Как известно, по- тенциальная энергия юкавского взаимодействия имеет следую- щий вид: у^-Л^, A4.17) где А—некоторая постоянная, а а=-т эффективный радиус 0 действия сил. Взаимодействие A4.17) может найти самое широ- кое применение. Этому закону удовлетворяет простейший потенциал ядерных сил (потенциал Юкавы). В этом случае величина А = g2, где g— ядерный заряд, превышающий электрический более чем в 10 раз, а радиус действия ядерных сил равен комптоновской дли- не волны пи-мезонного поля Точно так же при рассеянии быстрых электронов (или альфа-ча- стиц) нейтральным атомом потенциальную энергию, следующую из модели Томаса — Ферми, можно аппроксимировать выраже- нием A4.17I. В последнем случае величина A = Ze\, где Z — порядковый номер атома, а эффективный радиус атома в модели Томаса — Ферми равен [см. ниже B5.65)]: а = |Ь A4.19) где y — коэффициент порядка единицы. Наконец, полагая а —* сю, получаем потенциал кулоновского поля ядра, который также можно рассматривать как частный случай выражения A4.17). 1 Результаты других аппроксимаций мало отличаются от A417) вслед* ствие короткодействующего характера сил, а в задаче рассеяния аппрокси* мация A4.17) является более удобной для расчета, чем другие. 206 ЧАСТЬ Г НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Подставляя A4.17) в формулу A4.14) и учитывая, чтэ оо оо J r sin ycrV ®dr= - A J sin ше~^г dr = - A 2 * , о о ° приходим к следующему выражению для дифференциального эф- фективного сечения упругого рассеяния 4т2Д2а4 Здесь согл-аско A4.14а) x2 = 4?2sin2^ = 4-^sm2-f-, A4.21) где р — импульс частицы. При исследовании формулы A4,20) следует различать два случая: 1. Случай рассеяния сравнительно медленных частиц, когда для любых уг.лов рассеяния %а <С 1. Как видно из формулы A4.20), величина а(#) не будет сеть от угла Ф и становится равной Независимость сечения pacceян4iя от угла О (изотропность) яв- ляется характерной чертой рассеяния частиц сравнительно низ- ких энергий центром короткодействующих сил. 2. При рассеянии сравнительно быстрых частиц для углов, удовлетворяющих условию ка^>\, дифференциальное эффектив- ное сечение не будет зависеть от величины радиуса действия сил а и становится равным 22 Отсюда видно, что для таких углов рассеяние на потенциале Юкавы будет таким же, как и при рассеянии на кулоновском центре. Поэтому при рассеянии быстрых элеЕ^тронов или а-частиц нейтральным атомом на сравнительно большие углы атомные электроны особой роли не играют, а рассеяние определяется лишь потенциалом ядра. Полагая в A4.20) A=--Ze\ и x = -|^sin-y» приходим к фор- муле Резер форда § 14. Упругое рассеяние частиц силовым центром 207 Из формулы A4.24) видно, что для сил с большим радиусом действия имеет место сильная зависимость сечения от угла рас- сеяния. Однако для любых больших значений волнового вектора k =-— найдутся такие малые углы О, при которых будет выполняться неравенство ¦^sin-|«l. A4.25) В частности, при О-*0 формула Резерфорда дает для а (О) расходящееся значение; в этом случае должен сказаться корот- кодействующий характер сил, что обусловлено экранирующем действием электронной оболочки. Условие A4.25) в этом случае определяет область, где формула Резерфорда неприменима. Из равенств A4.19) и A4.20) при Ф = 0, т. е. для рассеяния вперед, находим следующее выражение для дифференциального эффективного сечения: A4.26) Для полного эффективного сечения согласно A4.21) после интегрирования по углу # получим выражение: Отсюда с помощью формулы П4.36) можно найти следующие пределы применимости метода теории возмущений дчя нашей задачи в двух крайних случаях: f fea<1> A4.28) Y2 = .^A<1 при /ш>1\ A4.29) т. е. при условиг ka <С 1 параметром разложения является вели- чина 7ь а ПРИ условии ka ^> 1 — величина ^2- Только при этих 1 Критерий A4 29) ka > 1 может быть применен и для кулоновского потенциала (я->оо). Полагая А = Ze% Ьк = т{)ф = mov, найдем, что бор- новские приближение применимо для не слишком малых скоростей где — постоянная тонкой структуры. Y2: a = _ Za el ch ~ < 1, 1 137 208 ЧАСТЬ I. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВЛЯ МЕХАНИКА условиях мы можем ограничиться борновским приближением. В противном случае следует использовать более точные методы ре- шения задачи (см. ниже).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Рассеяние на юкавском силовом центре» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
