Объединение рент, очевидно, заключается в замене нескольких рент одной, параметры которой необходимо определить. В этом случае из принципа финансовой эквивалентности следует равенство современных стоимостей заменяющей и заменяемых (консолидированных) рент, что соответствует равенству Л = 2ЛЩ, (6.32) где А — современная стоимость заменяющей ренты, А — современная стоимость ?-й заменяемой ренты. Объединяемые ренты могут быть любыми: немедленными и отсроченными, годовыми и /ьсрочными и т.д. Что касается заменяющей ренты, то следует четко определить ее вид и все параметры, кроме одного. Далее, для получения строгого баланса условий, необходимо рассчитать размер неизвестного парамет- 140
pa исходя из равенства (6.32). Обычно в качестве неизвестного параметра принимается член ренты или ее срок. Так, если заменяющая рента постнумерандо является немедленной и задан ее срок я, то из (6.32) следует R = -т±. (6.33) я;/ В свою очередь, если задается сумма платежа (размер члена заменяющей ренты) и его периодичность, то отыскивается срок новой ренты. Обычно задача сводится к расчету п по заданному значению анЧ (см. § 5.4 и табл. 5.1). Необходимая для расчета величина коэффициента приведения определяется условиями задачи. Для немедленной ренты постнумерандо имеем:
-»;/ ; R а„., = : = -JL-r-. (6.34)
Если 2, Aq известно, то, определив на основе (6.34) величину ч п, получим
«|+* • <"5) Как видим, для того чтобы задача имела решение, необходимо соблюдать условие: < 1. R ПРИМЕР 6.11. Три ренты постнумерандо — немедленные, годовые — заменяются одной отложенной на три года рентой постнумерандо. Согласно договоренности заменяющая рента имеет срок 10 лет, включая отсрочку. Характеристики заменяемых рент: Rq = 100; 120; 300 тыс. руб., сроки этих рент: 6; 11 и 8 лет. Если в расчете принять ставку сложных процентов, равную 20%, то сумма современных стоимостей этих рент составит немного более 2002,9 тыс. руб. (см. табл. 6.1). Размер члена заменяющей ренты равен 141
3,60459 x 1,2"3 ff =
2002,946 а7;20^3
2002,946 зг = 960,189 тыс. руб.
Если бы заменяющая рента была немедленной, то 2002,946 Я = 1^^" = 555'665ТЫСРУ6- Таблица 6.1
Определение члена заменяющей ренты Рента (q) "я "я / вл,-Я» Яап,-20 1 100 6 20 3,32551 332,551 2 120 11 20 4,32706 519,472 3 300 8 20 3,83716 1151,148 Итого 520 2002,946 Продолжим пример. Пусть теперь заданным является не срок, а сумма годового платежа, скажем 1500 тыс., и необходимо найти срок заменяющей ренты. Ход решения: определяется современная стоимость немедленной ренты, затем рассчитывается ее срок. А = 2002,946 х 1.23 = 3461,091 тыс. руб. По формуле (6.35) получим
п =-
, ,4 3461,091 ЛМ -,n(1 ~l^o-°-2) In 1,2
= 3,395 года.
Округляем ответ до 3 или 4 лет и компенсируем нехватку покрытия долга или излишки (см. пояснения в § 5.4.) при определении срока ренты. Рассмотрим один частный случай. Пусть член заменяющей ренты равен сумме членов заменяемых рент: R = Z А?^. Все ренты годовые, постнумерандо. Если процентная ставка у всех рент одинаковая, то в силу (6.32) получим i-(u/)-" sif'-M""] /J . ш . L? 142
где п — срок заменяющей ренты. После преобразований находим 1пЛ-1пУ Л(l+ i)""f ПРИМЕР 6.12. Консолидируются ренты, предусматривающие годовые платежи в суммах 0,5; 1,5 и 3 тыс. руб.; сроки этих рент 10, 15 и 12 лет, процентная ставка у заменяющей ренты 5% годовых. Если выплаты определены в размере R = 5 тыс. руб., то
In 5 П~ In 1,05 In (0,5 х 1.05-10 + 1,5 х 1,05"15 + 3 х 1,05'12) In 1,05 = 12,64 года.
Рассмотренные варианты объединения рент, естественно, не охватывают все возможные случаи, с которыми можно столкнуться на практике. Да в этом и нет необходимости. Отправляясь от равенства современных стоимостей консолидируемых и заменяющей рент, легко вывести соответствующую формулу для решения конкретной задачи.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Объединение (консолидация) рент» з дисципліни «Фінансова математика»
