧ //¦И/ЛИ - (-2-) ТТП^п)~ У И B/4-1I ' A4'42) Тогда для фазы 6; находим: 3 / 2ll\ \2 ,, ,2/ B/ + fOJ ' ' ' A4.43) где &q = l^HT- A4.44) Отсюда видно, что основной вклад вносит s-волна (/ = 0). Пар- циальные волны с / =¦ 1 (/?-волна), / = 2 (d-волна) и т. д. даюг вклад примерно в (kaJ1 меньший по сравнению с 8о, и поэтому в первом приближении ими можно вообще пренебречь. Эффективное сечение, которое дает s-волна, согласно A4.35) равно: qo = —"эй*0*1 ' A4.45) Оно фактически и определяет полное эффективное сечение. Ана- логичный результат мы получим, если вычислим а в борновском лриближении с помощью формулы A4.12). Наконец, найдем фа- зу рассеяния из точных уравнений. При этом мы ограничимся вычислением фалы для s-волны {/^-0j, лиюрая, как было 212 ЧАСТЬ 1 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА указано выше, дает при ka<^\ основной вклад в эффективное се- чение. Согласно A2.53) для радиальных функций при наличии по- тенциальной энергии A4.40) имеем уравнения: и" + kru = 0 при г>а, и" — % и = 0 при г<а, где u = rR0, k2=*-~±E, >с = —р-(К0 — t) = %^— kz. A4.47) Кроме того, мы введем условие, что V0>E>0. A4.48) Решение уравнений A4.46) можем записать в виде: и = A sin (kr + б0) при г>ау п и / ^ A4.49) u — B§hxr при г<Са. Решения выбраны таким образом, чтобы функция и при г—»0 обратилась бы в нуль. Приравнивая на границе области г = а волновые функции и их производные, легко сможем найти искомую s-фазу б0 = arctg (-^- th x'a) - /га. A4.50) Последнее выражение мы можем упростить при ка^>ка(]/0^>Е): 60 « ka (—— — 1 j, A4.50a) где %а = у ^Р-а. A4.51) Подставляя A4 50а) в A4 35а) и учитывая, что при ka<^\ основной вклад дает s-рассеяние, найдем следующее выражение для эффективного сечения ао = 4ла2(———11 * A4.52) В случае па < 1 A4,53) можно положить ка 3 ^ ' * Тогда, подставляя последнее выражение в A4 52), найдем эффек- тивное сечение для о~о, соответствующее борновскому приближе- нию [см. A4.45)]. § 14. Упругое рассеяние частиц силовым центром 21$ При ка ^> 1 например A/0->оо) эффективное сечение A4.52) достигает своего максимального значения \ ка ка и становится равным [см. также A4.16)] ао = 4шг2, A4 54) т. е. эффективное сечение в четыре раза превышает классическое значение, равное площади поперечного сечения, образуемого сферическим потенциальным барьером (акл = яа2I. Выражение A4.54) не может быть получено в борновском приближении. Отсюда мы получаем критерий применимости бор- новского приближения Хй<1 или ^j который для случая %а <С 1 совпадает с соответствующим выра- жением, полученным нами выше [см A4.28)]. Последние формулы легко обобщить на случай рассеяния прямоугольной потенциальной сферически-симметричной ямой. В этом случае в формуле A4 40) следует сделать замену Vo->—Vo. Если производить вычисления в борновском прибли- жении, то мы получим результат A4.45), поскольку квадрат Vo при такой замене остается без изменения. Если производить расчет при больших значениях 1/0, то при изменении знака у Vo мы должны в формуле A4 50) сделать замену x-^ix. Тогда для определения нулевой фазы вместо A4.50) находим выражение где A4.55) 1 Причина этого на первый взгляд парадоксального результата заклю- чается в том, что рассеяние следует у штывать дважды первый раз непро- ницаемой сферой (классический результат), второй раз в теневой области,, возникающей благодаря тому, что рассеивающая сфера в пучке падающих частиц вырезает цилиндр с основанием па2 и нарушает равномерность рас- пространения плоской волны Если бы это были частицы, то после прохождения сферы они продол- жали бы двигаться равномерно и прямолинейно, оставляя пустым это ци- линдрическое пространство. Волны же так распространяться не могут. Они частично начнут заполнять это пространство (дифракция), благодаря чему начнет происходить новое их рассеяние. Это и увеличивает общее выражение для эффективного сечения. Дифракционные явления сохраняются и при больших энергиях &«>1 (Л-»0), приводя при учете всех парциальных составляющих к удвоенному, по сравнению с классическим, сеаению рассеяния a ~ 2ла2% 214 ЧАСТЬ I. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Сопоставляя формулу A4.55) с формулой A4.50), мы видим, что в области малых значений %'а получим одинаковые значения фаз, а вместе с тем и эффективных сечений. При возрастании Vo (а также к а) в случае потенциального барьера величина ——,— монотонно убывает, в то время как со- tgx'a Wa нет изменяться периодически в пределах от 0 до оо. В частности, при х'а=|г фаза обращается в единицу Fо = 1), а для эффек- тивного с?чения A4.35), соответствующего 5-волне мы получаем резонансное рассеяние 1 Ала2 сг которое при ^a <^ 1 во много раз превышает классическое эф- фективное сечение. Аналогичные резонансы должны иметь место при рассеянии других гармоник. Однако более детальные вычи- сления мы здесь опускаем. Основные особенности, которые на этом простом примере были нами установлены в качественном отношении, должны проявляться при рассеянии от потенциалов других короткодействующих сил.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Рассеяние потенциальным барьером» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
