Как было показано ранее, для процедур наращения и дисконтирования могут применяться различные виды процентных ставок. Определим теперь те их значения, которые в конкретных условиях приводят к одинаковым финансовым результатам. Иначе говоря, замена одного вида ставки на другой при соблюдении принципа эквивалентности не изменяет финансовых отношений сторон в рамках одной операции. Для участвующих в сделке сторон в общем безразлично, какой вид ставки фигурирует в контракте. Такие ставки назовем эквивалент-ними. Проблема эквивалентности ставок уже затрагивалась в гл. 3 при определении эффективной ставки процента: сложная годовая ставка / эквивалентна ставке j при начислении процентов т раз в году. Рассмотрим теперь проблему эквивалентности ставок более полно и систематизированно. В принципе соотношение эквивалентности можно найти для любой пары различного вида ставок — простых и сложных, дискретных и непрерывных. Формулы эквивалентности ставок во всех случаях получим исходя из равенства взятых попарно множителей наращения. Приведем простой пример. Определим соотношение эквивалентности между простой и сложной ставками. Для этого приравняем друг к другу соответствующие множители наращения: (1 + nis) = (1 + /)", где /5 и / — ставки простых и сложных процентов. Приведенное равенство предполагает, что начальные и наращенные суммы при применении двух видов ставок идентичны (см. рис. 4.1). 68
Сумма А
Срок
Рис. 4.1 Решение приведенного выше равенства дает следующие соотношения эквивалентности:
_ (1 + 0я
1,
(4.6)
/ - \1 + л/ - 1-
(4.7)
Аналогичным образом определим и другие, приведенные ниже, соотношения эквивалентности ставок. Эквивалентность простых процентных ставок. При выводе искомых соотношений между ставкой процента и учетной ставкой следует иметь в виду, что при применении этих ставок используется временная база К= 360 или К= 365 дней. Если временные базы одинаковы, то из равенства соответствующих множителей наращения следует:
'* \-nd:
(4.8)
d' 1+w/
(4.9)
где п — срок в годах, /s — ставка простых процентов, ds — простая учетная ставка. ПРИМЕР 4.3. Вексель учтен за год до даты его погашения по учетной ставке 15%. Какова доходность учетной операции в виде процентной ставки? По (4.8) находим
0,15 's 1-0,15
= 0,17647, или 17,647%.
69
Иначе говоря, операция учета по учетной ставке 15% за год дает тот же доход, что и наращение по ставке 17,647%. Следует обратить внимание на то, что отношения эквивалентности между простыми ставками is и ds существенно зависят от срока операции. Например, для d = 10 % находим следующие размеры эквивалентных ставок: п (в годах) 0,1 0,5 1 2 5 10 /,(%) 10,1 10,5 11,1 12,5 20 оо Пусть срок ссуды измеряется в днях, тогда, подставив в (4.8) и (4.9) п = t/K (напомним, что / — срок наращения процентов в днях, К — временная база), получим варианты соотношений эквивалентности: а) временные базы одинаковы и равны 360 дням: 360 '--1бо^' (4|0> 360/ ". = 15П^ <4"> б) если при начислении процентов принята база К = 365, а для учетной ставки К = 360, то /- 3654 (4.2) ° 360 -td/ ^Л1) 360/ ПРИМЕР 4.4. Необходимо найти величину учетной ставки, эквивалентной годовой процентной ставке 40% (К = 365) при условии, что срок учета равен 255 дням. Находим по формуле (4.13) 360 х 0,4 ЛОЛЛО|Г ЛЛЛо«,п, d = 365 + 255 х 0,4 = °'30835' ИШ 3°'835%- 70
Эквивалентность простых и сложных ставок. Рассмотрим соотношения эквивалентности простых ставок is и ds, с одной стороны, и сложных ставок / и у, с другой. Сложную учетную ставку здесь не будем принимать во внимание. Попарно приравняв друг к другу соответствующие множители наращения, получим набор искомых соотношений. Эквивалентность is и /. Формулы были получены выше (см. (4.6) и (4.7)). (4.14) (4.15) (4.16) (4.17) (4.18) (4.19) Эквивалентность i uj:
4--а + j/m)mn- 1 п j -m H/l+ >»",-1). Эквивалентность ds и /: 4- 1 - (1 + 0я п / - "J\-nds-l. Эквивалентность ds и j: „,=± -(1 +j/m)mn п j.mrn^\-nds-l). ПРИМЕР 4.5. Какой сложной годовой ставкой можно заменить в контракте простую ставку 18% (К = 365), не изменяя финансовых последствий? Срок операции 580 дней. По формуле (4.7) находим эквивалентную сложную ставку: /•.580/збф + |§2018_1_017153/ или 17,153%. I ODD Эквивалентность сложных ставок. Остановимся только на соотношениях эквивалентности для ставок /, j и d. Имеем /=(1 +j/ т)т- 1, (4.20) 71
y-mCVuT-l). (4.21) Эквивалентность i и d: «"TT7- <4И> Приведем еще несколько полезных соотношений, которые нетрудно получить на основе приведенных выше формул с учетом того, что v = (1 + О""1: d = /v, (4.24) v = 1 - d, (4.25) 1 - d = Id. (4.26) Заметим, что в зависимостях (4.22)—(4.26) срок не играет никакой роли. ПРИМЕР 4.6. При разработке условий контракта стороны договорились о том, что доходность кредита должна составлять 24% годовых. Каков должен быть размер номинальной ставки при начислении процентов ежемесячно, поквартально?
Эквивалентность сложных дискретных и непрерывных ставок. Теоретически можно найти соотношение эквивалентности между силой роста и любой дискретной процентной ставкой. Однако в этом, вероятно, нет необходимости. Ограничимся несколькими такими соотношениями, необходимость в которых может возникнуть в практических расчетах. Эквивалентность 6 и i: см. формулы (3.27) и (3.28). Эквивалентность д uj: из равенства 1 + — = еь следует \ т) j= т(еЫт- 1), (4.27) 6 =/их 1п(1 + j/m). (4.28) 72
Эквивалентность б и d: из равенства (1 — d) ' = еь следует 6 = -lrt(l -</), (4.29) d = 1 - е~ь. (4.30) ПРИМЕР 4.7. Какая непрерывная ставка заменит поквартальное начисление процентов по номинальной ставке 20%? Находим 6 = 4 х 1п(1 + 0,2) = 0,19516, или 19,516% Формулы эквивалентности дискретных и непрерывных ставок позволяют расширить применение непрерывных процентов. Как уже говорилось выше, непрерывные проценты во многих сложных расчетах позволяют существенно упростить выкладки. Вместе с тем такие ставки непривычны для практика, поэтому используя формулы эквивалентности, нетрудно представить полученные результаты в виде общепринятых характеристик.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Эквивалентность процентных ставок» з дисципліни «Фінансова математика»
