Этот критерий применяется для проверки нулевой гипотезы о сходстве двух независимых распределений. Этот критерий более грубый, чем предыдущий, зато почти не требует вычислений. Техника расчетов аналогична; результатом первого этапа обработки должны стать два значения суммы рангов по выборкам, из которых выбирается меньшее значение: T = min(R1, R2). Достоверность отличий выборок оценивается с помощью критерия Т Уайта по специальной таблице 12П. Полученная величина T сравнивается с табличным значением критерия с учетом объема сравниваемых совокупностей для принятой доверительной вероятности: Р = 0.95 или Р = 0.99 (т. е. для уровня значимости α = 0.05 и α = 0.01). Если расчетное значение Т меньше табличного числа (ТЭ < ТT), это указывает на достоверность отличий между выборками, и нулевая гипотеза (о том, что распределения одинаковы) отвергается. Если же фактическая величина критерия Т больше или равна табличной (ТЭ ( ТT), нулевая гипотеза сохраняется и различие между выборками считается статистически недостоверным. Следует обратить внимание на то обстоятельство, что для многих непараметрических статистик вывод о достоверности отличий делается в случае, если расчетное значение критерия меньше табличного, тогда как параметрические статистики дают заключения о значимости различий, когда расчетная величина критерия больше табличной. Используем этот метод для примера, рассмотренного выше. Суммы рангов для каждой совокупности составили R1 = 50.5, R2 = 102.5. Меньшую сумму Т = 50.5 сравниваем с табличным значением критерия для n1 = 9 и n2 = 8 (T(0.05,9,8) = 51). Поскольку полученное значение (50.5) меньше табличного (51), наблюдаемые различия в активности каталазы сердца у разновозрастных щенков песца носят неслучайный характер, т. е. статистически достоверны, нулевая гипотеза о сходстве распределений отклоняется. Это заключение соответствует статистическому выводу, сделанному в предыдущем разделе. Ясно, что наблюдаемое отличие пока имеет отчетливое выражение и для заключения было достаточно и столь незначительного объема статистического материала. Критерий Q Розенбаума Этот критерий, как и предыдущие, оценивает достоверность различий двух эмпирических распределений, но в отличие от них почти не требует вычислений. Сравним два ряда цифр, характеризующих привесы (г) барашков одного возраста при добавлении в корм специальной подкормки (234, 277, 214, 201, 174, 167, 184, 157, 196, 173, 190, 191, 141, 150, 191) и без нее (183, 154, 175, 159, 157, 189, 198, 165, 176, 124, 173, 182, 204, 151, 147). Устанавливаем максимальные (277 и 204) и минимальные (141 и 124) значения и определяем порядковый номер сравниваемых совокупностей. В качестве первой следует принять выборку с наибольшей вариантой 277. Далее находим число значений первой выборки, превышающих максимальное значение второй выборки (204): Q1 = 3 (234, 277, 214). Затем определяем число вариант второй выборки, уступающих по величине минимальному значению первой выборки (141): Q2 = 1 (124). Далее определяем критерий Розенбаума как сумму полученных чисел: Q = Q1+Q2 = 3+1 = 4. По таблице 13П находим критическое значение Q(0.05,15,15) = 6. Поскольку эмпирическое значение (4) меньше табличного (6), приходим к выводу об отсутствии достоверного отличия выборок друг от друга, а значит, и влияния подкормки на привесы барашков. Следует все же иметь в виду, что возможности этого метода ограничены, он дает лишь прикидочный результат и оказывается эффективным только в случае сравнительно больших различий между выборками. Сравнение двух выборок по силе корреляции двух признаков Изложенный здесь материал следует читать после раздела 8. До сих пор были рассмотрены выборки вариант, несущих по одному значению. Корреляционный анализ изучает выборки, в которых каждая варианта охарактеризована двумя признаками (x, y). В центр внимания ставится не просто варьирование, но сопряженное варьирование значений двух признаков. При сравнении двух выборок исследуется вопрос о том, из одной ли генеральной совокупности они извлечены и не одинакова ли в них сила сопряженного варьирования признаков x и y. Нулевая гипотеза предполагает общность происхождения выборок, т. е. два коэффициента корреляции (для двух выборок) оценивают один и тот же характер зависимости между признаками генеральной совокупности, но искажены случайностью. Для получения сопоставимых случайных величин используют z-преобразование коэффициентов корреляции: (или по табл. 14П; знак сохраняется) и сравнивают полученные величины с помощью критерия Стьюдента: ~ T(0.05, n1+n2–4), где mz – обобщенная ошибка преобразованных коэффициентов: , n1, n2 – объемы сравниваемых выборок. Полученное значение сравниваем с табличным при принятом уровне значимости и числе степеней свободы df = n1+n2–4. Сравним корреляционное сходство между тремя биотопами (сосняк, ельник, лиственный лес) по численности (n) обитающих там 13 видов мелких млекопитающих (исходные данные по отловам в канавки представлены в табл. 6.2). Таблица 6.2 Вид Численность, n N nC nE nЛ M nC –M nE –M nЛ –M Обыкн. бурозубка 3.9 7.2 6.0 5.700 –1.800 1.500 0.300 Средняя бурозубка 1.8 1.1 0.5 1.133 0.667 –0.033 –0.633 Малая бурозубка 1.9 2.0 1.6 1.833 0.067 0.167 –0.233 Равнозубая бурозубка 0.01 0.2 0.1 0.103 –0.093 0.097 –0.003 Крошечная бурозубка 0.04 0.04 0 0.027 0.013 0.013 –0.027 Водяная кутора 0.04 0.06 0.4 0.167 –0.127 –0.107 0.233 Лесная мышовка 0.6 0.3 0.7 0.533 0.067 –0.233 0.167 Лесной лемминг 0.2 0 0.05 0.083 0.117 –0.083 –0.033 Мышь-малютка 0.04 0 0 0.013 0.027 –0.013 –0.013 Рыжая полевка 1.5 0.8 0.8 1.033 0.467 –0.233 –0.233 Красная полевка 0.06 0.6 0.02 0.227 –0.167 0.373 –0.207 Темная полевка 0.2 0 0.7 0.300 –0.100 –0.300 0.400 Полевка-экономка 0 0.2 0.2 0.133 –0.133 0.067 0.067
