Таблицы смертности. Для осуществления актуарных расчетов, в том числе расчетов стоимостей страховых аннуитетов, необходимы исходные данные, характеризующие совокупность застрахованных по полу и возрасту, а также система нормативных демографических показателей, отражающих статистические за- ззз
кономерности дожития до того или иного возраста. Последние содержатся в таблицах смертности (mortality tables). Таблица смертности представляет собой числовую модель процесса вымирания по возрастам некоторой абстрактной совокупности людей. Такая таблица показывает, как последовательно с увеличением возраста уменьшается эта совокупность, достигая нуля сразу после предельного возраста со. Она является обобщением данных демографической статистики за некоторый период времени. В России таблицы смертности разрабатываются статистическими органами для страны в целом, а также для крупных экономических районов и областей, как для всего, так и отдельно для городского и сельского населения раздельно для каждого пола1. Прежде чем приступить к описанию таблицы смертности и актуарных методов анализа необходимо сказать несколько слов о применяемых в актуарных расчетах обозначениях. Актуарная символика в личном страховании сложна, своеобразна и с этим приходится мириться, так как обозначения унифицированы на международном уровне. Одна из отличительных особенностей этой символики — множество нижних и верхних индексов, которые приписываются как справа, так и слева от основной переменной. Например, л , je^i и т.д. Основной показатель таблицы смертности — число людей 1Х в возрасте ровно х лет, оставшихся в живых из первоначальной совокупности /0, обычно равной 100 тыс. человек. Заметим, что и начальный возраст и первоначальное количество людей в таблице могут быть любыми — выбор того или иного начального возраста не влияет на результаты актуарных расчетов. Для актуарных расчетов применяют полные таблицы смертности, в которых возраст показан с интервалом в 1 год. Величины 1Х (кроме /0) определяются расчетным путем на основе заданных вероятностей смерти (qx), или, что реже, количества умерших (dx). В современных таблицах смертности исходным показателем обычно служит вероятность смерти, т.е доля умерших в возрасте от х до JC -I- 1 лет из числа доживших до возраста х лет. Указанные вероятности получают на основе данных статистики населения с последующим их усреднением и сглаживанием. 1 Подробные методики разработки таблиц смертности, включая приемы выравнивания данных, рассматриваются в курсах демографии. Некоторые первоначальные сведения по данной проблеме можно получить в "Статистическом словаре". М.: Финансы и статистика, 1989. 334
Помимо показателей 1Х таблица смертности содержит число умерших за год в каждой возрастной группе (dx). Никакие иные факторы выбытия, кроме повозрастных вероятностей умереть, при разработке таблицы во внимание не принимаются. В качестве иллюстрации приведем фрагмент таблицы смертности для мужчин, в которой начальный возраст — 18 лет1. Таблица 16.1 Фрагмент таблицы смертности
лс '/ Ь *: 19 20 100 000 99 851 99 678 0,00149 0,00173 0,00196 149 173 195 30 96 991 0,00381 370 35 94 951 0,00487 462 40 92 327 0,00708 654 50 83 640 0,01409 1178 60 68 505 0,02871 1967 70 45 654 0,05691 2598 80 19 760 0,11672 2306 * Округлено до целых чисел. Показанные в таблице величины 1Х и dx сами по себе не имеют смысла. Они приобретают его лишь при сравнении в рамках таблицы смертности. Показатели таблицы смертности связаны очевидными соотношениями2: 1 Полная таблица содержится в Приложении (см. табл. 12). Показатели таб лицы получены на основе вероятностей qx из таблицы смертности населения СССР за 1984—1985 гг. (журнал "Вестник статистики''. 1987, JSfe 3). 2 В таблицах, непосредственно применяемых в страховых расчетах, значе ния 1Х и dx для повышения точности расчетов, особенно в старших возрастах, не округляют до целых чисел. 335
'х+1 'х "х> "х 'х х Чх\ Чх = 1 - Рх = 1 -
