«Выдуйте мыльный пузырь и смотрите на него: вы можете заниматься всю жизнь его изучением, не переставая извлекать из него уроки фи- зики», — писал великий английский физик лорд Кельвин1. В частности, мыльная пленка является прекрасным объектом для изучения поверхност- ного натяжения. Сила тяжести здесь практически роли не играет, так как мыльные пленки чрезвычайно тонки и их масса совершенно ничтожна. Поэтому основную роль играют силы поверхностного натяжения, благо- даря которым форма пленки всегда оказывается такой, что ее площадь — минимально возможная в данных условиях. Однако почему пленки обязательно мыльные? Почему бы не изучать пленку из дистиллированной воды, ведь ее коэффициент поверхностно- го натяжения в несколько раз превышает коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора. 1 См. сноску на стр. 56. 74 Глава 10. Пузырь и капля Дело, оказывается, вовсе не в величине коэффициента поверхностного натяжения, а в структуре мыльной пленки. Мыло богато так называемыми поверхностно-активными веществами, концы длинных молекул которых по-разному относятся к воде: один конец охотно соединяется с молеку- лой воды, другой к воде безразличен1. Поэтому мыльная пленка обладает сложной структурой: образующий ее мыльный раствор как бы «арми- рован» частоколом упорядоченно расположенных молекул поверхностно- активного вещества, входящего в состав мыла2 (рис. 10.1). . Рис. 10.1: Устойчивость -1—1—1—1—I—I— мыльной пленки i у* *^ 1Я*1" обеспечивается » ^» . I . присутствием I I I I I | поверхностно-активных органических молекул. Вернемся к мыльным пузырям. Наверное, каждому доводилось не только наблюдать эти удивительно красивые творения, но и пускать их. Они сферичны по форме и долго могут свободно парить в воздухе. Давле- ние внутри пузыря оказывается больше атмосферного. Избыточное давле- ние обусловлено тем обстоятельством, что мыльная пленка, стремясь еще больше уменьшить свою поверхность, сдавливает воздух внутри пузыря, причем чем меньше его радиус R, тем большим оказывается избыточное давление внутри пузыря. Определим величину этого избыточного давле- ния ДРсф. Поставим мысленный опыт. Пусть поверхностное натяжение пленки пузыря чуть-чуть ослабело, в результате чего радиус увеличился на вели- чину SR <§; R (рис. 10.2). При этом его внешняя поверхность возрастает на SS = 4тг(Я + SRJ - 4тгЯ2 « 8-rrRSR (S = 4ttR2 — поверхность сферы), а следовательно, увеличивается и поверхностная энергия пузыря: 5Е=а- BSS) = 1 GmrRSR; A0.1) 'Снижая поверхностное натяжение, поверхностно-активные вещества улучшают смачи- вающие свойства моющих средств. Однако наряду с этим они укрепляют мыльную пленку и повышают время жизни пузырей. (Прим. ред.) 2См. книгу: Гегузин Я. Е. Пузыри.— М.: Наука, 1985,—¦ Библиотечка «Квант», вып. 46. 75 (поскольку SE уже пропорционально малой величине SR, изменением ко- эффициента поверхностного натяжения здесь можно пренебречь). Рис. 10.2: Бесконечно-малое расширение мыльного пузыря. Заметьте, что в выражении A0.1) появилась двойка, которой нет в определении поверхностной энергии. Ею мы учли факт, что у мыльного пузыря имеется две поверхности — внешняя и внутренняя; при увеличении его радиуса на SR площадь каждой из них возрастает на 8ttRSR. Увеличение поверхностной энергии пузыря произошло за счет работы сжатого в нем воздуха. Считая, что давление в нем при столь малом изменении объема не меняется, можем записать Изменение объема пузыря определяется объемом тонкостенной сферы (рис. 10.2): SV= \tv{R + SRK - ^irR3 « 4тгR2SR, О О откуда для SE находим SE = 4тгЯ2ДЯсф ¦ SR. Сравнивая это выражение с найденной ранее формулой A0.1), полу- чаем, что