Как было показано выше, реальные прибыль или потери от опциона для обеих участвующих сторон зависят от цены исполнения, рыночной цены актива на момент исполнения опциона, премии. В условиях развитого рынка опционов цена исполнения устанавливается на бирже опционов. Обычно это величина, близкая к текущей рыночной цене актива. Если биржа опционов отсутствует, то единственный путь установления цены исполнения — непосредственная договоренность покупателя и продавца опциона. Рыночные цены актива, на которые ориентируются стороны в опционной сделке, не реальные, а ожидаемые величины. Можно полагать, что чем больше они отклоняются от цены исполнения, тем меньше их вероятность. Если принять в качестве одной из возможных рабочих гипотез нормальное распределение этих вероятностей, то зависимость "вероятность—прибыль" для опциона колл на фафике выглядит таким образом (см. рис. 15.6), что цена исполнения £ является центром распределения вероятностей. С увеличением рыночной цены прибыль увеличивается, одновременно уменьшается вероятность этого события. В разработанных математических моделях для определения цены опциона, одна из которых кратко охарактеризована ниже, вместо нормального распределения обычно используется логарифмически нормальное (логнормальное) распределение, а центр распределения относят к цене исполнения. Иначе говоря, предполагается, что распределение вероятностей для ожидаемых рыночных цен является асимметричным (вершина сдвинута влево). Таким образом, предусматривается, что вероятность получения прибыли выше, чем потерь. Наиболее интересным среди перечисленных факторов является премия (цена опциона). Выше отмечалось, что цена опци-
Цена акции Прибыль *
Вероятность реализации
325
она складывается на рынке. Предлагаемая продавцом цена должна быть конкурентоспособной и в то же время обеспечить ему некоторую прибыль. К проблеме формирования цены можно подойти аналитически. Прежде всего можно определить "естественные" границы этой цены. Так, в первом приближении для европейского опциона колл минимальная цена равна нулю, максимальная — цене акции, так как право на покупку вряд ли может превышать цену самой акции. Таким образом, О < с < 5, где с — цена опциона, S — текущая цена акции. В то же время цена опциона к моменту истечения срока равна разности ожидаемой рыночной цены и цены исполнения: c=S-E. (15.1) Верхние и нижние границы опциона колл показаны на рис. 15.7. Для того чтобы уточнить границы значений цены опциона, а также лучше представить себе свойства опциона и фигурирующих в нем показателей, сравним расходы на приобретение акции непосредственно на рынке (стратегия А) и при покупке опциона колл (стратегия Б). Пусть срок опциона и приобретения акции — один год, цена акции равна S, цена исполнения Е. Возможные стратегии покупателя и их финансовые последствия представлены в табл. 15.1. В графе "Расходы" этой таблицы показаны стоимостные показатели на день исполнения опциона, в графе "Инвестиции" — его расходы на день покупки опциона. Опцион при условии S < Ене реализуется, акции мо- Цвна опциона А
Нижняя граница цены Цена акции
326
гут быть куплены на рынке (стратегия А). Если S > Е, то следует применить стратегию Б. Премия для альтернативной ситуации определена в размере с = S — Е. Величина Ev означает современную стоимость цены исполнения на день покупки опциона, v — дисконтный множитель. Расходы на приобретение акции во всех ситуациях равны S. Таблица 15.1
Стратегия Расходы Инвестиции покупателя 5, <Е St>£ А. Покупка акции S — Sv Б. Опцион Премия Цена исполнения 0 Е S-E Е с Ev Итого для Б Е S (с + Ev) Теперь становится очевидным, что вместо (15.1) следует использовать с = S- PV(E) = S- Svy (15.2) где ЯК— оператор определения современной стоимости на момент выплаты премии, v — дисконтный множитель по рыночной процентной ставке. Аналогичным образом получим ограничение для цены опциона пут: с = PV(E) - S. Приведенные выше выражения позволяют получить значения премии для нескольких величин цены акции. Так, если ожидаемая цена акции минимальна, то премия опциона колл, естественно, нулевая. Для ситуации, когда S = Е, получим максимальную величину премии: с = Е - PV(E).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Цена опциона» з дисципліни «Фінансова математика»
