КІЛЬКІСНІ ПОКАЗНИКИ СТУПЕНЯ РИЗИКУ В АБСОЛЮТНОМУ ВИРАЖЕННІ
В абсолютному вираженні ризик може визначатися сподіва-ною величиною можливих збитків, якщо збитки піддаються та-кому виміру. Як міру ризику в абсолютному вираженні викорис-товують також оцінки мінливості результату. На практиці часто обмежуються спрощеними підходами: оцінюючи ризик, спира-ються на один чи кілька головних показників (критеріїв), параме-трів, які являють собою найважливіші узагальнені характеристи-ки у даній конкретній ситуації. Якщо такою узагальненою характеристикою виступає величина небажаних наслідків (збит-ки, непередбачувані платежі тощо), то в абсолютному вираженні міра (ступінь) ризику невдачі (очікуваної невдачі в процесі дося-гнення мети) може визначатися як добуток імовірності невдачі (небажаних наслідків) та величини цих небажаних наслідків, які мають місце в даному випадку, тобто: , де W — величина ризику; рн — імовірність небажаних наслідків; хн — величина (обсяг) цих наслідків. У ряді випадків, зокрема страхуванні, величину (ступінь) ри-зику W визначають як імовірність настання небажаних наслідків. У такому разі:
Імовірність рн з достатнім ступенем точності обчислюється, зокрема, на підставі статистичних даних. Розрізняти теоретичні значення параметрів (числових харак-теристик) випадкових величин та їхні статистичні оцінки у пода-льших викладках будемо лише в окремих випадках, застерігаю- чи це. Як міра ризику використовується функціонал збуреної ймові-рності [200]: , де F(x) — функція розподілу ймовірності випадкової величини, а — збурююча функція ймовірності, . Безсумнівний інтерес становить така оцінка ризику невдачі, яка ґрунтується на всьому спектрі можливих результатів (збитків, платежів тощо). Якщо відомі всі можливі наслідки окремого рі-шення та ймовірності їх настання, то для оцінки міри (ступеня) ризику використовується величина очікуваної невдачі (сподіване значення, математичне сподівання), тобто середньозважена вели-чина цих можливих результатів. У випадку, коли можливі наслідки описуються дискретною випадковою величиною , а розподіл імовірностей їх настання , величина ризику очікуваної невдачі:
Якщо ж несприятливі наслідки описуються неперервною ви-падковою величиною , то , де f (x) — щільність розподілу ймовірності випадкової величини Х. У більшості випадків показники ефекту та ефективності (при-вабливості, збитковості) як випадкові величини мають асиметри-чні закони розподілу. Це зумовлено низкою причин: насамперед тим, що ці економічні показники залежать від багатьох чинників, частина з яких на момент дослідження є латентними. Крім того, мають місце приховані тенденції, нелінійність і багатоваріант-ність розвитку економічних процесів, асиметрія інформації на ринках, асиметричне ставлення більшості суб’єктів до сприятли-вих і несприятливих подій у майбутньому (стосовно експертних оцінок). Значний вплив має науково-технічний прогрес. У разі, коли адекватною моделлю міри невдачі є випадкова величина X з несиметричним розподілом імовірності, за величину ризику доцільно використовувати модальне значення (Мо (Х)) цієї випадкової величини, тобто . У низці проблем, пов’язаних з економічним аналізом і прийняттям рішень в умовах невизначеності, конфліктності, використо-вуються середньогеометричні величини відповідних економічних показників. Про це йдеться ще у відомій праці О. Ланге, присвя-ченій проблемам економічної кібернетики [166]. Середньогеоме-тричне доцільно використовувати у маркетингових дослідженнях для кількісної оцінки рейтингу якості товарів і послуг, рейтингу підприємства (фірми) тощо. При врахуванні низки припущень і гіпотез середньогеометричне використовується у теорії раціона-льних сподівань, теорії пріоритетності ліквідності для оцінки до-хідності (ставки відсотка) довгострокових фінансових інструмен-тів [33, 183, 312]. У цілому ж