обусловленное поверхностным натяжением избыточное давление внутри сферического мыльного пузыря равно Через а' = 2а мы обозначили удвоенный коэффициент поверхностно- го натяжения жидкости. Понятно, что если бы речь шла об избыточ- ном давлении под одинарной искривленной поверхностью (например, вну- три сферической капли жидкости), то оно определялось бы выражением 76 Глава 10. Пузырь и капля АЯ„зб = 2а/R (это соотношение называется формулой Лапласа1). Вхо- дящая в это выражение величина, обратная радиусу сферы, называется кривизной сферы: р = \/R. Итак, мы пришли к важному заключению о том, что избыточное да- вление пропорционально кривизне сферы. Однако сфера — не единствен- ная форма, которую можно придать мыльному пузырю. Если поместить пузырь между двумя кольцами2, то его можно растягивать, пока он не примет форму цилиндра со сферическими «шапками» (рис. 10.3). Рис. 10.3: С помощью проволочных колец можно попробовать придать пузырю форму цилиндра. Чему равно избыточное давление внутри такого пузыря? У цилиндри- ческой поверхности кривизна в различных направлениях различна. Вдоль образующей цилиндра кривизна равна нулю (образующая — прямая ли- нияK, а в сечении, перпендикулярном оси цилиндра, его кривизна равна \/R, где R — радиус цилиндра. Какое же значение р мы должны подста- вить в предыдущую формулу? Оказывается, разность давлений по разные стороны любой поверхности определяется ее средней кривизной. Что же это за величина? Проведем через нормаль к поверхности в точке А плоскости4. Се- чения цилиндрической поверхности этими плоскостями (они называются нормальными сечениями) могут быть окружностью, эллипсом или прямой (рис. 10.4). Легко видеть, что кривизны этих сечений в точке А различ- ны: максимальной кривизной обладает поперечное сечение — окружность, 'П. С. Лаплас A749 - 1827) — выдающийся французский астроном, физик и математик. 2Прежде чем дотронуться до пузыря следует смочить кольца мыльным раствором. (Прим. ред.) 3Что такое кривизна плоской кривой? Кривизна окружности определяется так же, как и кривизна сферы: ракр = 1/^?, где R — радиус окружности. Если же кривая не являет- ся окружностью, то, тем не менее, ее отдельные маленькие участки можно приближенно считать дугами окружностей определенных радиусов. Величины, обратные этим радиусам, и называются кривизнами плоской кривой в различных ее точках. 4Нормалыо к поверхности называется перпендикуляр к плоскости, касающейся поверх- ности в данной точке. 77 а минимальной, равной нулю, — прямая (продольное сечение). Средняя кривизна рср определяется как полусумма максимальной и минимальной кривизны нормальных сечений: Ртах ~Ь pmln Рис. 10.4: Разные сечения цилиндра отличаются по кривизне. Это определение годится не только для цилиндра; так можно опреде- лять среднюю кривизну в данной точке любой поверхности. У цилиндрической поверхности в любой точке максимальная кривизна ртах = \/R, где R — радиус поперечного сечения цилиндра, a pmin = 0. Поэтому средняя кривизна цилиндра рц = 1/2/?, а избыточное давление внутри цилиндрического пузыря АРи — a'/R. Как видно, у цилиндрического пузыря избыточное давление такое же, как у сферического пузыря вдвое большего радиуса. Поэтому радиус сфе- 78 Глава 10. Пузырь и капля рических «шапок» у цилиндрического пузыря будет вдвое больше, чем радиус цилиндра, и они являются сферическими сегментами, а не полу- сферами. А что если вообще уничтожить избыточное давление в таком пузы- ре, заставив, например, лопнуть «шапки»? Казалось бы, так как внутри пузыря нет никакого избыточного давления, поверхность его не должна иметь кривизны. А тем не менее стенки пузыря изгибаются