Классификации методов формализоваиного представления систем
В большинстве первоначально применявшихся при иссле довании систем классификаций выделяли детерминированные и вероятностные (статистические) методы или классы моделей, которые сформировались в конце прошлого столетия. Затем по- .явились классификации, в которых в самостоятельные классы выделились теоретико-мнооюественные представления, графы, математическая логика и некоторые новые разделы математики. Например, в классификации современного математического ап парата инженера В.П. Сигорского [11] ъьт^п^пыMnooicecnwa, мат рицы, графы, логика, вероятности. В одной из первых классификаций, предложенных специально для целей системных исследований академиком А.И. Кухтенко [9], наряду с выделением таких уровней математического абстрагирования, как общеалгебраический, теоретико-мноэ/сествен- ный, логико-лингвистический, предлагается рассматривать инфор мационный и эвристический уровни изучения сложных систем. Имеются и другие классификации (см., например, [13]). Далее кратко характеризуется классификация Ф.Е. Темнико- ва, предложенная в [5], в которой выделяются следующие обоб щенные группы (классы) методов (табл. 1): аналитические (см.), к которым в рассматриваемой классифи кации отнесены методы классической математики, включая интег- ро-дифференциальное исчисление, методы поиска экстремумов функций, вариационное исчисление и т.п.; методы математичес кого программирования; первые работы по теории игр и т.п.; статистические (см.), включающие и теоретические разделы математики - теорию вероятностей, математическую статистику и направления прикладной математики, использующие стохас тические представления - теорию массового обслуживания, ме тоды статистических испытаний (основанные на методе Монте- Карло), методы выдвижения и проверки статистических гипотез А. Вальда и другие методы статистического имитационного мо делирования); теоретико-мноэ/сественные (см.), логические (см. Математи ческая логика), лингвистические (см. Математическая лингвисти ка), семиотические представления (методы дискретной математи ки), составляющие теоретическую основу разработки языков моделирования, автоматизации проектирования, информационно- поисковых языков; Т а б л и ц а 1 Класс методов и симюличе- ский образ Основная терминологая и примеры теорий, возникших и развивающихся на базе соответствующего класса методов Сферы и возможности применения Аналитиче ские Ф[5х] Лнаттинескымы здесь названы методы, которые ряд свойств многомерной, многосвязной системы отображают в «-мерном пространстве в виде одной единственной точки (безразмерной в строгих мате матических доказательствах), совершающей какие- либо перемещения в пространстве (или обладающей каким-то поведением), ^ о отображение осуществ ляется посредстюм оператора (функции, функцио нала) Ф[3], Можно также две (или более) системы или их части отобразить точками и рассматривать взаимодействие этих точек. Поведение точек, их взаимодействие описываются строгими соотноше ниями, имеющими силу закона. Основу понятийного (терминологического) аппа рата этих представлений составляют понятия класси ческой математики {величина, формула, функция, урав нение, система уравнений, логарифм, дифференциал, интеграл и т. д.). На базе аналитических представлений возникли и развиваются математические теории различной сложности - от аппарата классического математи ческого анализа (методы исследования функций, их вид, способы представления, поиск экстремумов функций и т.п.) до таких новых разделов совре менной математики, как математическое програм мирование (линейное, нелинейное, динамическое и т.п.), теория игр (матричные ифы с чистыми стра тегиями, дифференциальные ифы и т.п.). Применяются в тех случаях, когда свойства системы можно отобразить с помощью детерми нированных величин или зависимостей, т.е. когда знания о процессах и событиях в некотором интер вале времени позволяют полностью определить по ведение их вне данного интервала. Эти методы ис пользуются при решении задач движения и устойчивости, оптимального размещения, распре деления работ и ресурсов, выбора наилучшего пути, оптимальной стратегии поведения, в том числе в конфликтных ситуациях и т.п. Математические теории, развивающиеся на базе аналитических предстаклений, стали осноюй многих прикладных направлений, в том числе теории авто матического управления, теории оптимальных реше ний и тд. При практическом применении аналитических представлений для отображения сложных систем следует иметь в виду, что они требуют установле ния всех детерминированных связей между учи тываемыми компонентами и целями системы в виде аналитических зависимостей. Для сложных многокомпонентных, многокри териальных систем получить аналитические зави симости крайне трудно. Более того, даже если это и удается, то практически невозможно доказать правомерность применения таких выражений, т.е. адекватность модели рассматриваемой задаче. 4^ as Продоллсение Класс методов и символиче ский образ Статистиче ские а^^ Ь Основная терминология и примеры теорий, юзникших и развивающихся на базе соответствующего класса методов Статистическим называют отображение системы с помощью случайных (стохастических) событий, процессов, которые описываются вероятностными характеристиками и статистическими закономерно стями. Статистические отображения системы можно представить (см. Символический образ) как бы в виде «размьпхзй» точки (размьп'ой области) в л-мерном пространстве, в которую переводит систему (ее учи тываемые в модели сюйства) оператор Ф[^Я]. «Раз- мьпую» точку следует понимать как некоторую об ласть, хараюгеризующую движение системы (ее поведение); при этом фаниш>1 области заданы с некоторой вероятностью р (под вероятностью собы тия понимается р{Л) = т/п, где т - число появле ний собьп-ия А, п - общее число опьп-ов; если при « -^ 00, то (т/п) -> const.), т.