Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Квантова механіка і атомна фізика

Элементы теории представлений в квантовой механике

Согласно принятой стати-
стической интерпретации квадрат модуля функции связан с плот-
ностью вероятности обнаружить частицу в точке пространства
с координатами r,r + dr. В этом случае принято говорить, что
волновая функция (а также и все операторы) задана в коорди-
натном представлении. Такое представление, как мы уже убеди-
лись, удобно для решения ряда конкретных задач. Однако это
представление не является единственно возможным. Кроме коор-
динатного представления, в квантовой механике рассматривают-
ся также импульсное, матричное (энергетическое) и другие
представления.
На конкретном примере гармонического осциллятора рас-
смотрим более подробно этот вопрос.
С этой целью напишем гамильтониан (в нашем конкретном
случае для гармонического осциллятора), сохраняя связь с им-
пульсом и координатой, которая была установлена в классиче-
ской теории
Я =2^- + -^-. (8.49)
Затем потребуем, чтобы р и х были бы не обычными величинами,
коммутирующими друг с другом (т. е. так называемые с-числа),
а какими-то операторами (т. е. ^-числами), закон перестановок
между которыми должен иметь вид
рх-хр-у. (8.50)
Удовлетворить последнему соотношению мы можем несколькими
способами, каждый из которых соответствует своему представ-
лению в квантовой механике.
В связи с этим мы сформулируем три основных представле-
ния и установим связь между ними.
1) Координатное представление (х -представ-
ление) мы получим, полагая импульс оператором (д-число)
Р
оставляя в то же самое время координату х обычным с-числом.
108 ЧАСТЬ I. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ MFXAHHKA
Тогда величина bji является собственным значением опера-
тора (8.50) при действии его на волновую функцию \|?(х), зави-
сящую от координаты х:
)e7*W- (8*52)
Подставляя (8.51) в уравнение (8.49), мы находим, что га-
мильтониан становится также оператором:
задача о собственных значениях которого приводит к уравнению
Шредингера (^-представление) для гармонического осциллятора:
(х) = 0, (8.54)
где
л=^> в__*_. (8.55)
Вводя величину
¦f (8-5б>
**и Г л"
находим собственные значения [см. (8.26) и (8.28)] для постоянной
Хп - 2п + 1. (8.58)
Отсюда следует, что
Еп = йсо(м + V2), (8.59)
где п = 0, 1, 2, 3, ...
Собственные функции определяются равенством (8.41)
и удовлетворяют условию нормировки
-\-сх>
j \^n(x)fdx=l. (8.61)
— оо
Согласно основным принципам теории наблюдаемыми вели-
чинами являются средние значения соответствующих операторов.
Сама же волновая функция играет вспомогательную роль. Так, в
частности, в теории гармонического осциллятора существенная
роль принадлежит матричным элементам координаты
-f оо
\ i\ixi\dx (8.62)
х«'п ¦
§ 8. Линейный гармонический осциллятор П9
и импульса
которые, как будет показано ниже, характеризуют процесс излу-
чения.
Для того чтобы раскрыть последние интегралы, воспользуем-
ся следующими соотношениями, которым удовлетворяют волно-
вые функции гармонического осциллятора 1:
(8.64)
(8.65)
Подставляя (8.64) и (8.65) соответственно в равенства (8.62)
и (8.63) и учитывая условие ортонормированности (8,43), нахо-
дим следующие отличные от нуля значения для матричных эле-
ментов координаты:
Хп-ип^хоу j, хп+ип = хоу 1!~-> (8.68)
и импульса:
11Я, pn+Un =imo(x>xn+hn. (8.69)
2) Импульсное представление (р-п р е д с т а в л е-
ние) мы получим, если в операторном соотношении (8.50) мы,
наоборот, импульс р приравняем обычному с-числу, а коорди-
нату оператору (#-число):
х=-у^. (8.69а)
1 Для того чтобы обосновать эти соотношения, найдем производную от
полинома Эрмнта
(8.66)
Аналогичным путем легко показать, что Нп ~ 2п2 (п— 1) Нп__2-
Подставляя эти значения для производных в (8.35) и производя замену
/г->л-Н, находим рекуррентное соотношение между полиномами Эрмига
iHn-nHn^ + ^Hn+t. (8.67)
С помощью равенств (8.66) и (8 67) легко обосновать соотношения (8.64) if
(8.65), если при этом учесть emt (8.41).
О ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Нетрудно убедиться тогда, что при действии этого оператора
на волновую функцию, зависящую теперь от импульса р1, долж-
но соблюдаться равенство
(рх-хр)Ф(р) = уФ(р). (8.70)
Построим теорию гармонического осциллятора в импульсном
представлении.
Подставляя значение оператора (8.69а) в уравнение (8.49),
найдем
( ^)(p) = 0f (8.71)
где
Отсюда видим, что для гармонического осциллятора при пере-
ходе от х-представления к р-представлению волновое уравнение
при введении новых масштабов
w = -^- = ^' <8-73>
УАХВХ ha>
тождественно переходит само в себя
ф/г + (А/1 —тJ)ф = 0 (8.74)
(здесь штрихом обозначена производная по ц) Поэтому мы мо-
р-представлении2
жем воспользоваться решениями (8.28) и (8.41) и написать в
¦я = Ai|5L = Аш (л + -i-), (8.75)
( — ЛП f n \2
(8.76)
e н
причем волновая функция фп(р) должна удовлетворять условию
ортонормированности
+ ОО
р) = ЬП'п- (8-77)
1 Заметим, что в пространстве импульсов квадрат модуля волновой функ-
ции следует интерпретировать как плотность вероятности обнаружить частицу
с импульсом, лежащим в пределах р и p + dp
2 Целесообразность введения множителя (—i)n, квадрат модуля которого
равняется единице, показана ниже [^м. (8.82)].