внутрь, и пу- зырь принимает форму катеноида (от латинского слова «катена» — цепь; эту поверхность можно получить вращением вокруг оси кривой, имеющей форму подвешенной горизонтально за концы цепи — цепной линииI. В чем же тут дело? Рис. 10.5: Под действием сил натяжения пленка принимает форму катеноида. Такая поверхность имеет нулевую среднюю кривизну. Присмотритесь к этой поверхности (рис. 10.5). Обратите внимание на ее узкое место — перехват. Легко видеть, что этот перехват является одно- временно и выпуклым, и вогнутым. Его поперечное сечение — окружность, а продольное — цепная линия. Кривизна, направленная внутрь, должна увеличивать давление внутри пузыря, кривизна же, направленная наружу, должна уменьшать его. (Давление под вогнутой поверхностью больше, чем над ней.) В случае катеноида эти кривизны одинаковы по величине, и так как направлены они в противоположные стороны, средняя кривизна равна нулю. Следовательно, внутри такого пузыря нет избыточного давления. Существует множество других поверхностей, которые кажутся кри- выми во всех направлениях, но тем не менее их средняя кривизна равна нулю, и эти поверхности не производят никакого давления. Чтобы полу- чить их, достаточно взять любую гнутую проволочную рамку и погрузить ее в мыльную воду. Вынимая рамку, можно увидеть разнообразные по- верхности с нулевой средней кривизной, форма которых зависит от формы 'С точностью до преобразований подобия а —? Ь цепная линия задается уравнением У = -(<?» +е~а). 79 рамки. Однако катеноид — единственная, кроме плоскости, поверхность вращения1 с нулевой средней кривизной. Одной из задач специальной математической науки — дифференци- альной геометрии — является отыскание таких поверхностей с нулевой средней кривизной, натянутых на замкнутые пространственные кривые. Существует точная математическая теорема, утверждающая, что площадь таких поверхностей среди прочих поверхностей, натянутых на ту же кри- вую, всегда минимальна, и она нам покажется теперь очевидной. Мыльные пузыри могут соединяться друг с другом, образуя пену. Не- смотря на кажущуюся хаотичность в расположении мыльных пленок в пе- не, всегда выполняется такой закон: пленки пересекают друг друга лишь под равными углами (см. рис. 10.6). Рис. 10.6: Глядя на сечение мыльной пены, можно заметить, что стенки пузырей образуют равные углы. Рассмотрим, например, два пузыря, находящихся в контакте друг с другом и имеющих общую перегородку (рис. 10.7). Избыточные (по срав- нению с атмосферным) давления внутри пузырей различны и определяются формулой Лапласа: ДЯ, - 2а' дя2 = Яг Поэтому перегородка должна быть такой, чтобы создавать дополни- тельное давление внутри пузырей. Следовательно, она должна обладать определенной кривизной. Радиус /?з кривизны перегородки определяется из соотношения 2а' Яз 2а' _ Яг 'То есть поверхность, полученная вращением плоской кривой вокруг лежащей в той же плоскости оси. 80 Глава 10. Пузырь и капля то есть R2-Ri 1—¦*- н—ч» Рис. 10.7: Угол между касательными к поверхностям слипшихся мыльных пузырей равен 120°. На рис. 10.7 изображен разрез пузырей в плоскости, проходящей че- рез их центры. Точки А и В представляют собой точки пересечения с плоскостью чертежа окружности, по которой соприкасаются два пузыря. В любой точке этой окружности встречаются три пленки. Так как поверх- ностное натяжение пленок одинаково, то силы их поверхностного натя- жения могут «уравновесить» друг друга лишь в том случае, когда углы, под которыми они пересекаются, равны между собой, и следовательно, каждый равен 120°.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Мыльные пузыри» з дисципліни «Дивовижна фізика»