е. как бы «размьпы», и движение точки описывается некоторой случайной функцией. Закрепляя все параметры этой области, кроме од ного, можно получить срез по линии а-Ь, смысл ко торого - воздействие дднного параметра на поведение системы, что можно описать статистическим распре делением по этому параметру. Аналогично можно получить двухмерную, трехмерную и т.п. картины 1 статистического распределения. Сферы и юзможности применения На базе статистических представлений ю з - | никли и развиваются ряд прикладных областей: статистическая радиотехника, статистическая теория распознавания образов, экономическая ста тистика, теория массового обслуживания, а также развившиеся из направлений, юзникших на базе аналитических представлений, - стохастическое] программирование, новые разделы теории игр и т.п. Расширение юзможностей отображения сложных систем и процессов по сравнению с ана литическими методами можно объяснить тем, что в случае применения статистических представле ний процесс постановки задачи как бы частично заменяется статистическими исследованиями, позволяющими, не выявляя все детерминирован ные связи между изучаемыми обьектами (собы тиями) или учитываемыми компонентами слож ной системы, на основе выборочного исследования (репрезентативной выборки) полу чать статистические закономерности и распро странять их на поведение системы в целом с ка кой-то вероятностью. Однако не всегда можно получить статистиче ские закономерности, не всегда может быть определена репрезентативная выборка, доказана 1 правомерность применения статистических законо-На базе статистических предстаапений развива ется ряд математических теорий: математическая статистика, теория статистических испытаний (основой которой является метод Монте-Карло, а развитием - теория статистического имитационного моделирования); теория выдвижения и проверки ста тистических гипотез, базирующаяся на общей тео рии статистических решающих функций А. Вальда (частным случаем этой теории, важным для теории систем, является байесовский подход к исследованию передачи информащ4и в процессах общения, обуче ния и других ситуациях); теория потенциальной по мехоустойчивости и теория решающих функций; обобщение последних двух напраапений - теория статистических решений. мерностей. Если же не удается доказать репрезента тивность выборки или для этого требуется неприем лемо большое щземя, то применение статистических методов может привести к неверным результатам. В таких случаях целесообразно обратиться к методам, объединяемым под общим названием методы дискретной математики, которые помогают разрабатывать языки моделирования, модели и методики постепенной формализации процесса принятия решения. Статистические и теоретико-множественные методы инициировали возникновение теории не четких, или «размьпых», множеств Л. Заде, которая явилась началом развития ноюго направления - нечетких формализации (см. Нечеткие, или размы- тые, множества) и тд. Теоретико- множествен ные представ ления Ф[5х1 Теоретико-множественные представления бази руются на понятиях множество, элементы множест ва, отношения на множествах, континуум. Множества могут задаваться следующими спо собами: 1) перечислением (интенсионально): {а}, где / = 1...П или <а„ а,, ... , д., ... , а>, где А, G /4; 2) путем указания некоторого характеристического свойства А (экстенсионально). В основе теоретико-множественных преобразова ний лежит переход от одного способа задания мно жества к другому. В множестве могут бьпъ выделены подмножест ва. Из двух или нескольких множеств можно сфор мировать путем установления отношений межау элементами этих множеств новое множестю, обла дающее принципиально новыми свойствами, и, как правило, новое качество приобретают и элементы. Благодаря юзможности введения любых отно шений теоретико-множественнью представления используются как обобщающий язык при сопос тавлении различных направлений математики и других дисциплин; они явились осноюй для воз никновения новых научных направлений или раз вития существующих. В частности, теоретико-множественные пред ставления получили широкое распространение для уточнения ряда математических направлений (пер вой теорией, для которой на основе этих представ лений были получены важные новые результаты, стала теория чисел), сыграли большую роль в ста новлении комбинаторики, топологии, в разработке теории «размытых» множеств Л. Заде; на их основе 00 Продолэ/сеиие Класс методов и символиче ский образ Основная терминология и примеры теорий, юзникших и развивающихся на базе соответствующего класса методов Теоретико-множественные представдения до пускают введение любых произвольных отношений. При конкретизащ1И отношений и правил их ис пользования можно получить одну из алгебр логи ки, один из формальных языков математической лингвистики, создать язык моделирования сложной системы, который затем, получив соответствующее название, может развиваться как самостоятельное научное направление. Между теоретико-множественными описаниями разных систем или их частей можно устанавливать соот ветствия: гомоморфизма, изоморфизма, автоморфизма, отношения рефлексивности, симметричности, транзи тивности, заимствованные теорией множеств из других разделов математики. 