Непрерывное наращение и дисконтирование. Непрерывные проценты
В практических финансово-кредитных операциях непрерывное наращение, т.е. наращение за бесконечно малые отрезки времени, применяется крайне редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например при обосновании и выборе инвестиционных решений, в финансовом проектировании. С помощью непрерывных процентов удается учесть сложные закономерности процесса наращения, например использовать изменяющиеся по определенному закону процентные ставки. При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки — силу роста (force of interest). Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени. Постоянная сила роста. Как было показано выше, при дискретном начислении процентов т раз в году по номинальной ставке j наращенная сумма находится как
5= Р
w1 т
Чем больше /и, тем меньше промежуток между моментами начисления процентов. В пределе при т -» » имеем 5= /Mim 1 +-Ч ВАЛ где е — основание натуральных логарифмов. Для того чтобы отличить непрерывную ставку от дискретной, обозначим силу роста как 6. Теперь можно записать S = РеЬп. (3.26) Итак, при непрерывном наращении процентов наращенная :умма равна конечной величине, зависящей от первоначальной :уммы, срока наращения и силы роста. Последняя представляет собой номинальную ставку сложных процентов при т -**> 61
Легко показать, что дискретные и непрерывные ставки наращения находятся в функциональной зависимости. Из равенства множителей наращения (1 + 0я = еЬп следует: 6 = 1п(1 + 0, (3.27) /=€*-!. (3.28) ПРИМЕР 3.16. Сумма, на которую начисляются непрерывные проценты, равна 2 млн руб., сила роста 10%, срок 5 лет. Наращенная сумма составит S = 2 000 000 х е0'1*5 = 3297744,25 руб. Непрерывное наращение по ставке = 10% равнозначно наращению за тот же срок дискретных сложных процентов по годовой ставке. Находим /zzeo1 - 1 =0,10517. В итоге получим S = 2 000 000(1 + 0.10517)5 = 3297744,25 руб. Дисконтный можитель на основе силы роста (математическое дисконтирование) находится элементарно, для этого решим (3.26) относительно Р: Р = Se-*n. (3.29) Дисконтный множитель, как видим, равен е"*". ПРИМЕР 3.17. Определим современную стоимость платежа из примера 3.11 при условии, что дисконтирование производится по силе роста 12% и по дискретной сложной учетной ставке такого же размера. Получим в тыс. руб.: Р = 5000е-°'12х5 = 2744, Р = 5000(1 -0,12)5 = 2639. Переменная сила роста. Пусть сила роста изменяется во времени, следуя некоторому закону, представленному в виде не- 62
прерывной функции времени: 6, = /(*). Тогда наращенная сумма и современная величина определяются как S - Ре9 ; /> « 5е • . Функция времени может быть самого различного вида. Рассмотрим только два ее варианта — линейную и экспоненциальную. Начнем с линейной функции: 6,-6 + at, где 6 — начальное значение силы роста, а — прирост силы роста в единицу времени. Нетрудно доказать, что
an Т J&tdt -|(б + д/)л - 8л + о о Таким образом, множитель наращения находится как
6Я 4 Я - е 2 . (3.30) ПРИМЕР 3.18. Пусть начальное значение силы роста равно 8%, процентная ставка непрерывно и линейно изменяется, прирост за год составляет 2% (а = 0,02). Срок наращения 5 лет. Для расчета множителя наращения (3.30) найдем его степень: 0,02 х 52 0,08 х 5 + -*— = 0,65. Искомый множитель составит q = е0,65 = 1,91554. Продолжим пример. Предположим, что сила роста линейно уменьшается (пусть а = -0,02). В этом случае степень множителя равна 0,15 и соответственно q = е015 = 1,16183. Рассмотрим ситуацию, когда сила роста изменяется экспоненциально (по геометрической прогрессии): &, = 6я<, где б — начальное значение силы роста, а — постоянный темп роста. 63
В этом случае степень множителя равна о lnfl' а сам множитель находится как1 Я-*]па[ ■ (3.31) ПРИМЕР 3.19. Начальный уровень силы роста 8%, процентная ставка непрерывно и экспоненциально увеличивается (годовой прирост 20%t a = 1,2), срок наращения 5 лет. Необходимо определить множитель наращения. Степень этого множителя за весь срок равна 0,8 -j^y(1f25 - 1) = 0,65305, соответственно q = в065305 = 1,92139. Срок ссуды и размер силы роста. Срок ссуды при постоянной силе роста найдем на основе (3.26): я=~г- При наращении с изменяющейся силой роста (с постоянным темпом роста а) на основе (3.31) получим
In п = —
lngx ln(5/ Р)
В свою очередь при наращении с постоянной силой роста \n(S/ P) 6 = п При наращении с изменяющейся с постоянным темпом силой роста lngx ln(5/ P) 6 ~ ап - 1 1 См. Математическое приложение к главе. 64
Математическое приложение к главе Доказательство формулы (3.31) fba'dt Определим степень множителя наращения q « e°
ГЬа'Ш «6 — i \na
о I Ina Inaj lna\
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Непрерывное наращение и дисконтирование. Непрерывные проценты» з дисципліни «Фінансова математика»