загальна теорія часової структури ставки відсотка, як зазначається в [133], перебуває в стані стано-влення і подальших досліджень. У працях з теорії ймовірностей та математичної статистики (див. [156]) середньогеометричне розглядається як характеристи-ка центра групування випадкової величини Х, що обчислюється за формулою: (3.1) де М(·) — математичне сподівання випадкової величини. Очевидно, що можливості використання оцінки (3.1) обмежені тим, що логарифмічна функція визначена лише для додатнього аргументу (тобто для Х > 0). Походження терміна «середньогео-метричне» легко пояснюється на прикладі дискретної випадкової величини X = {x1; x2; ...; xn} з розподілом P = {p1; p2; ...; pn}, де pj = P(X = xj) = 1/n, j = 1,2,...,n. Тоді
Власне середньогеометричним прийнято називати оцінку [179]
а тому у ситуації, коли pj № 1/n, j = 1,2,...,n, вживання терміна «середньогеометричне» стає не зовсім коректним. У зв’язку з цим надалі в більш загальних ситуаціях оцінку (3.1) називатиме-мо зваженим середньогеометричним випадкової величини Х. Як характеристику деяких економічних показників має сенс розгля-дати саме зважене середньогеометричне. Подальшим узагальненням використання зваженої середньогео-метричної в практичній діяльності може слугувати оцінка [42]: (3.2) де а = inf(X); e і 0 — довільна константа, введення якої дозволяє використовувати ПЕОМ у розрахунках, і реалізації х випадкової величини Х, які близькі до а (при х ® а ln(x – а) ® Ґ). Використання формули (3.2) в дещо спрощеному вигляді мо-жна зустріти в багатьох джерелах. Встановимо деякі властивості оцінки G(X), що обчислюється згідно з (3.2). Оскільки всі реалізації випадкової величини Х за-довольняють умові хj і а, то
Якщо покласти b = sup(X), всі реалізації випадкової величини Х задовольнятимуть умові xj Ј b і тоді
Отже, величина G(X,e) О [а, b]. Зауважимо також, що на ре-зультат прийняття рішення значення параметра e (e і 0) не впли-ває, тобто його значення можна вибирати довільним залежно від ситуації, але однаковим для всіх альтернативних рішень, що по-рівнюються. Зробимо такі перетворення:
Тут R4(X) — залишок степеневого ряду, який прямує до нуля при У ході здійснення цих перетворень було врахова-но, що випадкова величина Z = (X – m)/s(X) є нормованою, тобто M(Z) = 0, D(Z) = 1, а також введені позначення: As(X) — коефіцієнт асиметрії випадкової величини Х; Ex(X) — коефіцієнт ексцесу;
Крім того, наведені перетворення включили розклад функції ln(1 + t) в ряд Маклорена, який є збіжним лише для | t | < 1. У нашому випадку t = (X – m)/(m – a + e). Але через довіль-ність вибору параметра e умову | t | < 1 легко задовольнити, по-клавши, наприклад, e = kb – m, k = 1, 2, ... Ураховуючи результат здійснених перетворень, приходимо до співвідношення:
Оскільки при e ® Ґ
то при e ® Ґ
Слід зауважити також, що у випадку, коли Х > 0, при ε = a отримуємо:
тобто зважене середньогеометричне, що отримується згідно із запропонованою методикою, збігається з середньогеометричним, запропонованим у [270]. Виявляється, що портфель цінних паперів, сформований на під-ставі максимізації зваженої середньогеометричної норми прибутку, характеризується найвищою очікуваною вартістю в кінці середньо- та довготермінового періоду (найвищим кінцевим багатством). Як величина ризику в абсолютному вираженні часто викорис-товується міра розсіювання значень економічного показника від-носно центра групування цих значень. Нехай за центр групування значень економічного показника використовується його матема-тичне сподівання. Тоді середньозважене модуля відхилення цьо-го показника від свого математичного сподівання у дискретному випадку можна знайти за формулою: . Якщо ж за центр групування значень економічного показника використати моду, то середньозважене модуля відхилення від модального значення у дискретному випадку знаходять за фор-мулою: . Можна розглянути як центр групування значень економічного показника медіану, тоді середньозважене модуля відхилення від медіанного значення (Ме) у дискретному випадку обчислюють за формулою: . У ситуації, коли адекватною моделлю економічного показника є неперервна випадкова величина, , , , де f (x) — функція щільності розподілу ймовірності випадкової величини Х. Очевидно, що більші значення наведених оцінок свідчать про вищу нестабільність щодо діяльності відповідного економічного об’єкта. Як величина ризику і використовується ця міра нестабі-льності, тобто:
