Собственные функции и собственные значения энергии
Чтобы определить xapajmy3j3OJmoB^ задаче о гармониче- ском осцилляторе, прежде всего представим графически зависи- мость потенциальной энергии V от х (фиг. 8.1): Из графика видно, что в области потенциальной ямы, где пол- ная энергия Е гармонического осциллятора больше V (Е > V), решение для ф должно носить характер гармонической функции В области же потенциального барьера (Е < V) эти решения должны содержать две части: убывающую и возрастающую § 8. Линейный гармонический осциллятор Ьозр ?<V Х7 )V(x) *<1>6озр. ?<V E>V Фиг. 8.1. Волновая функция гармонического осциллятора при произвольном значении энергии. (фиг. 8 1). Очевидно, что решение задачи сводится к нахождению таких условий, при которых возрастающее решение должно от- сутствовать. Это возможно, так же как и в прямоугольной по- тенциальной яме с бесконечно высокими стенками (см. § 4), лишь при некоторых дискретных значениях энергии, которые мы и должны Здесь определить. "~ ~~ ~"~~~ Так как потенциальная энергия V гармонического осциллято- ра зависит лишь от координаты х, то уравнение Шредингера для него можно записать в виде 2m0 Полагая здесь dx2 2m0E — =x—2E (8.14) и вводя новую переменную получаем: где" (8.15) (8.16) (8.17) 0 ЧАСТЬ Г НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Прежде всего найдем асимптотическое поведение волновой функции при ?—> ± оо, когда постоянной величиной к по срав- нению с I2 можно пренебречь. Тогда С -S4o. = 0. (8.18) Решение этого уравнения будем искать в виде ^»^. (8.19) Учитывая, что я|? = Dг%2 + 2е) ее^ « 4e2gV*i, находим: е = ± j (8.20) и, следовательно, ¦««C.e-v^ + ^W. (8.21) Поскольку при g-> ± оо волновая функция должна быть ограни- ченной, коэффициент С2 необходимо положить равным нулю; ко- эффициент же С! можно считать равным единице, так как вол- новая функция не является еще нормированной. Таким образом, асимптотическое поведение волновой функции \|) будет характе- ризоваться функцией Ъ^е-Ю. (8.21а) Обшее решение волновой функции будем искать в виде1: у = ^и = е-Чг?и9 (8.22) учитывающем особенности поведения на бесконечности. Подстав- ляя последнее выражение в (8.16) и принимая во внимание, что (е-1№и\" = \и" - 2\и' + (I2 - 1) и] e-v.s»f получаем следующее уравнение для и: и" - 21и' + (А, - 1) и = 0. («.23) Решение этого уравнения будем искать в виде ряда и = S Ьк?\ (8.24) подставляя последнее выражение для и в уравнение (8.23), на- ходим Ъ bk\k{k - \)tk~2 ~Bk + \ ~ X)Zk}-0. 1 Заметим, чго само преобразование (8 22) при произвольном значении функции и(х) не может исключить каких-либо решений, и поэтому, чтобы экспоненциально возрастающее решение вновь не могло появиться, на функ- цию и необходимо наложить еще дополнительное условие, а именно следует потребовать, чтобы она являлась полиномом порядка п (см. ниже). § 8 Линейный гармонический осциллятор 101 Производя преобразование индекса суммирования таким об- разом, чтобы сгруппировать члены с одинаковыми степенями ?, получаем: Отсюда, приравнивая нулю коэффициенты при ?\ найдем рекур- рентное соотношение для коэффициентов bk- h -h {2k +1 -X) (Я9Ь\ Последнее соотношение связывает коэффициент bk с bk+2 и т. д. Аналогично можно найти связь коэффициента bk+l с Ьк+з и т. д. Поэтому мы получаем два независимых решения, определяемых рядом (8.24). Первое независимое решение связывает между со- бой коэффициенты, например, при четных степенях ?, второе — коэффициенты с нечетными степенями ? или наоборот. Как видно из соотношения (8.25), один из этих рядов мы мо- жем оборвать (т. е. сделать полиномом) на некотором члене п (п—целое положительное число, включая нуль). Для этого мы должны положить А. = 2л+1. (8.26) В этом случае Ьп Ф 0, в то время как Ьп+2 = 6я+4 = Ьп+6 - ... = 0. (8.27) Из (8.26) и (8.14) находим дискретный спектр возможных зна- чений энергий Ц?) (8.28) где квантовое число п = 0, 1, 2, 3, 4, ... . В отличие от теории Бора нулевая энергия (п = 0) не обра- щается в нуль и равна ?о = уйсо. (8.28а) Ниже мы покажем, что появление нулевой энергии связано с соотношением неопределенности, т. е. с волновыми свойствами частиц. На частоте излучения она не сказывается. Другой ряд с коэффициентами 6п+ь Ьп+3 и т. д., образующий второе независимое решение, при введении условия (8.26) мы оборвать не можем. В этом ряде отношение двух последующих коэффициентов согласно (8.25) при $->оо стремится к пределу S 102 ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА и будет таким же, как у функции е", разложенной в ряд 5 = 0, 1 Поэтому при ?