Теоретико-множественные представле ния базируются на понятиях мноэ/сество, эле менты множества, отношения на множе ствах. Система может быть представлена сово- 0[SJ купностью множеств или подмножеств раз нородных компонентов. Понятие «множество» относится к числу Р„^» j интуитивно постигаемых понятий, которым 713 трудно дать определение. Это понятие содержательно эквивален тно понятиям «совокупность», «собрание», «ансамбль», «коллек ция», «семейство», «класс» и другим обобщающим понятиям. Один из основоположников теории множеств* Георг Кантор определял множество как «многое, мыслимое нами как единое». Множества могут задаваться следующими способами: 1) списком, перечислением (интенсиональным путем), например, Ц } , где/= !...«, (1) или где а.е А, е - знак вхождения элементов в множество; 2) путем указания некоторого характеристического свойства А (экстенсионально). Например, «множество натуральных чисел», «множество рабочих данного завода», «множество планет сол нечной системы», «множество А» и т.д В основе теоретико-множественных преобразований лежит принцип перехода от одного способа задания множества к дру гому: А =<fl,,«2'--.^/v..,«„>, (2) или Переход от интенсионального способа задания множества к экстенсиональному называют принципом свертывания. В множестве могут быть вьщелены подмноо1сества. Вхождение элементов в любое множество или подмножество описывается зна ком принадлежности G , а вхождение подмножества в множество записывается В а А, Это означает, что все элементы подмноже ства В являются одновременно элементами множества А: ->i?c А Ь^е в Ь^е В Ь„еВ bjeA b2e А Ь„еА *Независимо от Г. Кантора математическую теорию бесконечных мно жеств создал чешский ученый Б. Больцано, основной труд которого опубли кован много лет спустя после его смерти. 714 Важным является понятие пустое мноэ/сество - множество, в котором в данный момент нет ни одного элемента: Z) = 0 . При использовании ТМП в соответствии с концепцией Кан тора можно вводить любые отношения. В случае уточнения этих отношений применительно к множествам удобно пользоваться наглядными диаграммами Эйлера-Венна, примеры которых для операции объединения (и), пересечения (& или п), дополнения (отрицания, обозначаемого знаком «-» над именем множества либо знаком «-1» перед именем множества или его элемента) приведены на рис. 2. Теории, развивавшиеся на базе ТМП, первоначально исполь зовали отношения, подобные функциям алгебры логики, и в пер вую очередь - бинарной алгебры логики Буля (см. Математи ческая логика). В большинстве работ [1, 2, 3, 7, 12 и др.] ТМП излагаются на приме ре теории чисел, для развития которой достаточно основных элемен тарных отношений €, ^, с, (Z, с, U, п, -п. По мере приложения ТМП к более сложным проблемам отношения начинают заимствоваться из математической лингвистики (которую те ория множеств, в свою очередь, помогает развивать), а при отображе нии особо сложных проблемных ситуаций с неопределенностью разра батываемую или исследуемую систему отображают множествами с отношениями произвольного типа (так, например, в случае применения ТМП в ситуационном моделировании используются отношения «быть над», «быть под», «находиться рядом» и т.п., которые допустимо обо значать в разрабатываемом на этой основе языке моделирования про извольными символами, удобными ЛПР). Особого внимания заслуживает преобразование множеств путем установления взаимоотношений между элементами разных исходных множеств. Из двух или нескольких множеств можно сформировать ус тановлением отношений между элементами этих множеств новое множество. Это новое множество, как правило, следует рассмат ривать как состоящее из принципиально новых элементов. Например, объединяя элементы из множества «конденсаторы С» и множества «катушки индуктивности L», получим новое множество «ко лебательные контуры КК» (если, конечно, введенное отношение между исходными элементами отображает необходимые действия по объеди нению соответствующих выводов конденсаторов и катушек индуктив ности). Аналогично можно отобразить процесс бракосочетания: из мно жеств «женихи Y» и «невесты G» в ЗАГСе путем соответствующей 715 Наименование Диаграмма Обозначение Множество А ла Дополнение С множества А СА, А, -пА Множество В Дополнение С множества В Г-Г^''''^"."''