Регулярные постоянные платежи, сложные проценты (схема A)
В преобладающем числе случаев поток лизинговых платежей представляет собой постоянную ренту. Соответственно методы расчетов периодических лизинговых платежей базируются на теории постоянных финансовых рент. Для записи формул примем следующие обозначения: R — размер постоянного платежа; п — срок лизинга в месяцах, кварталах, годах (общее число платежей); как правило, в лизинговом контракте число платежей равно числу начислений процентов; i — процентная ставка за период (норма доходности); если указана годовая номинальная ставка у, то в формулах вместо / используется величина j/m, где т — количество начислений процентов в году; s — доля остаточной стоимости в первоначальной стоимости оборудования; an;i — коэффициент приведения постоянной ренты постну-мерандо. 295
Если платежи постоянны во времени и погашают всю стоимость имущества, то, развернув формулу (13.1), получим при выплатах постнумерандо K=RamP откуда Л = . (13.2) В некоторых схемах для упрощения расчетов размеров платежей во многих случаях можно применить коэффициенты рассрочки платежей, определяющие долю стоимости оборудования, погашаемую при каждой выплате. Коэффициент рассрочки для постоянных рент постнумерандо при условии, что применяются сложные проценты, равен '■-.-(/и-/)-»- <13J) В свою очередь коэффициент рассрочки для выплат прену-мерандо составит *2 = 0/%)v, (13.4) где v — дисконтный множитель по ставке /. Размеры лизинговых платежей определяются элементарно — путем умножения показателя стоимости имущества на коэффициент рассрочки: Л= Кха{{2). (13.5) Значения коэффициентов рассрочки при равных платежах для некоторых сроков лизинга (измеряемых в месяцах и годах) приведены в табл. 10—11 Приложения. Несколько усложним схему лизинговых платежей. Пусть теперь первый платеж будет в к раз больше остальных (удвоен или утроен), причем соответственно сокращается число остальных платежей. Тогда условие финансовой эквивалентности обязательств удовлетворяется следующими равенствами: для выплат постнумерандо К={к- l)*v+&*„_*+!;/ 296
и для платежей пренумерандо *=<*-1)Л+Л^1;/<1+0. На основе этих равенств легко найти необходимые значения лизинговых платежей, а именно: Л = Т—ГТ /, ■ ч- О3-7) *-1 + *„-*+!;/О +0 Теперь примем во внимание выплату аванса (обозначим его как А). Для лизинговых платежей постнумерандо и пренумерандо соответственно получим следующие уравнения эквивалентности: К=А + Rani9 K=A+ Ran;i(l + /). Для расчета R применим коэффициенты рассрочки. После чего R=(K-A)aH2). (13.8) Если лизинговый контракт предусматривает выкуп имущества по остаточной стоимости, доля которой в стоимости имущества равна 5, то уравнение эквивалентности при платежах постнумерандо имеет вид К= Ran;i+ Ksvn, откуда R « —* L - К{\ - svn)av (13.9) an;i Аналогично для платежей пренумерандо получим К(\ — svn) *=ТАГГО"«1-"•>'>■ <шо> Закончим обсуждение метода расчета суммы платежа вариантом, в котором одновременно учитывается авансовый платеж 297
