Теорию Бора можно рассматривать как первую попытку создания теории атома с учетом квантовых представле- ний Планка. В основу своих исследований Бор положил плане- тарную модель атома, установленную опытами Резерфорда. Теория Бора дала хорошие результаты лишь при исследовании так называемого водородоподобного атома, когда вокруг точеч- ного ядра 1 с зарядом Ze0 вращается только один электрон заряда е=—ео(ео = 4,8' ^~10 CGSE — элементарный положительный за- ряд). Это может быть либо атом водорода Н (порядковый номер атома Z = l), либо ионизированный атом гелия Не+ (Z==2) и т. д. Рассмотрим прежде всего классическую теорию планетарной модели атома. Вводя полярные координаты г и ц>(х = г cos ф, у —г sinqp), для кинетической и потенциальной энергии соответственно получаем выражения г—f4/«+rV), Отсюда для функции Лагранжа (лагранжиан) имеем где т0 — масса электрона2. 1 Вообще говоря, размеры легких ядер имеют порядок 10~13 см. При по- строении теории атома их можно считать точечными. 2 В дальнейшем под т0 мы будем понимать нерелятивистскую массу электрона (или массу покоя в общем случае). Через т, помимо релятивист- ской массы, встречающейся сравнительно редко, будет, как правило, обозна- чаться магнитное квантовое число. § 2. Квантовая теория света 21 Из этого лагранжиана находим следующие уравнения движе- ния электрона; dt рч> Здесь д 9" — обобщенные импульсы, соответствующие координатам ф и г. Так как ф не входит в S явно (в связи с этим она называется д Ф циклической координатой), то ^ =0, и поэтому соответствую- щий обобщенный импульс будет представлять собой интеграл движения /?ф = т0г2ф== const, B.17) что соответствует закону сохранения момента количества дви- жения классической механики. Второй закон сохранения, а именно закон сохранения энергии E = T+V = con$t B.18) следует из условия, что время t не входит явно в лагранжиан. Ограничимся в дальнейшем рассмотрением простейшего слу- чая круговых орбит, когда г = 0. Тогда в силу обращения в нуль pr=mor из B.15) находим: •j = 0 B.19) или Ф2 = -|^. B.20) Поэтому для энергии электрона получаем выражение: Zei I Ze\ I Выразим теперь основные параметры, характеризующие атом, через так называемые адиабатические инварианты системы, вве* денные Эренфестом. Согласно Эренфесту, в случае периодиче- ского движения величины h йхг = Ih B.22> 22 ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА получившие название адиабатических инвариантов (/?г- — обоб- щенный импульс, Xi — обобщенная координата), должны оста* ваться постоянными при медленном (адиабатическом) измене- нии параметров системы (например, заряда). В нашем случае имеется одна степень свободы (Хг = ф), и по- этому условия B.17) и B.22) приводят к выражению рф = т(/2ф=^-, B.23) или Тогда из соотношений B.20) и B.24) находим выражение для г и ф через адиабатический инвариант /: г = ? 2 ^ B.25) ф = <оо = " 7з Й° « B.26) Для энергии же электрона согласно B.21) имеем: ?=_2л2^^. B.27) Отсюда следует, что частота механического колебания опреде- ляется производной от энергии по адиабатическому инварианту ? = Ъ=Ж = ~?-JL. B.28) связь имеет место не только для рассматриваемого случая, но и для любых периодических или условно-периодических дви- жений. Примечание Под периодическим движением понимается такое движение, когда через определенный промежуток времени материальная точка возвращается в свое первоначальное положение. Например, таковым является гармониче- ское движение х — а cos u>t или движение по эллипсу х — а cos со/, y—bsmiat, частным случаем которого является движение по окружности (а = 6). Под условно-периодическим движением подразумевается такое, при котором материальная точка, как правило, не возвращается в свое первона- чальное положение, но зато каждая из координат через некоторый проме- жуток времени (для каждой из координат различный) вновь принимает аер- § 2. Квантовая теория света 2$ воначальное значение. В качестве примера условно-периодического движения мы можем привести следующий: х=а cos AI^, у — Ъ COS 0J^, причем частота coi не соизмерима с ш2. Если учесть, что