По исходным данным корреляция между ельником и сосняком составила rЕС = 0.916, между ельником и лиственным лесом –rСЛ = 0.981. Спрашивается, действительно ли население ельников более сходно с населением лиственных лесов, чем с населением сосняков (rСЛ>rЕС)? По таблице 14П находим zСЛ = 1.5275, zСЛ = 2.2976. Вычисляем критерий Стьюдента: 0.447214, = 0.06. Полученное значение критерия (0.06) меньше табличного T(0.05,13+13–4) = 2.07, значит, отличие коэффициентов корреляции незначимо. Сосняк и березняк неотличимы от ельников по соотношениям численности разных видов мелких млекопитающих. Причина этого на первый взгляд странного вывода состоит в том, что корреляция между биотопами характеризует не видовые предпочтения, но структуру доминирования. Средние многолетние показатели попадаемости бурозубок в любом биотопе на 2–3 порядка выше, чем остальных видов, что обеспечивает сильную вытянутость эллипсу рассеяния и автоматически высокий уровень корреляции. Очевидно, что в таком виде корреляционная мера сходства оказалась неудачной. Для изучения биотопической приверженности видов (а это реальный факт) следовало бы изучить зависимость показателей встречаемости, центрированных (или нормированных) на общую численность (M) для всего района работ: Nij = nij – Mj, где j – индекс биотопа, всего m биотопов (j = 1, 2…m), i – индекс вида, всего k видов (i = 1, 2…k). Теперь корреляция между ельником и сосняком составила rЕС = –0.883, между ельником и лиственным лесом – rСЛ = 0.168. По таблице 14П находим zЕС = –1.3758, zСЛ = 0.1614. Критерий Стьюдента (при той же ошибке) равен: = 2.71. Полученное значение больше табличного T(0.05,13+13–4) = 2.07, коэффициенты корреляции между разными биотопами (для удельных показателей численности) отличаются достоверно. Между сосняком и ельником наметился определенный антагонизм, а сходство ельника с лиственным лесом оказалось несущественным. Сравнение двух линий регрессии Изложенный здесь материал следует читать после ознакомления с разделом 8. Регрессионный анализ, рассматривая зависимость между признаками, выражает ее специфическим образом – через уравнения регрессии. Линейные уравнения вида Y = ax+b содержат два коэффициента регрессии, характеризующие степень сопряжения и пропорциональность изменения признаков (коэффициент a отражает силу связи, т. е. наклон линии) и место пересечения оси ординат (коэффициент b определяет место положения линии в осях координат). Когда ставится вопрос о сходстве характера связи между признаками, то в отношении линии регрессии он распадается на три отдельных вопроса: одинаков ли характер распределения признаков? одинаков ли наклон линий регрессии? одинаково ли положение линий регрессии относительно осей координат? 1) Для того чтобы решить вопрос о сходстве угла наклона линий регрессии, необходимо убедиться в том, что обе линии характеризуются одной и той же случайной дисперсией, сходным характером рассеяния вариант вокруг линий, т. е. сходными значениями случайной дисперсии, Но: . Эта первая гипотеза проверяется с помощью F критерия Фишера: ~ F(α, df1, df2), , где – остаточная дисперсия, сумма квадратов отклонения исходных значений (yx) от рассчитанных по уравнению регрессии (Yx), нормированная на число степеней свободы (n–2). Это значение получают из таблицы дисперсионного анализа регрессионной модели ("Остаток"). 2) Если остаточные дисперсии для разных линий значимо не отличаются, можно приступать к сравнению коэффициентов регрессии, определяющих характер зависимости между признаками, т. е. ответственных за угол наклона прямых. Этой цели служит T критерий Стьюдента: ~ T(α, df), где a1, a2 – коэффициенты регрессии сравниваемых уравнений, ma1,2 – обобщенная ошибка коэффициентов регрессии. Для выборок одинакового объема обобщенная ошибка рассчитывается по формуле: , где ma1, ma2 – ошибки коэффициентов регрессии: , Sy, Sx – стандартные отклонения, рассчитанные по всему объему выборки n, r – коэффициент корреляции между признаками x и y. Для выборок, имеющих разный объем, обобщенная ошибка репрезентативности коэффициентов регрессии вычисляется более сложным путем: , где – обобщенная остаточная дисперсия, вычисленная по формуле: , Сx1, Cx2 – суммы квадратов отклонений значений признака x от своих средних (MX) в двух выборках: , – остаточные дисперсии (см. выше). Различие между коэффициентами регрессии a1 и a2 считается значимым, если расчетное значение критерия Стьюдента превосходит табличное значение при заданном уровне значимости и числе степеней свободы df = n1+n2–4.
