Корреляционный анализ является основным методом массовой оценки. Кроме того, оценщику довольно часто приходится обращаться к корреляционному анализу для решения разнообразных задач при индивидуальной оценке, а именно: установление связи между стоимостью и потребительскими параметрами объекта; обоснование порядка расчета корректирующих индексов; выяснение трендов цен; установление связи между износом и изменениями влияющих факторов; получение зависимостей для расчета нормативов затрат и т.п. [23]. Корреляционная связь отражает лишь усредненную тенденцию изменения зависимого стоимостного показателя (результативного признака) от изменения одного или нескольких параметров-аргументов (факторных признаков). В этом заключается отличие корреляционной связи от функциональной, при которой значение показателя строго определено при заданном значении аргумента (аргументов). Наличие корреляционной связи свидетельствует о том, что зависимость между показателем и аргументом (аргументами) подвержена влияниям со стороны других побочных факторов, одни из которых вообще неизвестны, другие не поддаются оценке и учету. Таким образом, корреляцию можно определить как статистическую зависимость между случайными величинами, не имеющими строго функционального характера, при которой изменение математического ожидания одной случайной величины приводит к изменению математического ожидания другой случайной величины. Различают следующие типы корреляций [40]:
• • •
парная корреляция – связь между двумя признаками (результативчастная корреляция – зависимость между результативным и одним множественная корреляция – зависимость результативного и двух
ным и факторным или двумя факторными); факторным признаком при фиксированных значениях других; или более факторных признаков, включенных в исследование. Основная задача корреляционного анализа – количественное определение тесноты связи между признаками (при парной корреляции) и множеством факторных признаков (при многофакторной связи). Теснота связи количественно выражается коэффициентом корреляции.
http://www.natahaus.ru/
Задачу определения аналитического выражения связи между результативным и факторными признаками на формальном уровне путем использования определенной совокупности математических процедур решает регрессионный анализ. По количеству переменных регрессия может быть парной и множественной. А по виду связи – линейной и нелинейной. Применение корреляционного и регрессионного анализа позволяет установить закономерность влияния главных факторов на изучаемый показатель, как в их совокупности, так и каждого из них в отдельности. С помощью корреляционного анализа, как метода математической статистики, удается, во-первых, найти и описать форму аналитической зависимости показателя от параметра-аргумента (параметров-аргументов) и, во-вторых, оценить тесноту этой зависимости. Благодаря решению первой задачи получают математическую корреляционную модель, с помощью которой затем рассчитывают искомый показатель при заданных значениях параметров. Решение второй задачи позволяет установить надежность рассчитанного результата. Таким образом, корреляционно-регрессионный анализ можно определить как совокупность формальных (математических) процедур, предназначенных для измерения тесноты, направления и аналитического выражения формы связи. Т.е. на выходе такого анализа должна быть структурно и количественно определенная статистическая модель вида: Y = f ( x1 ,...,x k ) , где k – количество факторов. Корреляционный анализ в общем случае включает следующие этапы:
• формирование выборки однородных объектов и сбор исходной информации об этих объектах;
• отбор основных влияющих параметров-аргументов (ценообразующих факторов); • проверка выборки на нормальность с использованием χ2 или биноминального критерия [30];
• принятие гипотезы о форме связи; • математическую обработку данных; • получение корреляционной модели; • оценку ее статистических показателей; • поверочные расчеты с помощью корреляционной модели; • анализ результатов.
190
Указанная последовательность операций имеет место при исследовании как парной связи между показателем и одним параметром-аргументом, так и множественной связи между показателем и несколькими параметрами-аргументами. Применение корреляционного анализа предъявляет к исходной информации определенные требования:
• статистическая выборка объектов должна быть однородной в функциональном и конструктивно-технологическом отношениях;
• достаточно многочисленной; • исследуемый стоимостной показатель – результативный признак (цена, себестоимость, затраты) должен быть приведен к одним условиям его исчисления у всех объектов в выборке;
• параметры-аргументы должны быть измерены достаточно точно; • факторы должны быть независимы, либо минимально зависимы. Требования однородности и полноты выборки находятся в противоречии: чем жестче ведут отбор объектов по их однородности, тем меньше получают выборку, и, наоборот, для укрупнения выборки приходится включать в нее не очень схожие между собой объекты. После того как собраны данные по группе однородных объектов, проводят их анализ для установления формы связи между зависимым стоимостным показателем и параметром-аргументом в виде теоретической линии регрессии. Процесс нахождения теоретической линии регрессии заключается в обоснованном выборе аппроксимирующей кривой и расчете коэффициентов ее уравнения. Линия регрессии представляет собой плавную кривую (в частном случае прямую), описывающую с помощью математической функции общую тенденцию исследуемой зависимости и сглаживающую незакономерные, случайные выбросы от влияния побочных факторов. Для отображения парных корреляционных зависимостей в задачах по оценке чаще всего используют следующие функции: линейную вида y = a0 + a1 x ; степенную вида
y = a0 x a1 (см. Рис. 4.5); показательную вида x показательную y = a0 + a1a2 (см. Рис. 4.7).
