Менеджерам, більшості економістів (промисловців, фінансис-тів) відомо, що чим глибшою є спеціалізація підприємства, тим чіткіший ритм виробництва, вища його рентабельність, але при цьому гіршою є адаптивність цієї економічної системи, її еласти-чність, маневреність відносно змін зовнішнього стосовно неї економічного середовища (коливання попиту, цін на сировину, кінцеву продукцію тощо). Необхідна також і певна різноманіт-ність (диверсифікація) інвестицій. У противному разі інвестор приречений або на низьку ефективність (норму прибутку), або на надто високий ступінь ризику. Власне тому досвідчений інвестор є власником не одного виду цінних паперів, а кількох. Сукуп-ність цінних паперів у певного інвестора складає їх портфель. Під портфелем цінних паперів розуміють розподіл коштів у певного інвестора між різними активами (акції, облігації тощо) в найбільш вигідній та безпечній пропорції. Такий розподіл інвес-тицій за різними «адресами» знижує ризик, забезпечує більшу стійкість доходів (прибутків) за будь-яких коливань дивідендів і ринкових цін на цінні папери. Економіко-математична модель задачі вибору оптимальної стру-ктури портфеля вперше була запропонована Г. Марковіцем. Інший відомий американський вчений-економіст Д. Тобін узагальнив цю задачу, показавши, що оптимальна структура портфеля цінних па-перів не залежить від схильності (несхильності) інвестора до ризику [330, 331, 349]. Ці вчені були відзначені Нобелівськими преміями з економіки, що свідчить про важливість проблеми оптимального портфеля для економічної науки й практики в цілому. Аналізу і методам розрахунку оптимального портфеля, най-більш вигідному плану розподілу та перерозподілу інвестицій присвячена велика кількість досліджень, зокрема [210, 314, 350]. Теорію «селекції портфеля цінних паперів» широко використо-вують банки для підготовки фінансових операцій. За допомогою те-орії портфеля на підприємствах менеджерами (управлінськими ко-мандами) створюється «портфель надійності» матеріальних запасів, визначається їх оптимальний обсяг, що забезпечує допустимий сту-пінь ризику. Вона дає можливість здійснити багатостадійне плану-вання, що забезпечує надійність й ефективність розподілу матеріа-льних запасів у системі виробництва (обсяг, терміни зберігання на складах і поставок безпосередньо в цехи) з урахуванням затрат на складування, постачання, транспортування тощо. Ця теорія дозволяє менеджерам, керівництву підприємств свідомо йти на певний (допустимий) ризик, прогнозувати кінцевий результат, знижувати собівартість продукції. На підставі економіко-математичних моделей і методів з використанням графіків і схем детально аналізують такі питання, як «портфель надійності» у системі забезпечення виробництва, співвідношення ризик і затрати, ефективні структури надійності. Те-орія портфеля ґрунтується на принципах менеджменту ризику. Узгодження максимізації норми прибутку та мінімізації ризи-ку не є простим, бо на досить ефективному ринку цінні папери з високою нормою прибутку характеризуються відповідно високим ступенем ризику. Розсудливий інвестор шукає такі можливості для розміщення капіталу, за яких зі збільшенням норми прибутку одночасно зменшувався б ступінь ризику. Розрізняють «наївну» та «розсудливу» диферсифікацію. Пер-ша спирається на якомога більшу різноманітність залучених до портфеля різних видів цінних паперів без глибокого дослідження ступеня кореляції (зв’язку) між ними. Така диверсифікація, як правило, рідко призводить до значної редукції ризику. «Розсуд-лива» диверсифікація спирається на відповідні математичні ме-тоди. Нехай маємо n різних видів цінних паперів, кожна пара яких пов’язана між собою певною кореляційною залежністю. Допус-тима множина портфелів, сформованих з цих цінних паперів, зо-бражена на рис. 7.1. Дуга NM характеризує множину ефективних портфелів (ефективну множину). Якщо, наприклад, для двох менеджерів (управлінських ко-манд, інвесторів) побудовані відповідні функції корисності, криві ліній байдужості яких (І та II) зображені на рис. 7.1, то вибір най-кращого портфеля з ефективної множини, що відповідає множині точок кривої MN, залежатиме від функцій корисності (схильності чи несхильності до ризику). Менеджер 1 обере портфель, позна-чений точкою N1, яка відповідає найбільшому значенню його ко-рисності на ефективній множині портфелів. Менеджер 2, більш схильний до ризику, обере портфель з ефективної множини, по-значений точкою N2.
Рис. 7.1. Вибір портфеля менеджерами, які мають різні функції корисності Подамо класичну постановку задачі. Нехай Ri — випадкова величина норми прибутку від i-го цін-ного папера (виражена у відсотках), і = 1, …, n, де n — кількість видів цінних паперів, що розглядаються. Тоді випадкова величина норми прибутку портфеля, сформо-ваного з n видів цінних паперів, дорівнює: , (7.1) де хі — частка (питома вага) інвестицій у i-й цінний папір, залу-чений до портфеля. Сума всіх часток дорівнює одиниці: . (7.2) Сподіване значення (математичне сподівання) випадкової ве-личини норми прибутку портфеля є середньозваженою очікува-ної норми прибутку від окремих цінних паперів: (7.3) де — сподіване значення (математичне сподівання) випадкової величини норми прибутку і-го цінного папера. Ступінь ризику портфеля оцінюється середньоквадратичним відхиленням (σП), яке обчислюється на підставі варіації (диспер-сії) його норми прибутку: , (7.4) де — дисперсія (варіація) норми прибутку і-го цінного па-пера: (7.5) — коваріація між нормами прибутку і-го та j-го цінних паперів: (7.6) або , (7.7) де ρij — коефіцієнт кореляції між нормами прибутку і-го та j-го цінних паперів. Нехай RF — норма прибутку майже безризикових (держав- них) цінних паперів з фіксованим відсотком. Для цих паперів . Інвестуючи капітал у цінні папери, обтяжені ри-зиком, прагнуть отримати найкраще співвідношення між додат-ковим прибутком (премією за ризик) і зростаючим ступенем ри-зику. У площині mП — σП (рис. 7.2) обирають на осі ординат точку, яка характеризує цінний папір з фіксованим прибутком RF.