або , або ж . Слід мати на увазі, що даний підхід до оцінки ризику застосо-вується у разі, коли економічний показник може мати як позити-вний, так і негативний інгредієнт. При абсолютному вираженні міри економічного ризику (див. [18, 25, 92, 140, 204, 213, 227, 275, 291]) під час прийняття рішень широко використовується дисперсійний підхід. Дисперсією (варіацією) V(X) випадкової величини X є зважена щодо ймовірності величина квадратів відхилення значень випад-кової величини X від її математичного сподівання M(X). Диспер-сія характеризує міру розсіяння випадкової величини X навколо M(X) і обчислюється за формулою: V(X) = M [(X – M(X))2]. Формула для розрахунку середньоквадратичного відхилення випадкової величини X: , де М(Х) — математичне сподівання випадкової величини X, V(Х) — її варіація (дисперсія), s (Х) ѕ середньоквадратичне від-хилення. Якщо ж за центр групування значень економічного показника використати модальне значення випадкової величини, то в абсо-лютному вираженні міри економічного ризику можна використа-ти модальну варіацію та середньоквадратичне відхилення від мо-дального значення: , , де Мо(Х) — модальне значення випадкової величини X; — її модальна варіація; ѕ середньоквадратичне відхилення від модального значення. Аналогічно, якщо розглянути як центр групування значень економічного показника медіану, тоді в абсолютному вираженні міри економічного ризику можна використати медіанну варіацію та середньоквадратичне відхилення від медіани: ,
де Ме(Х) — медіана випадкової величини X; — її медіан-на варіація; ѕ середньоквадратичне відхилення від ме- діани. Підхід, що спирається на варіацію чи середньоквадратичне відхилення, вважається класичним. У варіації та середньоквадра-тичному відхиленні ризик визначається через відхилення значень випадкової величини від її сподіваного значення (математичного сподівання). При цьому, чим більшим буде це відхилення, тим більшим виявиться ступінь (міра) ризику, пов’язаного з певною стратегією. Необхідно зауважити, що при такому визначенні міри ризику однаково трактуються як додатні (сприятливі), так і від’ємні (не-сприятливі) відхилення від сподіваної величини. Тобто викорис-товується гіпотеза, що коливання випадкової величини X (прибу-тку, норми доходу, ЧПВ, збитків) в обидві сторони однаково небажані. У ряді випадків, наприклад, при асиметричних законах розподілу ймовірностей, це не так і дану гіпотезу доводиться від-хиляти. Якщо випадкова величина X відображає прибутки і має міс-це від’ємне відхилення, то зрозуміло, що відповідна оцінка прибутку як реалізація випадкової величини є нижчою, ніж сподівана величина. Це означає, взагалі кажучи, несприятливу ситуацію. Водночас додатне відхилення вказує на те, що реалі-зація випадкової величини (прибутку) є вищою, ніж сподівана величина. Для менеджера (інвестора) це, очевидно, сприятлива ситуація. Ризик насамперед пов’язаний з несприятливими для підпри-ємця (менеджера, інвестора) ефектами, і для його оцінювання можна брати до уваги лише від’ємні відхилення від сподіваної величини (наприклад, при інвестуванні в цінні папери). При цьо-му оцінкою ризику може бути семіваріація, яка й обирається, зо-крема в [51, 92, 323], за міру ризику. Цю оцінку для дискретної випадкової величини Х можна подати формулою: , де n — кількість значень випадкової величини X; aj — індикатор несприятливих відхилень значень випадкової величини від її сподіваного значення, тобто:
xj — значення випадкової величини, j = 1, ..., n; pj — відповідні ймовірності; m = М(Х) — математичне сподівання випадкової ве-личини X. Для неперервної величини Х у разі, якщо випадкова величина має позитивний інгредієнт: , де f (x) — щільність розподілу ймовірності випадкової величини Х; у разі, якщо випадкова величина має негативний інгредієнт: , де f (x) — щільність розподілу ймовірності випадкової величини Х. З практичного погляду зручніше (беручи до уваги вимірність величин) застосувати так зване семіквадратичне відхилення, яке можна подати за формулою:
Отже, чим більшою буде величина SV(X) (чи SSV(X)), тим ви-щим буде ступінь ризику. Якщо ж за центр групування значень економічного показника використати модальне значення випадкової величини, то в абсо-лютному вираженні міри економічного ризику можна використа-ти модальну семіваріацію та семіквадратичне відхилення від мо-дального значення. Для дискретної випадкової величини Х модальну семіваріацію можна подати формулою:
де n — кількість значень випадкової величини X; αj — індикатор несприятливих відхилень значень випадкової величини від її мо-дального значення, тобто:
хj — значення випадкової величини, j = 1, ..., n; pj — відповідні ймовірності; Mo(X) — модальне значення випадкової величи- ни X. Для неперервної величини Х у разі, якщо випадкова величина має позитивний інгредієнт: , де f (x) — щільність розподілу ймовірності випадкової величи- ни Х; у разі, якщо випадкова величина має негативний інгредієнт; , де f (x) — щільність розподілу ймовірності випадкової величини Х. Семіквадратичне відхилення від модального значення можна подати за формулою:
Аналогічно якщо розглянути за центр групування значень економічного показника медіану, то в абсолютному вираженні міри економічного ризику можна використати медіанну семіварі-ацію та семіквадратичне відхилення від медіани. Для дискретної випадкової величини Х медіанну семіваріацію можна подати формулою:
де n — кількість значень випадкової величини X; αj — індикатор несприятливих відхилень значень випадкової величини від її ме-діанного значення, тобто:
xj — значення випадкової величини, j = 1, ..., n; pj — відповідні ймовірності; Me(X) — медіанне значення випадкової величи- ни X. Для неперервної величини Х у разі, якщо випадкова величина має позитивний інгредієнт: , де f (x) — щільність розподілу ймовірності випадкової величини Х; у разі, якщо випадкова величина має негативний інгредієнт: , де f (x) — щільність розподілу ймовірності випадкової величини Х. Семіквадратичне відхилення від медіанного значення можна подати за формулою: . Для оцінки ризику також застосовуються варіація та серед-ньоквадратичне відхилення від зваженого середньогеометрич-ного:
де VG(X) — варіація від зваженого середньогеометричного; σG(X) — середньоквадратичне відхилення від зваженого серед-ньогеометричного; xі, pі — значення та відповідні ймовірності дискретної випадкової величини. З погляду неокласичного підходу до оцінки ризику доцільним є впровадження такого показника ступеня ризику, як семіквадра-тичне відхилення від зваженого середньогеометричного випадко-вої величини:
де SG(X) — величина семіваріації стосовно зваженого середньо-геометричного; SSG(X) — семіквадратичне відхилення стосовно зваженого середньогеометричного; αі — індикатор несприятли-вого відхилення від зваженого середньогеометричного. Оскільки величини , , , , VG(X), σG(X), SG(X), SSG(X) мають негативний інгредієнт, то, як і раніше, ризик вважається вищим при більших значеннях цих по-казників.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «КІЛЬКІСНІ ПОКАЗНИКИ СТУПЕНЯ РИЗИКУ В АБСОЛЮТНОМУ ВИРАЖЕННІ» з дисципліни «Ризикологія в економіці та підприємстві»