3) Если критерий Стьюдента не показал отличий коэффициентов регрессии, то проверяется, наконец, третья гипотеза – об одинаковом положении линий регрессии (т. е. гипотеза о полном совпадении линий) – с помощью T критерия Стьюдента: ~ T(α, df), где a – усредненный коэффициент корреляции , Mx1, Mx2 – средние для признака x в двух выборках, Различие между коэффициентами регрессии b1 и b2 считается значимым, если расчетное значение критерия Стьюдента превосходит табличное значение при заданном уровне значимости и числе степеней свободы df = n1+n2–3. В качестве примера сравним характер зависимости между длиной хвоста (Lc, мм) и длиной тела (Lt, см) у самцов (m) и самок (f) обыкновенной гадюки (табл. 6.3), уравнения регрессии приведены на иллюстрации (рис. 6.2). 1) Найти остаточные дисперсии для каждой выборки проще всего, выполнив полный регрессионный анализ в среде Excel с помощью макроса, вызываемого командой меню Сервис\ Анализ данных\ Регрессия. Получим = 12.202, = 4.006, отсюда = 3.046. Поскольку полученное значение (3.04) меньше табличного F(α,df1,df2) = 3.4, отличия между дисперсиями незначимы. Можно продолжать сравнение линий регрессии. 2) Для проверки различий коэффициентов регрессии требуется найти обобщенную ошибку ma1,2, используя значения ошибок из таблиц проведенного ранее регрессионного анализа в среде Excel. Поскольку объемы выборок отличаются не сильно, можно использовать первую формулу: = 0.52298. Таблица 6.3 A B C 1 Lt Lc 2 m1 45 77 3 m2 46 84 4 m3 47 81 5 m4 45 76 6 m5 47 80 7 m6 50 78 8 m7 53 90 9 m8 51 87 10 Lt Lc 11 f9 50 62 12 f10 55 65 13 f11 49 65 14 f12 51 66 15 f13 52 64 16 f14 50.5 64 17 f15 53 68 18 f16 51 62 19 f17 57 70
Рис. 6.1. Регрессия длины хвоста по длине тела у гадюк Для целей иллюстрации рассчитаем и более точную оценку. Для этого предварительно нужно найти суммы квадратов отклонений значений независимой переменной x (в нашем случае ее роль играет длина тел Lt) от своих средних. Найдем величины с помощью функции Excel =КВАДРОТКЛ(диапазон). Для таблицы 6.3 имеем: Cx1 =КВАДРОТКЛ(C2:C9) = 62, Cx2 =КВАДРОТКЛ(C11:C19) = 52.222. Поскольку общая остаточная дисперсию равна
2.7908, обобщенная ошибка коэффициентов регрессии составит: = 0.52419 т. е. практически не отличается от рассчитанной первым способом. Теперь можно оценить значимость отличий коэффициентов (для df = n1+n2–4 = 8+9–4 = 13): = 10.76. Полученное значение критерия Стьюдента больше табличного даже для уровня значимости α = 0.001(T(0.001,13) = 4.22), т. е. коэффициенты регрессии не равны. Итак, результаты сравнения показывают, что линии регрессии имеют разный угол наклона; с увеличением размеров тела длина хвоста у самцов (a = 1.2) прирастает быстрее, чем у самок (a = 0.7).
Сравнение двух выборок по характеру распределения Рассмотренные выше методы сравнения двух выборок проверяют предположение либо о действии систематического, контролируемого, фактора (по критерию Стьюдента оценивается различие средних), либо о действии разного набора случайных факторов (критерий Фишера пытается обнаружить отличие дисперсий), либо обеих причин вместе (с помощью непараметрических статистик). Специфические методы χ² Пирсона и λ Колмогорова – Смирнова позволяют проверять гипотезы о соответствии друг другу двух частотных распределений и тем самым улавливать не только отличия в общих тенденциях, но и частные особенности отдельных классов вариант.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Критерий Т Уайта» з дисципліни «Введення в кількісну біологію»