y = a0 a1x
(см. Рис. 4.6); линейно-
В этих функциях y – зависимый показатель (результативный признак); x – параметраргумент (факторный признак); а0, a1, a2 – параметры корреляционной модели, коэффициенты регрессии. Линейно-показательная модель относится к классу так называемых гибридных моделей вида:
http://www.natahaus.ru/
⎡ k3 xbi Ч k4 bxi Ч k5 b Ч x + ⎤ ⎥ ⎢i=∏+1 i i=∏+1i i=∑+1i i k1 k2 k4 k2 k3 bi xi y = ∏ xi Ч ∏ bi Ч⎢ k ⎥, k7 k8 6 i =1 i = k1 + 1 ⎢+ ∏ xbi Ч ∏ bxi Ч ∑ b Ч x + ...⎥ ⎥ ⎢ i=k5 +1 i i=k6 +1i i=k7 +1i i ⎦ ⎣ где xi (i=1,...,l) − значения ценообразующих факторов, bi (i=0,...,l) − коэффициенты.
1000 800 600 Y 400 200 0 1 3 5 7 9 x 11 13 15 Ряд1 Ряд2
Рис 4.5 Ряд 1: a1>0; Ряд 2: a1<0
Значения ценообразующих факторов (факторных признаков), находящихся в степени соответствующих коэффициентов, представляют собой бинарные переменные (0 или 1). Ценообразующие факторы, находящиеся в основании степени − дискретные или непрерывные переменные.
x Рис. 4.6 Ряд 1: а1>1; a2<1. Рис. 4.6 Ряд 1: а1>1; Ряд 2: а1<1.
Ценообразующие факторы, связанные с коэффициентами знаком умножения, также являются непрерывными или дискретными.
192
1200,0 1000,0 800,0 600,0 400,0 200,0 0,0 1 3 5 7 9 x 11 13 15 Ряд1 Ряд2 Y
Рис. 4.7 Ряд 1: a1<0, а2>1; Ряд 2: a1<0;a2<1.
Спецификация осуществляется, как правило, с использованием эмпирического подхода и включает два этапа: нанесение на график точек корреляционного поля; графический (визуальный) анализ вида возможной аппроксимирующей кривой. Тип кривой регрессии не всегда можно выбрать сразу. Для его определения сначала наносят на график точки корреляционного поля по исходным данным. Затем визуально проводят линию по положению точек, стремясь выяснить качественную закономерность связи: равномерный рост или равномерное снижение, рост (снижение) с возрастанием (убыванием) темпа динамики, плавное приближение к некоторому уровню. Этот эмпирический подход дополняют логическим анализом, отталкиваясь от уже известных представлений об экономической и физической природе исследуемых факторов и их взаимовлияния. Например, известно, что зависимости экономических показателей (цены, аренды) от ряда ценообразующих факторов (расстояния от центра поселения, площади, и др.) имеют нелинейный характер, и достаточно строго их можно описать степенной, экспоненциальной или квадратичной функциями. Но при небольших диапазонах изменения параметров приемлемые результаты можно получить и с помощью линейной функции. Если все же невозможно сразу сделать уверенный выбор какой-либо одной функции, то отбирают две - три функции, рассчитывают их параметры и далее, используя соответствующие критерии тесноты связи, окончательно выбирают функцию. В теории массовой оценки процесс нахождения формы кривой называется специфи-
кацией модели, а ее коэффициентов – калибровкой модели [30].
http://www.natahaus.ru/
Если обнаружено, что показатель y (результативный признак) зависит от нескольких параметров-аргументов (факторных признаков) x1,x2,…,xk , то прибегают к построению множественной корреляционной модели. Обычно при этом используют три формы множественной связи: линейную
–
y=a0+a1x1+a2x2+…+akxk,
показательную
–
x a a y = a0 a1x1 a22 ...akxk , степенную – y = a0 x1 1 x2 2 ...xkak или их комбинации.
