Обратимся к ошибкам (4.1), найденным по результатам равноточных измерений. Подчеркнем, что эти ошибки относятся к категории случайных ошибок (здесь и далее полагаем грубые и систематические ошибки отсутствующими). Построим диаграмму распределения ошибок (Рис.4.1). По оси абсцисс будем откладывать значения ошибок ΔX , причем вправо от точки 0 – положительных, влево – отрицательных. Ширина столбика в основании представляет собой некоторый интервал изменения ошибки ΔX . Высота столбика – количество ошибок из интервала. Нормированную высоту столбика часто называют частотой ω появления ошибок. График частоты ошибок называется гистограммой. Будем неограниченно увеличивать число измерений и в то же время уменьшать ширину интервала. При этом количество интервалов будет неограниченно возрастать, а ломаная линия на Рис. 4.1 будет стремиться к плавной кривой (см. Рис. 4.2) – функции рас-
пределения или плотности распределения ошибок (плотности вероятности). В теории ошибок доказывается, что функция распределения в случае равноточных измерений подчиняется так называемому нормальному закону, или, иначе, закону Гаусса: f ( ΔX ) = 1 ( ΔX )2 2σ 2
σ 2π
e
−
,
(4.7)
где σ2 есть параметр, называемый вариацией или дисперсией. 25 20 15 10 5 0 -0,018 -0,021 -0,009 0,000 0,006 0,009 0,018 -0,024 -0,015 -0,012 -0,006 -0,003 0,021 0,003 0,012 0,015
-5
Рис.4.1
0,024
http://www.natahaus.ru/
Дисперсия случайной величины x равна среднему значению квадрата отклонения этой величины от ее среднего значения x :
σ 2 = ( x − x )2 .
(4.8)
25
20
15
10
5
0
-0,024
-0,020
-0,016
-0,012
-0,008
-0,004
0,000
0,004
0,008
0,012
0,016
0,020
-5
Рис. 4.2 Величина σ, равная квадратному корню из дисперсии, называется средним квадра-
тическим отклонением (стандартным отклонением) или средней квадратической ошибкой (СКО). На графике величина σ определяется модулем абсцисс точек перегиба кривой Гаусса. СКО σ служит мерой «рассеяния» случайных ошибок. Чем больше σ, тем сильнее «размыта» кривая Гаусса и тем меньше ее максимум. Иначе говоря, СКО характеризует точность измерений. При более точных измерениях кривая Гаусса идет круче (Рис. 4.3), а ее дисперсия меньше, а максимум кривой оказывается выше, чем при менее точных измерениях. Площади, ограниченные различными кривыми Гаусса и осью абсцисс, должны быть одинаковыми, так как все они соответствуют одному и тому же относительному количеству ошибок, равному единице. Закон Гаусса может быть записан также в виде: f ( ΔX ) = 1 ( x − X )2
0,024
σ 2π
e
2σ 2
(4.9)
184
Согласно теории, средняя квадратичная ошибка σ является ошибкой отдельного из-
мерения (для данной совокупности n измерений) и определяется формулой
Рис. 4.3 Проведем две вертикальные линии через точки перегиба кривой Гаусса, как показано на Рис. 4.4. Свойство σ таково, что между этими двумя линиями умещается 68% всей площади, ограниченной кривой и осью абсцисс, что соответствует 68% ошибок всех измерений. Ошибки ΔX, величины которых удовлетворяют условию ΔX ≤ σ , встречаются в среднем в 68 случаях из 100. Иначе говоря, σ есть такая ошибка, что вероятность появления любой ошибки, не превосходящей по модулю σ, составляет 0,68. Таким образом, смысл СКО отдельного измерения состоит в том, что при выполнении n измерений (если только n достаточно велико) в каждом из них появление ошибки по модулю, не превышающей σ, имеет вероятность 0,68. 25
20
15
10
5
0
-0,024
-0,020
-0,016
-0,012
-0,008
-0,004
0,000
0,004
0,008
0,012
0,016
0,020
-5
-σ
σ
Рис. 4.4
0,024
http://www.natahaus.ru/
Ошибки, заключенные в интервале ± 2σ , составляют 95%, а в интервале ± 3σ - около 97,7. Формулы (4.7)-(4.10), строго говоря, справедливы для случая бесконечно большого числа измерений, т.е. когда n→ ∞ . В действительности, как уже указывалось выше, число измерений всегда конечно. Поэтому в действительности мы никогда не обладаем полным набором величин ΔX , необходимым для точного построения кривой Гаусса и нахождения точного значения СКО. В статистике полный набор статистических величин, дающих точное распределение плотности вероятности, называют генеральной совокупностью. Набор же статистических величин, полученных в результате конечного числа измерений, называют выборкой из генеральной совокупности. Выборочную СКО отдельного измерения для случая конечного числа измерений n принято обозначать Sn и называть эмпирической СКО или оценкой СКО отдельного измерения: Sn = i =1 2 ∑ ( xi − x ) n
(4.11)
n−1
.
Величина Sn дает лишь приблизительное значение СКО. Практически мы всегда определяем именно эту величину, а не истинное значение σ. Средняя квадратическая ошибка результата всех n измерений, характеризующая окончательный их результат (т.е. ошибка в значении среднего арифметического x ), как доказывается в теории ошибок, получается меньше ошибки отдельного измерения в n
раз. Эту ошибку будем обозначать через σ x – при большом количестве измерений, и через S x – при малом количестве измерений. Практически σ x и S x вычисляются по формулам, имеющим один и тот же вид:
σx =
σ n
=
i =1
2 ∑ ( xi − x )
n
n( n − 1 ) 2 ∑ ( xi − x ) n
.
(4.12)
Sx =
Sn n
=
i =1
n( n − 1 )
.
(4.13)
Они различаются лишь тем, что в формуле (4.12) n должно быть достаточно большим, в то время как в формуле (4.13) это число может быть малым.
186
Как видно из приведенных формул, СКО результата измерений зависит от числа измерений n и путем увеличения этого числа может быть сделана сколь угодно малой. В пределе, при n→ ∞, имеем σ x →0. Оценка СКО результата измерения имеет конечное значение. Из сказанного следует, что многократное повторение наблюдений необходимо: для нахождения среднего арифметического значения измеряемой величины x ; для уменьшения случайной средней квадратичной ошибки результата измерений σ x (точнее, S x ). Что касается ошибки отдельного измерения σ , то эта величина, как видно из (4.10), от n практически не зависит. Действительно, в выражении (4.10) под корнем, как числитель, так и знаменатель возрастают пропорционально n (при достаточно большом числе n единицей в знаменателе можно пренебречь), поэтому их отношение, а следовательно и
σ практически не зависят от n, а зависят лишь от точности применяемого метода измерений. Поэтому σ (так же, как Sn ) является ошибкой метода. Для характеристики метода измерений следует указывать именно эту ошибку. Зная σ (или Sn ), можно самому выбрать нужное количество измерений для того, чтобы получить желаемое (достаточно малое) значение оценки СКО результата измерений S x . Необходимо иметь в виду, что в действительности случайные ошибки складываются с систематическими, которые не зависят от числа измерений. Поэтому увеличение числа измерений может иметь смысл лишь до тех пор, пока случайная средняя СКО результата не станет меньшей или сравнимой с систематическими ошибками.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Распределение ошибок случайных измерений» з дисципліни «Оцінка дохідної нерухомості»
