Исследование вырождения по t для кулоновского поля
С точки зрения формального матема!ическою аппарата вырож- дение по / связано с наличием в случае кулоновского поля еще одного оператора е, мы назовем его вектором эксцентриситета, который является интегралом движения и который не коммути- рует с оператором LA В классическом приближении этот вектор имеет вид е = et -f- s2, A3.34) где A г2 = ~, L = [rp]. A3.35) r 1 В частности, как мы увидим в дальнейшем, даже в атоме водорода уче* релятивистских эффектов, объема ялра или так называемых вакуумных поправок снимает вырождение по /. Аналогично в спектре щелочных метал- лов, имеющих на последнем слое один эчектрон, воздействие электронов, на- ходящихся во внутренних слоях, снимает вырождение по /. § 13. Теория водородоподобного атома (проблема Кеплера) 185 Принимая во внимание, что в классическом случае lei г 7 A3.36) получаем: ^ ЛЩ 03.37) clt Zeomo mor Точно так же Отсюда находим закон сохранения для вектора эксцентриситета; dz deY dt2 n Для выяснения физического смысла вектора г умножим равен- ство A3.34) скалярно на вектор г и, учитывая A3.35), будем иметь: 7 Zeomo Отсюда находим: I2 т. е. модуль вектора |е| играет роль эксцентриситета и направ- лен от фокуса по большой оси к наиболее удаленной точке эл- липтической траектории. Абсолютную величину эксцентриситета нетрудно найти, возводя равенство A3.34) в квадрат: 12е\пц \2,п0 г ) Z" е^щ ' ИЛИ т. е. при Е < 0 мы будем иметь эллиптические орбиты (г < 1), при Е > 0 — гиперболические (е > 1), а при Е = 0—параболи- ческие (е = 1). Квантовое обобщение вектора эксцентриситета г мы выберем в виде оператора e = ?i + ?2, A3.40) где еА = \ ([Lp]-[pL]), e2 = ~. A3.11) 6 ЧАСТЬ Т НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Покажем, что в кулоновском поле, когда гамильтониан Н имеет вид оператор вектора эксцентриситета е сохраняется. В самом деле, учитывая изменение квантовых величин L = -|-(HL-LH)=0, для которых имеют место по существу классические законы [см. A3.36)], мы найдем: Раскрывая последнее выражение, получаем: %—±(т*-?™-Н)- 03.44) Точно так же находим: d/~"filHr TH}-T\2mi, r r 2 ИЛИ Из A3.44) и A3.46) следует квантовый закон сохранения для оператора е: -^ = 0. A3.47) Однако оператор эксцентриситета не коммутирует с квадратом орбитального момента. Действительно, взяв проекцию этого опе- раюра на ось z ^хРи — *-*иРх — Рх^и * Ри^х) ' » Aо.4о) нетрудно получить следующие правила коммутации: LA-е^-т-е,, A3.49) Ь„в,-е,Ц=.--J-ex A3.50) La - еД-, = 0. A3.51) § 13. Теория водородоподобного атома (проблема Кеплера) 18? Отсюда, в частности, следует, что оператор е2, хотя и коммути- рует с гамильтонианом Н и проекцией момента Lz, но он не ком- мутирует с оператором L2: ^( ^) A3.52) что автоматически ведет к вырождению по /, являющемуся специ- фической особенностью лишь для кулоновского поля, поскольку для других центральных сил мы не можем ввести сохраняющий- ся оператор е. Примечание. Заметим, что наличие двух операторов гг и L2, коммутирующих с Н, должно дать при одной и той же энергии Е два решения для волновой функции: tyi(E), Ф'(?Ь гДе #2^ и НЧA+\) являются соответственно соб- ственными значениями операторов ez и L2. С одной стороны, эти решения не . могут совпадать друг с другом, так как операторы е2 и L2 не коммутируют между собой, а с другой — любое решение, соответствующее заданному зна- чению Е, может быть представлено как сумма частных решений, т. е. Из последнего соотношения следует, что система должна быть вырож- дена по /. В связи с этим напомним, что вырождение по квантовому числу т, свойственное для любых центральных сил (см. § 12), было связано гакже с наличием оператора Lx±iLy, который коммутировал с гамильтонианом Н и L2, но не коммутировал с оператором Lz, имеющим собственное значение km [более подробно см. § 12 формулу A2.37)]. Заметим, что проблему Кеплера наряду со сферическими координатами, когда сохраняются операторы Н, L2, Lz (квантовые числа п, I, т), мы можем решать также в параболических координатах, когда сохраняются операторы Н, ez, Lz (квантовые числа п, К, т). Физически это означает, что при одной и той же энергии воз- можны различные орбиты, отличающиеся друг от друга различ- ными значениями эксцентриситета е. Для определения эксцентриситета возведем равенство A3.40) в квадрат. Тогда мы будем иметь1: ^ + /;2)H, A3.53) 8=i+^ (L + /;)H, Z eomQ где Н — гамильтониан системы [см. A3.42)]. 1 Для того чтобы доказать соотношение A3.53), мы можем оператор, A3.40) представить в виде 4 ([p]p) + ZeQr,i0 г 183 ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Учитывая, что для водородоподобного атома собственные зна- чения операторов Н и L2 соответственно равны *.--W-' *-2-fc2'«+l>. 03.54) мы найдем 1 1 -2—. A3.55) Отсюда видно, что эксцентриситет достигает минимального зна- чения при I = п— 1 *ч«н==]/-^- , A3.56) и при классическом сопоставлении соответствует круговым орби- там. В частности, при п = 1 (наинизшее энергетическое состоя- ние) эксцентриситет е обращается в нуль (е = 0). Поскольку в этом случае орбитальный магнитный момент не дает преиму- щественного направления (заметим, что в s-состоянии / = т = 0), поэтому мы по существу будем иметь равновероятное пребыва- ние электрона на сфере. Для всех других состояний (п = = 2, 3, 4, ...) минимальное значение для е будет отлично от нуля при / = п — I = 1, 2, 3, ...). В этом случае мы будем иметь преи- мущественную ориентацию орбиты внутри некоторого телесного ^1ла, характеризуемого квантовым числом т.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Исследование вырождения по t для кулоновского поля» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