система, совершающая какое-либо периоди- ческое движение, может в общем случае излучать не только ос- новной тон &=1, но и гармоники k = 2, 3, 4, ..., то для класси- ческой частоты излучения будет иметь место выражение v = kv,-k~ B 29V Классическая теория планетарной модели атома встретила на своем пути ряд трудностей. В самом деле, эта модель является динамической, и поэтому согласно законам классической электродинамики, электрон, вра- щаясь вокруг ядра благодаря наличию центростремительного ускорения (до = —, где v — его скорость, а г — радиус орбиты), должен терять энергию дЕ __ 2 e2w2 dt ~ 3 с3 до тех пор, пока не упадет на ядро (время жизни имело бы по- рядок 10~10 сек). Однако в действительности этого не происхо- дит, и атомы в свободном состоянии существуют сколь угодно долго. Кроме того, частота излучения по классической теории дол- жна равняться механической частоте колебаний со = (оо = 2ято (основной тон) или хотя бы быть кратной ей con = /2a)O (я = 2, 3, 4, ...; гармоники), что также не может объяснить формулу Бальмера [см. ниже формула B.38)] для спектральных линий излучения, установленную экспериментально. Выход из создавшегося затруднения был найден в 1913 г. Нильсом Бором, который дополнил классические законы движе- ния двумя постулатами. Во-первых, Бор предположил, что каждый атом имеет ряд дискретных стационарных состояний, находясь в которых элек- трон не излучает, хотя и движется с ускорением (постулат ста- ционарных состояний). Эти стационарные состояния согласно теории Бора можно определить путем квантования адиабатиче- ских инвариантов ¦-nht B.30) ЧАСТЬ I НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА где п — так называемое квантовое число, которое принимает лишь целочисленные значения: п=1, 2, 3, ... (напомним, что со- гласно классической механике адиабатический инвариант / мо- жет принимать любые постоянные значения). Во-вторых, Бор предположил, что при переходе электрона из одного — начального — стационарного состояния с энергией Еп в другое (конечное) с энергией Еп'<Еп атом должен излучать квант с энергией /iv = fico (постулат частот), круговая частота о излучения при этом находится из соотношения <о = ^-=^. B.31) Последнее выражение может быть записано в форме, напоми- нающей классическое выражение для частоты излучения: v = (*-/O-sf-*-tr, B.32) если в B.29) производную Е по / заменить отношением конеч- ных приращений. В B.32) целое число k = n — п' можно интер- претировать как соответствующую гармонику. Применим теперь первый B.30) и второй B.31) постулаты Бора для построения теории водородоподобного атома. Тогда, подставляя в выражение для радиуса орбиты г [см. B.25)] и энергии Е [см. B.27)] квантовое значение адиабатического ин- варианта /, которое согласно B,30) равно имеем гп = г~г"» B.33) mZe0 # B.34) При n = 1 получаем энергию низшего (основного) состояния атома tn0Z2el Е\ ^ 2fjz B.35) и соответствующий радиус h^ ± B.36) Z где радиус первой боровской орбиты а0 = -5L ~ 0,529 . 10~8 ели B.37) щ4 § 2. Квантовая теория света 25 На основании второго постулата Бора B.31) в соответствии с B.34) для частот излучения шПп' находжм формулу Бальмера B.38) Таким образом, теория Бора позволила связать установленное эмпирически значение для постоянной Ридберга R с постоянной Планка Ь: ^# B.39) Подставляя сюда вместо mOj е0 и Ь численные значения, мы най-« дем для постоянной Ридберга значение i? = 2,07-1016 сект1, хо- рошо совпадающее с экспериментальными данными. Получение формулы Бальмера является одним из самых больших успехов теории Бора. Однако, несмотря на указанные успехи, теория Бора обладала рядом существенных недостатков, которые осо- бенно проявлялись при дальнейшем ее развитии. Теория Бора, нося явно полуклассический характер, позво- ляла вычислять только частоты спектральных линий, но не их интенсивности. Для нахождения же интенсишюстей приходилось прибегать к классической электродинамике на основе так назы- ваемого принципа соответствия.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Теория Бора» з дисципліни «Квантова механіка і атомна фізика»