Таблица смертности, фрагмент которой приведен выше, является минимальной по набору показателей. Она достаточна для простых видов личного страхования — страхования на дожитие и страхования жизни. На практике применяют и более полные таблицы. В частности, в групповом пенсионном и медицинском страховании применяют таблицы выбытия (decrement tables), в которых помимо смертности учитываются и другие причины сокращения числа участников страхования. Страховые вероятности. На основе данных таблицы смертности нетрудно получить систему вероятностей дожития, необходимую для расчета соответствующих страховых показателей. Рассмотрим наиболее важные из таких вероятностей. Вероятность прожить от возраста х до х + п: пРх = ^Т- 06.1) Вероятность прожить еще один год после возраста х лет: dx (c+i 'х 1Х ' Рх = , ~ Чх = ! - "Т = ПРИМЕР 16.1. Вероятность мужчине в возрасте 30 лет прожить еще 10 лет составит1: /до 92 327 «ЛРОЛ = — - ***** = 0,95191. 1°Рз° /до 96 991 u'*01*'- По данным таблицы смертности находят и вероятности смерти в определенных возрастах. Например, вероятность умереть в возрасте от JC до х + п: 1 Во всех примерах данного параграфа используется таблица смертности населения СССР 1984—1985 гг. 336
Wx-l-^x-^y^-f Ydj. (16.2) ПРИМЕР 16.2. Вероятность для мужчины в возрасте 30 лет умереть в течение 10 следующих лет определяется как ю^зо = 1 " ю^зо = 1 " 0,95191 = 0,04809. Вероятность умереть через т лет (на протяжении года т + 1) для лица в возрасте х лет составит: ХТЩ JCT/Я ХТ/П i\C *>\ niflx = тРх х Ях+т = ~Г~ * 1 = ~~Т~' ( ' х х+т х В свою очередь вероятность для лица в возрасте х лет умереть в возрастном интервале от JC + /и до Jt + m + л лет определим следующим путем:
m\rflx х+т х+т+п - = х+т *х *х+т х+т+п х+т Из последнего выражения вытекает, что т\гпх тгх х fflx+n г*
(16.4)
Иначе говоря, искомая вероятность равна произведению вероятности дожить до возраста х + т и вероятности умереть в следующие п лет. ПРИМЕР 16.3. Найдем для мужчины в возрасте 30 лет вероятность умереть в течение двух лет после достижения им 33 лет. Находим п ^Ч^ 95 821-94 951 31^30-—j— geg^ -0,00897. В некоторых актуарных расчетах (например, в пенсионном страховании) необходимы вероятности дожития супружеских пар. Эти вероятности также рассчитываются по таблицам смертности. Пусть речь идет о супругах в возрасте х и у лет и необходимо оценить вероятности прожить еще п лет для каждо- 337
го из них. Обозначим эти вероятности как прх\ пр . Определим их следующим образом: _ х+п — У*П пРх ~~ i ' пРу ~~ [ > х у где lx, I — числа доживших до соответствующих возрастов (берутся из таблиц смертности для мужчин и женщин). В свою очередь вероятности умереть для каждого из супругов составят: rflx ~~ nPx9 rfly ~~ пРу Рассчитаем еще две вероятности. Однако предварительно примем две рабочие гипотезы: — оба супруга достигают возрастов хи^в один день; — смерть одного супруга — страховое событие, независимое от смерти другого супруга. Вероятность прожить супругам вместе еще п лет (вероятность "сохранения" супружеской пары) рассчитывается как произведение вероятностей двух независимых событий: (у+я *у+п *х+я Х 'у+п /t, <-ч пРху= ПРх*пРу = -у-*1= / х/ ' (1б-5) х у х у В актуарной практике фигурирующие в формуле произведения чисел доживших принято обозначать следующим образом: (к Х у ~~ *ху И (к+я х *у+п ~~ (яу+я* Формулу (16.5) теперь можно записать: ху+п „Pv = "f• 06.6) ху Найдем теперь вероятность того, что супруг (заключивший договор страхования в возрасте х лет, когда его супруге было у лет) не доживет до JC + п лет, а супруга, напротив, доживет до у + п лет. Искомая вероятность (обозначим ее как прх\у) равна произведению вероятностей: 338
пРЛу - пЯх* пРу- О ~ пРХ)пРу - пРу - пРх х пРу - У *У ПРИМЕР 16.4. Пусть возраст супругов 50 и 45 лет. По таблицам смертности находим: для мужчины /CQ = 83640, /« = 77007, для женщины 1^ = 96261, /^ = 94348. Вероятность того, что оба супруга проживут следующие 5 лет, составит: 77007 94348 5Р50;45 = 5%) * 5*>45 = ~£^ * "эЙбГ = °*92070 Х °*98013 = = 0,9024. Вероятность того, что супруг не проживет 5 лет, а супруга проживет (см.(16.7)): 505OI45 = И - 5Р50>5Р45 = О ~ 0.9207) х 0,98013 = 0,007772.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Таблицы смертности и страховые вероятности» з дисципліни «Фінансова математика»