Рис. 7.2. Геометрична інтерпретація оптимального портфеля Зрозуміло, що найкраще співвідношення між приростом нор-ми прибутку і зростанням ризику забезпечує портфель цінних паперів, позначений на рис. 7.2 точкою Е, через яку проходить дотична до лінії ефективних портфелів MN, яка бере початок у точці RF. Точку Е, що характеризує оптимальну структуру портфеля, знаходять, максимізуючи функцію (див. [80, 168, 210]): (7.8) за умови (7.2). Введемо до цільової функції (7.8) обмеження (7.2). Для цього запишемо RF як . (7.9) Зробивши підстановку, одержимо: . (7.10) Отже, для знаходження оптимальної структури портфеля не-обхідно визначити коефіцієнти які максимізують функцію (7.10). Цього можна досягти, прирівнявши до нуля перші частин-ні похідні функції j за шуканими параметрами . Матимемо систему рівнянь:
(7.11) Помноживши ліву та праву частини (7.11) на
одержимо: (7.12) Позначимо вираз у квадратних дужках через l і перепишемо (7.12) у вигляді: (7.13) Ця система складається з n неоднорідних рівнянь з (n + 1) не-відомими:
Введемо нові змінні (7.14) Підставивши їх у (7.13), одержимо систему n лінійних неод-норідних рівнянь відносно невідомих Розв’язавши її, визна-чимо а знаючи їх, обчислимо (7.15) використовуючи (7.2). Величини визначають оптимальну структуру портфеля при заданому наборі цінних паперів. Але може так статися, що в результаті розв’язку системи (7.13) частина коефіцієнтів набере від’ємні значення. Якщо коефіцієнти хі підкорити умовам невід’ємності, тобто: (7.16) то задачу знаходження максимуму (7.10) за умов (7.2) можна розв’язати одним з методів квадратичного програмування. Це пов’язано з тим, що цільова функція (7.10), яку необхідно макси-мізувати, нелінійна. Рішення легко знаходиться за наявності від-повідного програмно-технічного комплексу. Якщо ж умови (7.16) не накладено, то від’ємне значення будь-якого з означає, що відповідні цінні папери необхідно продати на термін без покриття, тобто продати за їх відсутності у продавця на час продажу [321]. У загальному вигляді задача оптимального інвестування в цінні папери допускає як позичку, так і надання кредитів. Позичка збільшує ресурси для інвестування, а надання кредиту рівнозначно (в певному розумінні) інвестуванню за фіксованим відсотком. Для спрощення задачі вважають, що отримання позички та надання кре-диту здійснюються за тим же фіксованим відсотком RF. Припусти-мо, що інвестор вирішив вкласти частину своїх коштів у певний портфель Е і, окрім цього, надати кредит чи взяти в борг за фіксованим відсотком RF. Дослідимо ці ситуації. Нехай х — частка від власного капіталу разом з позичкою, котру інвестор розмістив у вигляді портфеля Е. Величина х може бути більшою за одиницю, бо не важко допустити, що інвестор зможе скористатися позичкою та інвестувати більше, ніж величина його власного початкового капіталу. Сподівана норма прибутку від комбінації з позичково-кредитною операцією може бути визначена так: . (7.17) Ризик такої комбінації характеризується величиною: , (7.18) де і, отже, , тобто . (7.19) Розв’язуючи рівняння (7.19) відносно х одержимо: . (7.20) Підставляючи (7.20) у (7.17) маємо: . Після перетворення дістанемо: . (7.21) Рівняння (7.21) є рівнянням прямої у двовимірному просторі . Ця пряма називається лінією ринку капіталів і харак-теризує множину портфелів, які містять як безризикові цінні па-пери, так і обтяжені ризиком. Необхідно зауважити, що при (тобто коли відсутня позичково-кредитна операція) маємо: На рис. 7.3 точка Е лежить на лінії MN (множині ефективних портфелів). Ця точка також належить до прямої , що є доти-чною до множини ефективних портфелів (кривої MN). Точку Е з координатами називають ринковим портфелем. Усі ком-бінації ринкового портфеля Е із позичково-кредитними опе-раціями за фіксованим відсотком лежать вздовж прямої у просторі ризик — норма прибутку.
Рис. 7.3. Комбінація оптимального ринкового портфеля Е з кредитно-позичковими операціями На рис. 7.3 пряма являє собою множину оптимальних (ефективних) розв’язків, що характеризуються пропорційним (сталим) відношенням приросту норми прибутку до зростання ступеня ризику.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «КЛАСИЧНА ТЕОРІЯ ПОРТФЕЛЯ» з дисципліни «Ризикологія в економіці та підприємстві»