^'// ш . "^ ^ N В ,г,')ГТ",' "1 sfA^'^Y^: СА, В, -пВ Множество А Множество В и их дополнения С СА 0Э А, В, СА, СВ СВ Объединение Av\B А и в, С(САпСВ), САпСВ Пересечение А\лВ А^В АглВ, С(С/\иС8), 'САлТсВ Пересечение множества А и дополнения множества В АпСВ Дополнение объединения множества А и дополнения множества В С{А U СВ) 716 Продолэ/сение Наименование Дополнение объединения множеств Av\B Дополнение пересечений множеств Лив Дополнение пересечения множеств А и дополнения множества В Объединение множества А и дополнения множества В Дополнение множеств А\АВ и их дополнений СЛ и CS |сА^ \СА 1 у' '' . \СА \СА': \СА Диаграмма i±) Ш) Ш Ш щ св| св| •св\ св\ св\ Обозначение С{АиВ) САпСВ С(А п В) САиСВ С(АпВ) CAKJCB С{А п в) САиСВ С(А п В) САиСВ Рис.2 операции (процедуры регистрации брака) формируется множество «Се мьи С», элементы которого с^ = < у. rj^g^ >, где у. G У, gj G G.rj^e R^, R^ - множество взаимоотношений между людьми, имеющих принципиаль но новый смысл для общества. При этом важно отметить, что не только установление како го-либо вида специальных отношений, как в приведенных при мерах, но и формирование элементов нового множества путем простого «помещения рядом» элементов исходных множеств по зволяет получать эффект появления нового смысла, что обеспе чивается доосмыслением взаимоотношений человеком на осно ве его предшествующего опыта. Это важно при моделировании ситуаций с большой исходной неопределенностью, когда неизве стен характер взаимоотношений между элементами разных групп 717 (подмножеств), выявленных для отображения системы, проблем ной ситуации. Данный эффект используется при моделировании процесса автоматизации формирования и анализа структур целей и функ ций (см.), в теории морфологического моделирования (см. Мор фологический подход). При использовании таких преобразований необходимо предвари тельно оценивать перебор. При получении нового множества из элемен тов 2, 3 или более исходных подмножеств с математической точки зрения имеет место оиерзтия размещения с повторениями, при использо вании которой число получаемых компонентов К = к^хк2Х... хк^, (3) где к^, /:2,. ., к^ - количества элементов в подмножествах Л/р Л/2,... Л/^, что дает существенно меньший перебор, чем формирование со четаний (число которых С^'" = п\/т\(п-т)\). Между теоретико-множественными описаниями разных систем или их частей можно устанавливать соответствия. Для характеристики сход ства множеств (подмножеств) можно использовать понятия гомоморфиз ма (см.), изоморфизма (см.), автоморфизма, отношения рефлексивпоспт, симметричности, транзитивности (см. Семиотические представления), заимствованные теорией множеств из других.разделов математики. Для отображения систем важными понятиями являются понятия ор динарного и экстраординарного множеств. Если множество сформиро вано из геометрических фигур, например треугольников, и принято ус ловие, что формирование нового множества осуществляется в той же плоскости, то полученное новое множество будет также плоской гео метрической фигурой, а, возможно, даже и треугольником. Такие мно жества относят к классу ординарных. Аналогично можно посмотреть на множество колебательных контуров, которые так же, как конденса торы и катушки индуктивности, являются элементами радиотехничес ких устройств. Однако, учитывая принципиально новые свойства колебательного контура, можно эту же ситуацию трактовать как формирование экстра ординарного множества с принципиально новыми свойствами элемен тов. При формировании экстраординарного множества в примере с семьей изменяются не только свойства множества, но и суть и даже наи менования исходных элементов («жених» —> «муж», «невеста» -> «жена»). Важным понятием для освоения и использования ТМП явля ется понятие континуума (от лат. continuum - непрерывный) - связного обобщаюндего множества (т.е. как бы единого непре- 718 рывного пространства), в рамках которого осуществляются опе рации над множествами (их изъятие, добавление новых, объеди нение, пересечение и т.п.). В простейших случаях континуум может быть задан грани цей, которая не изымается даже в случае, если исключаемое мно жество (подмножество) вплотную смыкается с этой границей (в примерах, приведенных на рис. 2, роль континуума играет пря моугольник). Роль континуума может играть пустое множество, значительно больших потенциальных размеров, чем входящие в него подмножества. Но в более общем случае, особенно при ото бражении открытой системы (см.), в которую могут постоянно включаться новые подмножества с непредсказуемыми граница ми, континуум формируется как внешняя граница всех пересека ющихся или другим образом взаимодействующих подмножеств, с помощью которых отображается система. Понятно, что в случае моделирования развивающихся систем континуум постоянно видоизменяется, и его изменения, в том числе сохранение связности, нужно постоянно уточнять. Благодаря тому, что в соответствии с первоначальной кон цепцией Кантора в случае применения теории множеств допус тимо введение