Показательная и степенная функции более универсальны, так как аппроксимирует нелинейные связи, каковыми и является большинство исследуемых в оценке зависимостей. Кроме того, они могут быть применены при оценке объектов и в методе статистического моделирования при массовой оценке, и в методе прямого сравнения в индивидуальной оценке при установлении корректирующих коэффициентов. Суть корректировок в методе сравнительного анализа продаж можно выразить в математическом виде следующим образом: Viкор = Vi a1Δx1 Ч a Δx2 Ч ...Ч arΔxr Ч ( 1 + a r+1 Δxr+1 + ... + a k Δxk ) , 2
(
)
(4.15)
где Vi – цена i-го аналога до корректировки, Viкор – цена i-го аналога после корректировки, a1,…,ak – корректирующие коэффициенты, Δxj – разность значений j-го ценообразующего фактора объекта оценки и объекта-аналога. После разложения сомножителей первой круглой скобки (4.15) в ряд Тейлора и удержания первых членов ряда получим:
Здесь произведение, находящееся в квадратных скобках, представляет собой совокупность корректировок по первой группе факторов, характеризующих отличия объекта аналога от объекта оценки с точки зрения сделки (последовательные корректировки). А вторая – совокупность корректировок по второй группе факторов, характеризующих отличия объекта оценки по местоположению, физическим и экономическим характеристикам (параллельные корректировки). На этапе калибровки параметры корреляционной модели рассчитывают методом наименьших квадратов, суть которого состоит в том, что сумма квадратов отклонений выровненных значений результативного признака yB, т. е. вычисленных по выбранному уравнению связи, от фактических значений должна быть минимальной: n
Q = ∑( yB,i −yi )2 = min . i =1
194
Значения yB и y известны, поэтому Q является функцией только параметров уравнения. Для отыскания минимума S нужно взять частные производные Q по параметрам уравнения и приравнять их к нулю:
∂Q ∂Q ∂Q =0; = 0 ;…, =0. ∂a0 ∂a1 ∂ak В результате получаем систему нормальных уравнений, число которых равно числу определяемых параметров искомого уравнения регрессии. Положим, нужно найти параметры линейного уравнения y=a0+a1x. Сумма квадратов отклонений имеет вид: 2
Q = ∑ (a0 + a1 xi − yi ) . i =1
n
Дифференцируют функцию Q по параметрам a0 и a1 и приравнивают частные производные к нулю: n ∂Q = ∑ 2( a0 + a1 xi − yi ) = 0 , ∂a0 i=1 n ∂Q = ∑ 2( a0 + a1 xi − yi )xi = 0 . ∂a1 i=1
После преобразований получают:
a0 =
i =1
∑ yi ∑ xi −∑ xi yi ∑ xi i =1 n i =1
n
n
2
n
n
n∑ xi − ⎛ ∑ xi ⎞ ⎜ ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠ 2 n
i =1 2
;
a1 =
n ∑ xi y i − ∑ x i ∑ y i i =1 i =1 i =1
n
n
n
n ∑ xi − ⎛ ∑ xi ⎞ ⎜ ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠ n 2 n
2
,
где n – количество исходных фактических значений y и x. Приведенный выше порядок расчета корреляционного уравнения применим и для нелинейных зависимостей, если эти зависимости можно линеаризовать, то есть привести к линейной форме заменой переменных. Степенная и показательная функции после логарифмирования и соответствующей замены переменных приобретают линейную форму. Например, степенная функция после логарифмирования приобретает вид:
lg y = lg a0 + a1 lg x . После замены переменных Y=lgy, A0=lga0, X=lgx получаем линейную функцию Y=A0+a1x, параметры которой находят описанным выше способом. Метод наименьших квадратов применяют и для расчета параметров множественной корреляционной модели. Так, система нормальных уравнений для расчета линейной функции с двумя параметрами-аргументами x1 и x2 после ряда преобразований имеет следующий вид:
http://www.natahaus.ru/
a0n + a1 ∑ x1,i + a2 ∑ x2,i = ∑ yi ; i =1 i =1 i =1 2 a0 ∑ x1,i + a1 ∑ x1,i + a2 ∑ x1,i x2,i = ∑ yi x1,i ; i =1 n i =1 n i =1 i =1 n n n n n n
n
n
n
2 a0 ∑ x2,i + a1 ∑ x1,i x2,i + a2 ∑ x2,i = ∑ yi x2,i . i =1 i =1 i =1 i =1
Обычно данную систему уравнений решают, используя методы линейной алгебры: метод последовательных приближений (метод Зейделя), либо метод последовательного исключения (метод Гаусса). Множественную степенную функцию приводят к линейной форме путем логарифмирования и замены переменных таким же образом, как и парную степенную функцию. При использовании гибридных моделей параметры множественной регрессии находятся с использованием численных процедур метода последовательных приближений. Чтобы сделать окончательный выбор из нескольких корреляционных уравнений, необходимо проверить каждое уравнение на тесноту связи, которая измеряется коэффициентом корреляции, дисперсией и коэффициентом вариации. Для оценки можно использовать также критерии Стьюдента и Фишера. Чем большую тесноту связи обнаруживает кривая, тем она более предпочтительна при прочих равных условиях. Дисперсия выровненных с помощью корреляционного уравнения значений показателя yB относительно его фактических значений y определяется по формуле: n
σ2 =
i =1
2 ∑( yB,i − yi )
n −1
.