§ 8. Линейный гармонический осциллятор Ш
I Нетрудно проверить, что в этом случае ф (р) является фурье-
образом функции ф(;с):
^\^хйр, t8J8)
~tJ*xdx, (8.79)
поскольку в этом случае
в чем нетрудно убедиться, если учесть соотношение
Наконец, получим формулу (8.76) с помощью фурье-преобра-
зования (8.79). Подставляя сюда значение для фп(#) из (8.41),
имеем:
Vnx0 _t
J ф-ч*же~1±*гЪНп(%). (8.81)
Ч-оо
1
Vn h
Как известно, фурье-образ функции (8.60) переходит
сам в себя 1 с коэффициентом ]/2я (— i)n:
"^(аг) # (8.82)
Отсюда и оправдывается введение множителя (—i)n в вол-
новую функцию (8.76).
Определив волновую функцию фп(р) в пространстве импуль-
сов, можем найти по следующим формулам матричные элемен-
ты координаты
*«*-!<&(-тъ)**ар (8-83)
и импульса
j
1 См.: Н. Н. Лебедев. Специальные функции и их приложения.
М. — Л., «Наука», 1963, стр. 87.
112
ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
для которых получим те же значения, которые были найдены
в координатном представлении [см. (8.68) и (8.69)].
3) Матричное представление. Мы сможем удовлег-
ворить также перестановочным соотношениям квантовой механи-
ки (8.50), если операторы импульса и координаты станем опи-
сывать с помощью матриц, которые в общем случае, как изве-
стно, не коммутируют друг с другом.,
Обозначая матричные величины круглыми скобками, соотно-
шение (8.50), а также гамильтониан для гармонического осцил-
лятора (8.49) мы можем представить в виде
(рх)-(хр) = у
(рJ
2m0
m0ft>2
(хJ.
(8.85)
(8.86)
Кстати, заметим, что законы квантовой механики были впер-
вые сформулированы Гейзенбергом именно с помощью подоб-
ных матричных уравнений, из которых и были найдены (х), (р)
и (Я).
Ради краткости мы воспользуемся найденными в случае гар-
моническою осциллятора значениями для матричных элементов
и покажем, что они удовлетворяют соотношению (8.85). Затем
с помощью формулы (8.86) найдем спектр энергий.
Оказывается, решением уравнения (8.85) являются матрицы,
составленные из матричных элементов координаты и импульса,
полученных нами в х-представлении (или р-представлении).
Матричные элементы (8.68) и (8.69) образуют при этом сле-
дующие бесконечные околодиагональные матрицы1:
(8.87)
о/
О ]/
1
2
V
2~
О
2
О
О
о
А
о ...
о...
О ...
1 Заметим, что совокупность матричных элементов
оператора F называется также описанием оператора F в энергетическом пред-
ставлении.
§ 8. Линейный гармонический осциллятор
113
' Poo Pot Poi
PlO Pv Pl2
P20 P21 P22
о
о
0 ...
0 ...
0 ...
(8.88)
Эти матрицы являются эрмитовыми, так как соблюдается
соотношение
Р , = Р* ,.
гпп гпи
Учитывая, что матричные элементы произведения двух мат-
риц равняются сумме произведений соответствующей строки на
столбец
(Px)n-n=%Pa>kX*n>
(8.89)
мы находим с помощью (8.87) и (8.88)
т. е. правая часть этого равенства образует единичную матрицу,
h l
умноженную на у .
Поэтому основное соотношение (8.85) квантовой теории в
матричном представлении будет удовлетворено.
Вычислим теперь матричный элемент гамильтониана (8.86),
который равен;
Подставляя сюда значения для матричных элементов коорди-
наты и импульса из равенств (8.87) и (8.88), находим:
= А©
-Ь Y
1 Если быть последовательным, то при решении задачи в матричном пред-
ставлении, наоборот, из равенства (8 90), учитывая при этом (8 69), следует
найти матрицы (8.87) и (8 88).
328
114
ЧАСТЬ Т. НЕРГЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Таким образом, гамильтониан (Н) образует диаюнальную
матрицу
(Я) = Г>ц>
[у 0 0 0 ...
О -| 0 0 ...
о о 4 о ...
(8.01)
Если рассматриваемая величина образует диагональную мат-
рицу, то это означает на языке волнового уравнения Шредингера,
что данный оператор обладает спектром собственных значений,
определяемым диагональными элементами.
Таким образом, на примере гармонического осциллятора мы
убедились, что все три представления (х-представление, р-пред-
ставление и матричное представление) приводят к одному и то-
му же результату для матричных элементов координаты, им-
пульса и энергии. Поэтому если при возникновении квантовой
механики с первого взгляда казалось, что матричный и волно-
вой подход могут привести к различным результатам, то даль-
нейшие исследования показали их полную тождественность.
Существует еще ряд других представлений квантовой меха-
ники, например, представление Гейзенберга, представление взаи-
модействия и т. д. Читатель может с ними познакомиться в спе-
циальной литературе.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Элементы теории представлений в квантовой механике» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»