любых произвольных отношений, ТМП стали использоваться как обобщающий язык при сопоставлении раз личных направлений математики и других дисциплин, явились основой для возникновения новых научных направлений или раз вития существующих. В частности, ТМП получили широкое распространение для уточнения ряда математических направлений (первой теорией, для которой на основе этих представлений были получены важ ные новые результаты, была теория чисел); сыграли большую роль в становлении комбинаторики, топологии, в разработке теории «размытых» множеств Л. Заде [6]; на их основе стали создаваться первые информационно-поисковые языки, языки автоматизации моделирования; на ТМП базируется вариант математической теории систем М. Месаровича [9]. Использование ТМП при моделировании систем позволяет организовать взаимодействие и взаимопонимание между специ алистами различных областей знаний. С их помощью можно за писать различные определения системы и выбрать из них то, ко торое в наибольшей степени отражает концепцию исследователей, проектировщиков. 719 Конкретная система при первоначальном описании может быть отображена теоретико-множественной формулой, включа ющей наборы различных элементов (например, А, В, С), отноше ний между ними (Л), которые могут быть также разделены на подмножества (R^, R^, /?з ^ ^Д)' свойств элементов (g^^, 2/,» Q^ и свойств отношений {Q^\ могут быть учтены множества входных воздействий X и выходных результатов Y [3]: S = <^, 5, С, R, е^, е^, е^, е,, х, г>. (4) Затем, по мере накопления сведений о системе, теоретико-мно жественная формула (4) может измениться и отразить взаимоот ношения между группами множеств: S=<{x^)R,{aj\R^{bf;\R^{c^l}>, (5) а в дальнейшем описание может уточняться: могут быть введены подмножества и отношения между ними и их элементами; деле ние на подмножества может быть повторено неоднократно, и таким образом с помощью ТМП может быть отображена много уровневая структура; отношения могут быть уточнены в виде набора правил преобразования множеств или подмножеств. Как уже было отмечено, при использовании ТМП в принци пе можно вводить любые отношения. Однако при произвольных отношениях в формализованном с их помощью описании про блемной ситуации довольно быстро могут обнаружиться нераз решимые противоречия - парадоксы, апории или антиномии, что не позволяет оперировать с получаемыми теоретико-множествен ными моделями таким же образом, как с классическими матема тическими соотношениями, гарантируя достоверность получае мых результатов. В качестве примеров парадоксов приводят обычно: парадокс ло/сеца (нельзя дать положительного ответа на вопрос: «Ты лжешь?»), парадокс парикмахера, которому отдано распоряжение «брить всех мужчин в полку, которые не бреются сами». Действительно, если попытаться формально записать ситуа цию парадокса парикмахера, то возникает неразрешимое проти воречие: парикмахер X принадлежит множеству одновременно мужчин Л/р которые не бреются сами и которых по распоряже нию он обязан брить, и множеству тех мужчин М2, которые бре ются сами и которых согласно распоряжению он брить не дол- 720 жен, и эти множества М^ и М2 не пересекаются и не входят одно в другое, т.е. должно иметь место: XG М^.Хе Л/2, М^^М^п М2 = 0, что невозможно. С примерами антиномий можно познакомиться в популярной брошюре Н.Я. Виленкина [2], в которой наряду с известными па радоксами приводятся ситуации возможности получения в слу чае применения ТМП «безразмерных гостиниц» лемовского ге роя Иона Тихого*. Примеры парадоксов легко можно найти во многих высказы ваниях неформализованного текста, например, «Ты должен сам любить меня» (если «должен», то «не сам»; если «сам», то никому ничего «не долэ/сен»). На этом свойстве текстов основаны некоторые психологичес кие тесты. Эта принципиальная особенность текстов не позволяет одно значно отразить с их помощью проблемные ситуации и требует перевода текстов в формализованные описания с использовани ем специализированных знаковых систем, языков, в которых по возможности устранены парадоксы. Для разработки таких язы ков могут быть использованы ТМП, которые позволяют выяв лять и устранять парадоксы, ограничивая при этом свободу вы бора отношений, т.е., строго говоря, огрубляя качественное описание, уменьшая его полноту. Такие ограничения в случае применения ТМП можно делать осознанно, фиксировать и пересматривать при необходимости. При разработке языков моделирования полезно ознакомиться с конструктивной теорией множеств (см., например, в [7]).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ» з дисципліни «Теорія систем і системний аналіз в управлінні організаціями»