Дисперсия измеряет степень рассеяния данных относительно линии регрессии. При строгой функциональной связи она равна нулю. Дисперсия имеет самостоятельное значение. Она показывает точность предсказания показателя с помощью построенной корреляционной модели. Теснота связи между показателем и параметром(ами) оценивается коэффициентом корреляции, который показывает, какая часть общей колеблемости показателя приходится на влияние аргумента(ов). При линейной парной корреляции коэффициент корреляции между x и y рассчитывают по формуле:
196
rxy =
n ∑ xi y i − ∑ xi ∑ y i i =1 i =1 i =1
n
n
n
⎡ n 2 ⎛ n ⎞ ⎤⎡ n 2 ⎛ n ⎞2 ⎤ ⎢ni∑ yi −⎜ i∑ yi ⎟ ⎥⎢ni∑ xi −⎜ i∑ xi ⎟ ⎥ ⎝ =1 ⎠ ⎦ ⎝ =1 ⎠ ⎦ ⎣ =1 ⎣ =1 2
.
Для того чтобы определить тесноту связи при множественной корреляции, необходимо сначала рассчитать коэффициенты парной корреляции между показателем и каждым параметром, а также между самими параметрами. Мерой тесноты связи служит в этом случае коэффициент множественной корреляции R, квадрат которого при линейной форме связи равен отношению двух определителей, состоящих из коэффициентов парной корреляции. Например, коэффициент множественной корреляции для функции с двумя параметрами определяют следующим образом: 1 r12 2 R12 y =
r12 1 r2 y 1 r12 r12 1
r1y r2 y 1
r1y
.
После расчета определителей и упрощений получаем: R12 y = r12y − r22y − 2r1y r2 y r12 2 1 − r12
.
Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее и определеннее связь, описываемая уравнением регрессии. По самой примерной оценке корреляционную связь можно считать установленной, если коэффициент корреляции по абсолютной величине не менее 0,5. Если корреляционное уравнение находят по ограниченной выборке объектов (n < 30), а это распространенный случай, то рассчитанный выше коэффициент корреляции надо скорректировать следующим образом [40]: Rкор = 1 − ( 1 − R2 ) n −1 , n −k −1
где R и Rкор – ранее рассчитанный и скорректированный коэффициент парной или множественной корреляции соответственно; k – число параметров в уравнении регрессии. Причем, если под знаком корня окажется отрицательное число, то в качестве уточненного значения скорректированного коэффициента корреляции следует брать ноль [40].
http://www.natahaus.ru/
Если решается задача такого класса, когда надо установить зависимость стоимостного показателя от параметров объекта, то понятно стремление учесть как можно больше влияющих параметров и построить тем самым более точную множественную корреляционную модель. Однако расширению числа параметров препятствуют два объективных ограничения. Во-первых, для построения множественной корреляционной модели требуется значительно более объемная выборка объектов, чем для построения парной модели. Принято считать [40], что количество объектов в выборке должно превышать количество n параметров-аргументов, по крайней мере, в 5-7 раз. Отсюда следует, что для построе-
ния модели с тремя влияющими параметрами надо собрать выборку примерно из 20 объектов с разным набором значений параметров. Во-вторых, отбираемые для модели параметры-аргументы в своем влиянии на стоимостной показатель должны быть достаточно независимы друг от друга. Это обеспечить не просто, поскольку выборка обычно объединяет объекты, относящиеся к одному семейству, у которых имеет место закономерное изменение многих параметров от объекта к объекту. На основе представленных выше определений критериев качества регрессионных моделей можно в компактной форме в виде явных функций представить используемые для этих целей статистические критерии: 1. Дисперсия: 2 S yx = i =1 но 2 ∑( ΔYi ) n
n−k −1
.
