Получен- ные формулы позволяют произвести квантование (т. е. найти энергетические уровни) частицы, находящейся в потенциаль- ной яме, в приближении ВКБ. Допустим, что мы имеем потен- циальную яму произвольной, но гладкой формы (фиг. 5.2). Очевидно, что процесс квантования по методу ВКБ будет за-* ключаться в нахождении таких условий, при которых экспонен- циально возрастающее решение с обеих сторон потенциальною барьера (х < хх и х > х2) обращалось бы в нуль. В этом случае согласно E.67) волновая функция в области потенциальной § 5. Нестационарное уравнение Шредингера 67 ямы, прилегающей к границе барьера, имеет вид (х—>х2)\ E-72) Точно так же для потенциальной ямы, граничащей с другим барьером я=Ль мы можем написать: ) E.73) Оба решения должны быть тождественны между собой в любой точке Х\<х<х2 потенциальной ямы, лежащей на достаточно большом расстоянии от границ потенциальных барьеров. Произведя в одной из точек х сшивание обоих решений E.72) и E.73), т. е. приравнивая в этой точке волновые функции и их производные, имеем: a'cosl-jr J )l J -J =0. Чтобы эта система однородных уравнений имела ненулевое ре- шение для а и а\ необходимо потребовать обращения в нуль ее определителя. Тогда получим соотношение Отсюда, учитывая, что I pdx не может быть отрицательной величиной, так как р= |/2mo(? — V)*^0, находим: х2 j Jpdjc + f = (п + 1)я, я = 0, 1, 2 E.74) Х\ Таким образом, правила квантования, полученные с помощью приближенного метода В КБ, т. е. с точностью до членов поряд- ка Ь, принимают вид р dx = 2пЬ [п + ^) -= h (n + ~). E.75) ЧДСТЬ Г. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Эти правила квантования отличаются от правил квантования Бора наличием отличного от нуля члена У2й, соответствующего наинизшему состоянию (п = 0). Более точное решение подобной задачи по волновой теории (например, задачи о гармоническом осцилляторе) показывает, что нулевая энергия обязательно дол- жна присутствовать [см. ниже (8.28а)], хотя на спектре излу- чения она и не сказывается. При нахождении нормировочного коэффициента достаточно ограничиться интегрированием по интервалу х{<х<х2 (потен- циальная яма), поскольку вне его волновая функция экспонен- циально убывает, т. е. ее практически можно положить равной нулю.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Квантование в квазиклассическом приближении» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