—> ± оо мы имеем иас-^е^\ т. е. в асимптотиче- ском выражении [см. (8.21)] появится второе расходящееся реше- ние (-ф^ -> ?1/2^2), которое следует отбросить1, точнее, выбрать с коэффициентом, равным нулю. Первый же ряд [см. (8.24)] должен представлять собой конечный полином порядка п. Полагая коэффициент при максимальной степени кМАКС = п равным 2 Ьп = 2Л, (8.30) находим: h _ 9п-2 п(п-\) °п-2~ — ^ fj » Ъ ^2п~4 /*(*-1H*-2>(/*-3> н т д (831) Конечный степенной ряд для функции и образует так назы- ваемый полином Эрмита Ы = Я„(!) = B|)"-^^B|Г2 + п(п-\)(п-2)(п-3) п-А \ ^^ ПРИ п нечетном, 2! ^ *#* \ 60 при я четном. * Отсюда, в частности, следует, что Полином Эрмита Hn(Q можно записать в замкнутой форме #пф = (-1)л el2-^r-. (8.34) Примечание Чтобы это показать, введем функцию v = е~~^ , удовлетворяющую урав- нению 1 Если на параметр К не наложить условия (8 26), то оба решения при ?_> ± оо будут расходящимися. 2 Заметим, что этот коэффициент всегда можно выбра;ь произвольно, поскольку нормировочный множитель волновой функиии \$п ещ€ не опре- делен. § 8. Линейный гармонический осциллятор ЮЗ Дифференцируя последнее уравнение п + I раз, используя при этом фор- мулу Лейбнипя! Дифференцируя мулу Лейбница: {уг)м = y(n)z + nym-i) zr + п (я - z + уг + ^ находим: v(n+2) + 2&о(п+1) + 2 (Я + 1) »<«> - 0. Производя далее замену получим, что функция ш удовлетворяет уравнению (8.35), т. е. будет пропор- циональна полиному Эрмита Множитель пропорциональности Лп может быть найден путем приравнивания друг другу коэффициентов при |2/г. В результате оказывается Ап=(— 1)л, откуда мы и получаем формулу (8.34). Из (8.32) видно, что НпA) подчиняется уравнению (8.23), если в последнем положить К = 2п + 1 Н'п - 21Н'п + 2пНп = 0. (8.35) Решение уравнения Шредингера для гармонического осциллято- ра согласно (8.22) и (8.32) имеет вид Ъп = Спе-1№НпA), (8.35) причем | связано с координатой х соотношением (8.15). Коэф- фициент Сп можно определить из условия нормировки J €% dx = xoCl J e~l'Hn (S) Hn (I) d\ = 1. (8.37) — oo —oo Подставляя сюда вместо одного полинома Яд(|) замкнутый вид (8.34), имеем: (8.38) Учитывая, далее, правило переброса производной с одной функ- ции на другую [см. G.9)], т. е. совершая п раз интегрирование по частям, получаем: Xaqt) e-V^^-dl^l. (8.39) 104 ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Принимая во внимание, что согласно (8.32) ~г Нп (I) = 2nnU ] e-l2 d\ = /я, (8.40) — оо находим; С п = —у^— > т. е. г|)п (х) = г L^_ e~^ W Нп (—). (8.41) У 2пп! V я х0 х°} Примечание Как видно из формулы (8 32), квантовое число п, кроме энергии [см. (8 28)], характеризует еще четность полиномов Эрмита, а вместе с тем и четность волновой функции \рп(х). Заметим, что при четных п волновая функция tyn(x) является также четной функцией, т. е. при замене х на —х она не изменяет своего знака tfn(— x) =^п(х). (8.42) При нечетных же п функция Vpn(x) является не (етной, т е. *«(-- *)=—^Рп(х). (8.42а) Покажем далее непосредственным вычислением условие ор^ тогональности волновых функций Inn' = j 'tyrftn' dx:==® ПрИ П Ф п' или, учитывая (8.36), можем записать: -4 оо Подставляя сюда, как и в предыдущем случае, вместо одного полинома Эрмита Нп с большим индексом (не нарушая общно- сти, мы можем предположить, что п' < п) его замкнутый вид (8.34), легко докажем условие ортогональности + оо -f-oo В последнем равенстве мы воспользовались правилом переброса производной G.9), а также учли, что п-я производная от поли- нома Нп степени п! при п большем, чем п\ равняется нулю § 8. Линейный гармонический осциллятор 105 Таким образом, в случае гар- монического осциллятора усло- вие ортонормированности прини- мает вид ^Jx = bnn,. (8.43) В области малых квантовых чисел, например для п = 0, 1, 2, ... имеем: It2 2\ 2 \ (8.44) F — JL /)q) -и- — Г D?2 —2W~~2 S Фиг. 8.2. График собственных 2 2 ' V2 2 v s ' • значений и собственных функций осциллятора. График собственных значений и собственных функций осцил- лятора представлен на фиг. 8.2. Мы видим, что по внешней фор- ме он напоминает аналогичный график, полученный для потен- циальной ямы (фиг. 4.3). Функция г|H соответствует основному тону, функция \р{ — первой гармонике, функция \|?2— второй гар- монике и т. д.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Собственные функции и собственные значения энергии» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