Здесь n – объем выборки, k – количество результативных признаков, ΔYiно = Yi − Yвi – ошибка, необъясняемая регрессионной моделью (см. Рис. 4.8), Yi − реальное значение результативного признака, Yвi − вычисленное по модели регрессии значение результативного признака (на рисунке YВi), (n-k-1)=γ – число степеней свободы.
198
YBi Yi Ycp
Рис. 4.8 2. Стандартное отклонение (стандартная ошибка или СКО результата): 2 S yx = S yx .
Показывает, что 68% реальных значений цен находятся в диапазоне ±Syx от линии регрессии. 3. Дисперсия коэффициента регрессии: 2 Sai = 2 Syx
∑x
2 i
(∑ xi )2 − n ai Sai
.
4. Критерий Стьюдента (t-сатистика): tai =
.
Критерий Стьюдента позволяет определить статистическую существенность связи. Если tai>tα,ν, то гипотеза о том, что данный коэффициент является статистически незначимым отвергается с вероятностью (100-α)%. Существуют специальные таблицы tраспределения, позволяющие по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы ν (см. Приложение), определять критическое значение критерия. Наиболее часто употребляемое значение α равно 5%. 5. Коэффициент определенности (детерминации): R2 = i =1 n об об 2 ∑( ΔYi ) 2 n но 2 n
i =1
∑( ΔYi ) + ∑( ΔYi ) i =1
.
Здесь ΔYiоб = Yвi − Y - ошибка, объясняемая регрессионной моделью; Y − среднее значение результативного признака (на Рис. 4.8 обозначено как Уср).
http://www.natahaus.ru/
Данный критерий позволяет судить о том, какой процент дисперсии цен объясняется регрессионным уравнением. 6. Коэффициент Фишера: FR = i =1 об 2 ∑( ΔYi ) ( n − k − 1 ) n
k ∑( ΔYiно )2 i =1
n
.
Критерий Фишера используется для оценки значимости коэффициента детерминации. Существует таблица критических значений FRкр коэффициента Фишера (см. Приложение: Распределение Фишера-Снедекора), зависящих от числа степеней свободы γ, количества факторных признаков k и уровня значимости α. Если FR>FRкр, то гипотеза о незначимости коэффициента детерминации, т.е. о несоответствии заложенных в уравнении регрессии связей, реально существующим, отвергается. Мультиколлинеарность, т.е. эффект взаимных связей между независимыми параметрами (факторными признаками), приводит к необходимости довольствоваться ограниченным числом параметров. Если это не учесть, то можно в итоге получить нелогичную корреляционную модель. Чтобы избежать негативного эффекта мультиколлинеарности, до построения множественной корреляционной модели рассчитываются коэффициенты парной корреляции rxi,xj, между отобранными параметрами xi и xj: rxi,xj = __ _____
x i x j − xi x j
σxσx i
.
j
2 Здесь σ xi = xi2 − ( xi )2 - дисперсия фактора xi. Считается, что два параметра корреля-
ционно связаны между собой (т.е. коллинеарные), если коэффициент их парной корреляции по абсолютной величине строго больше 0,8. В этом случае какой-либо из этих параметров надо исключить из рассмотрения. С целью расширения возможностей экономического анализа получаемых регрессионных моделей используются частные коэффициенты эластичности, определяемые по формуле Эxi = ai xi , y
200
где xi – среднее значение соответствующего факторного признака, y – среднее значение результативного признака, ai – коэффициент регрессии при соответствующем факторном признаке. Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного признака на 1%, т.е. как реагирует результативный признак на изменение факторного признака. Например, как реагирует цена м2 площади квартиры на удаление от центра города. Полезным с точки зрения анализа значимости того или иного коэффициента регрессии является оценка частого коэффициента детерминации d xi = ryxi ai 2 ∑ ( xi − x ) n
Данный коэффициент показывает на сколько процентов вариация результативного признака объясняется вариацией i-го признака, входящего в уравнение регрессии.
Пример: Требуется построить математическую модель рынка арендных ставок в зависимости от двух факторных признаков: местоположения объекта аренды и его состояния, используя следующие исходные данные (см. Табл. 4.2). Таблица 4.2 Номер объекта, i Местоположение, x1 Состояние, x2 Арендная ставка, y 1 5 3 200 2 1 2 250 3 7 5 180 4 9 4 170 5 3 1 240
Здесь оценка местоположения и состояния объектов аренды выполнена в баллах методом экспертных оценок с использованием шкалы предпочтений. В качестве математической модели выберем линейную модель: y = a 0 + a 1 x1 + a 1 x 2 .