и выкуп имущества. В этом случае для последовательностей платежей постнумерандо и пренумерандо имеем К(1 - sv") = А + Ranj, К(\ - sv") = А + Яая1(1 + /). Соответственно, получим „ [АГ(1 - sv") - А] R = -L-1 L, (13.11) „ [K(l - sv") - А] " s.o + 0 • (l3,2> ПРИМЕР 13.1. В §13.2 приведены различные варианты условий лизинга. Рассчитаем для них значения лизинговых платежей, используя приведенные выше формулы. Общие исходные данные: К = 1000, п = 36 месяцев, / = 2% в месяц, выплаты постнумерандо. Вариант 1. Находим по (13.3) коэффициент рассрочки (платежи в конце периодов) и затем размер ежемесячного платежа а1 ш 1 .У^-зб = 0,03923; Я = 1000 х 0,03923 = 39,23. Если платежи вносятся в начале каждого месяца, то согласно (13.4) а2 = 0,039233 х 1,02"1 = 0,038464 и R = 38,46. Вариант 2. Удвоенный взнос в первом месяце (к - 2). Для взносов в конце периодов получим по (13.6) 1000 Я = Qr1 +а = 38,49 и первый взнос 2Я = 76,98. Вариант 3. А = 100. На основе (13.8) находим Я = 900x0,03923 = 35,31. Вариант 4. В этом варианте $ = 0,2. Таким образом, Ks'= = 1000 х 0,2 = 200 и согласно (13.9) получим Я = 1000(1 - 0,2 х 1,02"36) х 0,03923 = 35,39. 298
Вариант 5. А = 100, s = 0,2. По формуле (13.11) находим R = [1000 х (1 - 0,2 х 1.02-36) - 100] х 0,03923 = 31,46. Перейдем ко второй задаче — делению суммы платежа по лизингу ® на сумму амортизации долга и выплату процентов. Сумма, идущая на погашение основного долга, находится как разность лизингового платежа и процентов на остаток задолженности. 1. Платежи постнумерандо dt= R- Z)M x/, /= 1,...,л, (13.13) где dt — сумма погашения основного долга в периоде /, Dt_x — остаток долга на конец периода / — 1, D0 = К. В первом периоде d{ = R- KL Остаток задолженности последовательно определяется как Dt=D,_x-dr (13.14) 2. Платежи пренумерандо 4 = Л, d2= R- Ki, dt= R--Z)Mi. (13.15) ПРИМЕР 13.2. К = 100, п - 5 лет, / = 10% годовых, платежи в конце периодов, полное погашение стоимости оборудования (s = = 0). По формуле (13.2) получим * = 10° * 1 .(Д101)-5 = 10° * °»2638 = 26»38- (Табличное значение коэффициента рассрочки равно 0,263797 (см. табл. 11 Приложения).) Если контракт предусматривает платежи в начале каждого года, то коэффициент рассрочки определим по (13.4): 299
я - iooi-(i°;1o,i)-s* TTTW - 1о°* °-23982 -2з-982- Проценты за первый год 100 х 0,1 = 10, сумма погашения долга 26,38 - 10 = 16,38. График погашения задолженности при выплатах постнумерандо приведен в табл. 13.1. Таблица 13.1
t Остаток долга % Погашение Лизинговые на конец периода долга платежи 1 100,000 10.000 16,380 26,38 2 83,620 8,362 18,018 26,38 3 65,602 6,560 19,820 26,38 4 45,782 4,578 21,802 26,38 5 23,980 2,398 23,980 26,38 Как видно из таблицы, суммы, предназначенные для погашения основного долга, увеличиваются, в то время как процентные платежи сокращаются. Если в условиях данного примера предусматривается остаточная стоимость в размере 10% от первоначальной стоимости оборудования {$ = 0,1), то размер лизингового платежа (выплаты постнумерандо) составит согласно (13.9) Я = 100(1 - 0,1 х 1,1-5) х 0,2638 = 24,742. График выплат представлен в табл. 13.2. Таблица 13.2
t Остаток долга % Погашение Лизинговые на конец периода долга платежи 1 100,000 10,000 14,742 24,742 2 85,258 8,526 16,215 24,742 3 69,043 6,904 17,837 24,742 4 51,205 5,121 19,621 24,742 5 31.584 3,158 21,584 24,742 Проверка: остаточная стоимость 3>,584 - 21,584 = 10,000. Размер платежа по лизингу зависит от ряда параметров, часть из которых определяется в ходе разработки лизингового контракта. Такие величины, как срок и процентная ставка, 300
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Регулярные постоянные платежи, сложные проценты (схема A)» з дисципліни «Фінансова математика»
