Теоретическое исследование случаев последнего рода мне показало, что различные простые колебания упругого тела накладываются беспрепятственно друг на друга до тех пор, пока амплитуды колебаний настолько малы, что вызванные смещениями движущие силы примерно пропорциональны самим смещениям. Но когда амплитуды колебаний возрастают настолько, что квадраты смещений уже заметно влияют на величину движущих сил, то возникают новые системы простых колебательных движений, периоды которых соответствуют периодам известных комбинационных тонов». Комбинационные тоны слышны лишь тогда, когда два музыкальных тона различной высоты звучат одновременно сильно и равномерно. Но в этом именно случае результирующее движение нельзя, как при интерференции, рассматривать как простую алгебраическую сумму составных движений, — при рассмотрении его следует непосредственно обращаться к действующим силам. Силу, которая при подобных условиях после смещения массы m в упругой среде на расстояние х стремится вернуть ее в положение равновесия, Гельмгольц принимает равной ах+bх2. Если при этом на одну и ту же точку действуют две системы волн с силами fsin(pt) и gsin(qt+c), то уравнение ее движения приобретает следующий вид:
Это уравнение можно проинтегрировать с помощью ряда, если положить
и затем, после приведения, приравнять поочередно нулю все коэффициенты при различных степенях . Тогда получается:
Из уравнения (1) получается путем интегрирования, если положить:
Это — знакомый результат для бесконечно малых колебаний; в нем выражены три тона: собственный тон точки m и оба сообщенных ей тона с числами колебаний р и q. Так как собственный тон быстро затухает, то А можно положить равным нулю; тогда путем подстановки x1 в уравнении (2) получаем:
Таким образом, второй член ряда для х содержит, кроме одной постоянной величины, тоны с числами колебаний 2р, 2q, (р—q) и (p+q), т. е. первые обертоны р и q, а также первый разностный и первый суммовой тоны тех же тонов. Амплитуды этих комбинационных тонов пропорциональны произведению uv, и, следовательно, при малых амплитудах первичных тонов они представляют собою малые величины второго порядка и возрастают с амплитудами первичных тонов в отношении квадратов. Отсюда понятно, почему при слабых первичных тонах комбинационные тоны не слышны и почему суммовой тон всегда слабее разностного. Путем разложения высших членов х3, х4 и т. д. можно дальше аналогичным образом получить высшие обертоны, а также комбинационные тоны высших порядков.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «ТЕОРИЯ КОМБИНАЦИОННЫХ ТОНОВ» з дисципліни «Історія фізики»