Для оценки коэффициентов регрессии составим следующую систему уравнений:
http://www.natahaus.ru/
na0 + a1 ∑ x1 + a2 ∑ x2 = ∑ y 2 a 0 ∑ x 1 + a 1 ∑ x1 + a 2 ∑ x 1 x 2 = ∑ x 1 y 2 a 0 ∑ x 2 + a 1 ∑ x1 x 2 + a 2 ∑ x 2 = ∑ x 2 y
Составим расчетную таблицу для определения коэффициентов (см. Табл. 4.3). Таблица 4.3 Местоположение, x1 Арендная ставка, y Номер объекта Состояние, x2
2 x1
x1 x 2
yx1
2 x2
yx2
увыч37
1 2 3 4 5 Сумма Ср. знач
5 1 7 9 3 25 5
3 2 5 4 1 15 3
200 250 180 170 240 1040 208
25 1 49 81 9 165 33
15 2 35 36 3 91 18,2
1000 250 1260 1530 720 4760 952
9 4 25 16 1 55 11
600 500 900 680 240 2920 584
208 248 178 168 238 1040 208
После подстановки данных Табл. 4.3 получим: 5a0 + 25a1 + 15a2 = 1040 25a0 + 165a1 + 91a2 = 4760 15a0 + 91a1 + 55a2 = 2920 Данная система имеет единственное решение, которому соответствует следующая модель регрессии: y = 269,7 − 8,33x1 − 6 ,666 x2 .
Выполним статистический анализ полученного результата. Предварительно составим вспомогательную таблицу для объясняемых и необъясняемых ошибок (см. Табл. 4.4). Таблица 4.4. Номер объекта, i
Отсюда следует, что по правилу “двух сигм” ошибка оценки в нашем случае равна 2Ч6,32=12,64. 3. Дисперсии коэффициентов регрессии 2 Sa1 = 2 S yx
∑x S 2 a2
2 1i
−
(∑ x ) 1i
2
=
n
40 = 1. 252 165 − 5 40 =4. 152 55 − 5
=
2 S yx
∑x
2 2i
−
(∑ x ) 2i
2
=
n
4. Оценка значимости коэффициентов t a1 = ta2 = a1 S a1 a2 S a2 = = 8,33 = 8,33 , 1 6 ,667 = 3,4 . 2
Критическое значение данного критерия (см. Приложение – Таблица распределения Стьюдента) при 2-х степенях свободы (5-2-1) для доверительной вероятности в 95% (α=0,05) равно 4,3. Отсюда следует, что первый из коэффициентов для данного уровня вероятности является статистически значимым, а второй для этого уровня вероятности немного не дотягивает до статистической значимости. 1. Коэффициент определенности: R2 = i =1 n об 2 ∑( ΔYi ) n n
i =1
об 2 но 2 ∑( ΔYi ) + ∑( ΔYi ) i =1
=
5000 = 0,984 . 5000 + 80
Таким образом, 98% дисперсии цен объясняется регрессионным уравнением. 2. Коэффициент Фишера:
http://www.natahaus.ru/
FR =
i =1
об 2 ∑( ΔYi ) ( n − k − 1 )
n
k ∑( ΔYiно )2 i =1
n
=
5000 Ч 2 = 62,5 . 2 Ч 80
Критическое значение данного критерия Fкр, определяемое по таблице ФишераСнедекора, равно 19, т.е. FR>Fкр. Это означает, что гипотеза о несоответствии заложенных в уравнении регрессии связей, реально существующим, отвергается. 7. Проверка на мультиколлинеарность между параметрами x1 и x2: rx1,x2 = __ _____
находится на грани критического значения. При изучении этого явления необходимо обращать внимание на следующие возможные причины мультиколлинеарности: • • • •
изучаемые факторные признаки характеризуют одну и ту же сторону изучаемого явления; использование в качестве факторных признаков показателей, суммарное значение которых представляет собой постоянную величину; факторные признаки являются составными элементами друг друга; факторные признаки по экономическому смыслу дублируют друг друга. x1 5 = 8,33 Ч = 0,2 , y 208
7. Анализ коэффициентов эластичности Эx1 = a1 Эx2 = a2
x2 3 = 6 ,67 Ч = 0,096 . y 208
Это означает, что при изменении местоположения на 1% цена в среднем изменяется на 0,2%, а при изменении состояния на 1% цена изменяется в среднем на 0,1%. Эластичность можно измерить иначе: установить изменение цены при изменении факторного признака на один балл. Для этого необходимо определить скольким процентам соответствует изменение того или иного фактора на один балл. Изменение местоположения на один балл соответствует 1/(9-1)Ч100%=12,5%. Изменение состояния на один балл соответствует 1/(5-1)Ч100%=25%. Отсюда следует, что при
204
изменении местоположения на один балл цена изменяется на 2,5%, и при изменении состояния на один балл цена изменяется на 2,5%. В ходе оценки часто возникает необходимость привести разновременные цены на аналогичные объекты к одному моменту времени – моменту оценки. Чтобы решить данную задачу, нужно установить общую тенденцию движения цен (тренда) у рассматриваемой совокупности объектов в некотором временном интервале с помощью статистического анализа рядов динамики цен. Возникает еще более сложный случай, когда момент оценки достаточно удален от временного интервала, в котором цены определены, и тогда необходимо прогнозирование ценовой динамики путем экстраполяции [23]. Рядом динамики цен называют статистические данные, отображающие изменение
