Для того чтобы найти правила отбора, необходимо вычислить матричные элементы fTrYTdu. A2.10) Если при каком-либо изменении квантовых чисел матричный элемент равен нулю, то такие переходы запрещены (излучения не будет) 1. Зная правила отбора, можно сразу найти как ча- стоту, так и интенсивность излучения [см. (9.86)]. Введем в A2.10) вместо координат х, у и z (т. е. вместо г) следующие переменные: e = acosft, A2.11) l = x + iy = a sin Ъе"*9 A2.12) т, = х - iij = a sin Ье~^. A2.13) С физической точки зрения это эквивалентно разложению движения ротатора на три части: на колебание вдоль оси г, опи- сываемое составляющей г, а также на лежащие в плоскости ху правое и левое вращения, характеризуемые соответственно со- ставляющими I и г]; при этом в совокупности все три составляю-* щие должны описывать полное движение материальной точки по сфере. Определение правил отбора в новых переменных сведется к вычислению следующих матричных элементов: (гС = j {уг'У cos О Y? dQ, A2.14) <ЧС = § (У?У sin «e~l"Y? dQ> 02.16) где ради простоты мы положили а=1. 1 Точнее, для запрещенных переходов вооможно менее вероятное мульти-* польное (например, квадрупольное) излучение (см. § 10) § 12. Ротатор 167 Учитывая рекуррентные соотношения между шаровыми функ- циями: A2.17) \ A2.18) а также условие ортонормированности для шаровых функций A1.68), имеем C ) A2.19) {r\Y?' = 6m'. «-i (Л_бг, /+1 + B-6r.,_,). A2.21) Примечание Коэффициенты Л и i3 могут быть найдены сравнительно просто. Для этого в формулу A2.17) следует подставить разложения A167), положив в них: B0! A х2)Т(х'-т . (/m)(/ml) ^.т-2 р_ A х)х ^ f " 2? /! (/ — /л)Г I 2B/— 1) m Тогда, сокращая все равенство на егтфA--х) и приравнивая в левых и правых частях коэффициенты при xt"m+l и xl~m~x (приравнивание коэффи- циентов при остальных степенях х ничего нового не дает), получаем: Аналогичным путем находим: | /lH-2±m)(/4-l ±т) A218а) Из этих формул легко найти численные значения для отличных от нуля мат- ричных элементов (а = 1): W/m (/ B/4-1) B/- 4-3) B/4-1) A2.19а) 1) A + ш)A-1 + /п) B/4-1) B/-1) • т) A2.20а) 168 ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА причем в последних дв>х равенствах мы должны всюду взя^ь или только верлние или только нижние знаки Отсюда получаем следующие правила отбора: а) соответствующие колебаниям вдоль оси г: ' = 0, Д/ = / — /'=±1; A2.22) б) соответствующие правому вращенкю: Д/п = — 1, Д/=±1; A2.23) в) соответствующие левому вращению: = + 1, Д/==±1. A224) Таким образом, разрешенными будут только те переходы,, для которых изменения магнитного квантового числа т и орби- тального квантово]О числа / равны Дт-0, ±1, A225) Д2=±1. A21:6) Заметим, что эти же правила отбора для квантовых чисел т \\ I имеют место для любых центрально-симметричных систем и, ь частности, для атома водорода. Зная правила отбора, найдем для ротатора возможные ча- стоты излучения (/или поглощения) Е, - Е,, со/г = 2nvu> = h . A2.27) Подставляя сюда выражение для энергии Ei [см. A2 2)] и учитывая, что в данном случае момент инерции ротатора ос- тается неизменным, формулу A2 27) можно привести к виду Отсюда на основании A2.26) получаем: A2.29) A2.30) § 12 Ротатор 169 шзг =3шт причем частота (»i,i-\ соответ- 1=4 ствует переходу с верхнего энер- гетического уровня на нижний (т. е. сверху вниз), a co^f» на- оборот, снизу вверх. 3 Ротационные спеятры встре- чаются, например, при исследо- вании спектра молекул. 2 В случае когда излучение мо- лекулы обусловлено только рота- / ционными переходами, то его О частота определяется выраже- нием A2 29). ИЗ ЭТОЙ формулы ВИДНО, ЧТО ЫпШцШъСОп чигго ротационный спектр пред- ш ? ставляет собой набор павноот- . ,_rt / t io оч Фиг. i2.2 Спектр ротатора стоящих (фиг. 12.2) друг от дру- v га линий Эти линии расположены в далекой инфракрасной об!асти (с длиной волны порядка 100—ЗПО \х)у и поэтому их исследова- ние сопряжено с рядом экспериментальных трудностей. Промер расстояния между спектральными линиями позволяет судить о моменте инерции молекулы. Чаще всего ротационный спектр наблюдае1ся в виде полос, когда он накладывается на вибрационный спектр молекулы или даже на спектральные линии атомов. Еолее подробно эго мы разберем в § 25, специально посвя- щенном молекуле.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Правила отбора» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