цен на какой-либо объект в пределах определенного интервала времени. Ряды динамики цен могут быть построены как по абсолютным значениям цен (что возможно при наблюдении за ценами какого-либо определенного объекта и его близких аналогов), так и по ценовым базисным индексам. В последнем случае в ряд динамики включают данные об индексах некоторой группы однородных объектов, увеличив тем самым объем статистического материала. Данные о ценах в рядах динамики приводятся обычно с постоянной периодичностью с шагом, равным месяцу, кварталу или году. Чем сильнее динамизм цен, тем меньше должен быть шаг. Реальные ряды динамики цен, если их изобразить графически, обнаруживают хаотичные скачки, вызванные влиянием случайных факторов. В ходе статистического анализа осуществляют процедуру выравнивания или сглаживания, выявляя тем самым общую тенденцию, или ценовой тренд. Чтобы получить качественное представление о характере изменения цен во времени рассчитывают пошаговые (цепные) показатели абсолютного прироста (удешевления) и темпа роста (снижения). Пошаговый (цепной) абсолютный прирост (при отрицательных значениях – абсолютное удешевление) есть разность между ценой pt на t-й момент времени и предшествующей ценой pt-1:
Δpt= pt - pt-1 . Пошаговый (цепной) темп роста (при значениях меньше 1 – темп снижения) равен отношению указанных выше цен: ht = pt . p t −1
http://www.natahaus.ru/
Если анализируют ряд динамики по индексам цен, то показатели абсолютного прироста и темпа роста рассчитывают аналогичным образом по значениям базисных индексов цен. При этом темп роста совпадает с цепным индексом цен. Динамика цен на объект может качественно меняться: в какие-то годы цены могут снижаться, повышаться либо стабильно удерживаться на некотором уровне. Это происходит под влиянием множества факторов: в какие-то годы общей инфляции, морального устаревания продукции, макроэкономическими, социальными и политическими факторами. Если ряд динамики охватывает достаточно длительный интервал времени, например, несколько лет, то графическим методом интервал разбивают на несколько циклов, в пределах которых просматривается некоторый тип движения цен: снижение, повышение, стабилизация. В пределах рассматриваемого интервала или отдельных циклов рассчитывают средние значения цены, абсолютных приростов и темпов роста цен, а также выполняют аппроксимацию с помощью той или иной функции. В ряду динамики с равноудаленными друг от друга соседними ценами среднюю цену определяют по формуле: p= t =1 n
∑ pt n
,
где
n – количество значений (моментов регистрации) цен в ряду.
Средний пошаговый абсолютный прирост рассчитывают следующим образом:
Δp =
t =2
∑ Δpt n−1
n
.
Расчет можно выполнить также по крайним значениям цен в ряду:
Δp =
p n − p1 . n −1
Средний пошаговый темп роста определяют по формуле: h = n−1 h1 Ч h2 Ч ...Ч hn−1 .
но можно также рассчитать его по крайним значениям в ряду: h = n −1 pn . p1
Полученные значения абсолютных приростов и темпов роста дают основание судить о характере динамики цен в рассматриваемом интервале. При этом возможны три наибо-
206
лее характерных случая: равномерное возрастание или снижение; равноускоренное (равнозамедленное) изменение и примерное сохранение на неизменном уровне. Вывод о равномерном возрастании цен можно сделать тогда, когда пошаговые абсолютные приросты примерно постоянны. Методом аналитического выравнивания [23] находят параметры линейной функции, отражающую общую динамику цен: p t = a0 + a1 t ,
где a0 ,a1 - параметры уравнения тренда. Причем параметр a1 характеризует направление и темп динамики. Если a1 >0, то цены равномерно возрастают, а при a1 <0 происходит их равномерное снижение. Параметр a1 равняется среднему абсолютному приросту.
Вывод о равноускоренном (равнозамедленном) изменении цен можно сделать тогда, когда темпы роста (снижения) цен достаточно стабильны. Общая динамика цен аппроксимируется в этом случае показательной функцией: t p t = p0 a1 .
Параметр a1 равен среднему росту. Если a1 >1, то происходит возрастание, если a1 <1, то снижение цен в рассматриваемом интервале.
Наконец, малые значения абсолютных приростов и их примерно равновзвешенное отклонение от 0 в большую или меньшую сторону, а также незначительные отклонения темпов роста от 1 дают основание считать, что в рассматриваемом интервале цены стабильные. Для аппроксимации ценового тренда могут быть использованы и другие функции: параболы второго и третьего порядков, гипербола, степенная и полулогарифмическая функции. Однако использование линейной, показательной и степенной функций вполне достаточно для решения практических задач, тем более что и показательная и степенная функции легко линеаризуются, т.е. приводятся к линейной функции путем логарифмирования и замены переменных. Параметры линейной функции a0 и a1 определяют методом наименьших квадратов. Если по характеру графика трудно установить вид аппроксимирующей функции, то рассчитывают параметры для нескольких функций, а затем выбирают ту из них, у которой среднее квадратическое отклонение для выровненных значений минимально:
σ=
t =1
2 ∑( ptB − pt )
n
n −1
,
http://www.natahaus.ru/
где ptB, pt – выровненное, т.е. рассчитанное по выбранному уравнению, и фактическое значение цены соответственно. В качестве критерия согласия с оценкой используют максимум абсолютного значения коэффициента корреляции.
Пример [23]. Необходимо проанализировать динамику цен земельных участков за 1998 год, рассчитать параметры ряда динамики и спрогнозировать темпы динамики на последующее время. Результаты анализа требуются для приведения цен 1998 года к ценам 1999 года, когда проводится оценка. Рассматривая движение цен за год, можно прийти к следующим выводам. Вопервых, общая тенденция заключается в постепенном снижении цен. Во-вторых, абсолютные помесячные удешевления имеют существенную колеблемость, более устойчивы значения помесячных темпов снижения: ht = pt . p t −1
Следовательно, наиболее приемлемой аппроксимационной функцией может быть t степенная функция вида: pt = p0 a1 .
Действительно,
pt ( t −t +1 ) = a1 = a1 = h . p t −1
t Функция pt = p0 a1 после логарифмирования и замены переменных переводится к
виду, удобному для решения задачи методом наименьших квадратов: y = c + d Ч t , где y = log10 p ; c = log10 p0 ; d = log10 a1 .
Данные о динамике цен и расчет параметров приведены в Табл. 4.5. Шаг периодичности регистрации цен равен одному месяцу. Оценка коэффициентов уравнения:
с=
∑ y ∑t i=1 i i=1
n
n
2 i
−∑ t i y i ∑ t i i=1 i=1 2
n
n
n ⎛ n ⎞ 2 n∑ t i − ⎜ ∑ t i ⎟ i=1 ⎝ i=1 ⎠
=
41,02 Ч 650 − 264,2 Ч 78 = 3,5314, 12 Ч 650 − 782
208
d=
n∑ t i y i − ∑ t i ∑ y i i=1 i=1 i=1 n ⎛ n ⎞ 2 n∑ t i − ⎜ ∑ t i ⎟ i=1 ⎝ i=1 ⎠
n
n
n
2
=
12 Ч 264,2 − 78 Ч 41,02 = −0,0173. 12 Ч 650 − 782
Таблица 4.5 Месяц t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Цена, долл. p 3100 3100 3200 2900 2800 2800 2500 2500 2400 2200 2200 2100 в среднем 2650
Прирост Долл. 0 100 -300 -100 0 -300 0 -100 -200 0 -100 в среднем -90,9091 Δp
Темп роста, h1 1,00000 1,03226 0,90625 0,96552 1,00000 0,89286 1,00000 0,96000 0,91667 1,00000 0,95455 в среднем 0,96619
Отсюда следует, что p0 = 103,5314 = 3399,6 ; a1 = 10 −0,0173 = 0,961 . В целом, искомая зависимость pt = 3399,6 Ч 0,961t .
Коэффициент корреляции, рассчитанный по данным Табл. 4.5, равен 0,977, что свидетельствует о хорошей аппроксимации. На основе проведенного исследования при приведении цен 1998 года к ценам 1999 года рекомендуется пользоваться средним значением темпа снижения или помесячного индекса, равным 0,961.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ПРИ ОЦЕНКЕ» з дисципліни «Оцінка дохідної нерухомості»