1 _ _. _ __ .._ . Сферы и юзможности применения стали создаваться первые информационно-поискоЛ вые языки, языки автоматизации моделирования', на теоретико-множественных представлениях базирует ся вариант математической теории систем М Меса- ровича Система может бьтгь представлена союкупно- стью множеств или подмножеств разнородных компонентов с произюльно вюдимыми элемен тами и отношениями. Однако свобода введения произвольных отношений приюдщ к тому, что в формализованном с их помощью описании про блемной ситуации довольно быстро могут обнару житься неразрешимые противоречия - парс^оксы,\ апории или антиномии, что не позволяет оперировать с получаемыми теоретико-множественными моделя ми таким же образом, как с классическими матема тическими (аналитическими, статистическими) со отношениями, гарантируя дрсговерность получаемых результатов. Лошческие методы, или математиче ская логика Ф[5х] Логические представления переводят реальную систему и отношения в ней на язык одной из а1гебр логики (двузначной, многозначной), основанной на применении алгебраических методов для выражений законов алгебры логики. Наибольшее распростране ние получила бинарная алгебра логики Буля (булева алгебра). Базовыми понятиями алгебры логики являются: высказывание, предикат, логические функции {опера ции), кванторы, логический базис, логические законы или теоремы {законы алгебры логики), применяя кото рые можно преобразовать систему из одного описа ния в другие с целью ее совершенствования. Напри мер, получить более простую структуру (схему), содержащую меньшее число состояний, элементов, но осуществляющую требуемые функции. Теоремы доказываются и используются в рамках формального логического базиса, определяемого со вокупностью специальных правил. Логические методы представления систем отно сятся к детерминистским, хотя возможно их расши рение в сторону вероятностных оценок. На базе математической логики созданы и раз виваются теории логического анализа и логического синтеза, теория автоматов. На основе логических представлений первоначально начинали развиваться некоторые разделы теории формальных языков. В силу ограниченности смысловыражакхшх воз можностей бинарной алгебры логики в последнее щземя имеются попьпки создания многозначных (тернарной и т.п.) алгебр логики с соответствующими логическими базисами и TeqxMaMH. Применяются при исследовании новых сгрук-| тур и систем разнообразной природы (технических! о5ьекга, текстов и др.), в которых характер взаимо отношений между элементами еще не настолько! ясен, чтобы было возможно их представление ана литическими методами, а статистические исследо вания либо затруднены, либо не привели к выявле нию устойчивых статистических закономерностей. В то же ^ м я следует иметь в виду, что с помо щью логических алгоритмов можно описывать не любые отношения, а только те, которые предусмотре ны законами алгебры логики и удовлетворяют требо ваниям логического базиса Логические представления широко применя ются при исследовании и разработке автоматов разного рода, автоматических систем контроля, при решении задач распознавания образов. На их основе развивается самостоятельный раздел тео рии формальных языков - языки моделирования проблемных ситуаций и текстов. Вместе с тем смысловыражаюшие юзможно- сти логических методов офаничены базисом и не всегда позволяют адекватно отобразить реальную проблемную ситуацию. Поэтому стали предпри ниматься попьп-ки создания вначале тернарной логики, а затем и многозначных логик, вплоть до непрерывной. Однако попьпки создания многозначных логик на практике пока не находят широкого примене ния из-за сложности обоснования логического базиса и доказательства формальных теорем-законов много значной алгебры лошки, без чего невозможно фор мально применягП) логические законы и aлгopит^vlы и получать достоверные результаты. Продолэ/сение Класс методов и символиче ский образ Основная терминология и примеры теорий, юзникших и развивающихся на базе соответствующего класса методов Сферы и юзможности применения I Лингвистиче- ские и семио тические пред ставления, или математиче ская лингвис тика и семио тика 4S,] Основными понятиями, на которых базируются лингвистические представления, являются понятия: тезаурус Т, грамматика G, семантика, прагматика. Термин тезаурус (от греч. GrjSaupoi; - сокровищ ница, богатстю, клад, запас и т.п.) в общем случае характеризует «совокупность научных знаний о яв лениях и законах внешнего мира и духовной дея тельности людей, накопленную всем человеческим обществом». В математической лингвистике и семиотике термин тезаурус используется в более узком смысле, для характеристики конкретного языка, его много уровневой структуры. Для этих целей удобно поль зоваться одним из принятых в лингвистике опреде лений тезауруса как «множества смысловыражаюших элементов языка с заданными смысловыми отноше ниями», которое дал Ю.А Шрейдер. Для системных приложений интересно сочетание математической лингвистики и семиотики, которая юзникла как наука о знаках, знаковых системах. Однако некоторые школы, развивающие семио тические представления, равноправно пользуются в семиотике понятиями математической лингвистики, такими, как тезаурус, грамматика, семантика и т.п. Такие представления иногда называют лингвистиче ской семиотикой или лингвосемиотикой. С теоретической точки зрения фаницу между лингвистическими и семиотическими представле- ниями при разработке языков моделирования можно Для практических приложений модели лингвис тических и семиогических представлений можно рас- смафивагь как один класс методов формализованного представления систем. Лингвистические и семиотические представле ния возникли и развиваюггся в связи с потребно стями анализа текстов и языков. Однако ю второй половине XX в. эти представления стали широко применяться для отображения и анализа процессов в сложных системах в тех случаях, когда не удается применить сразу аналитические, статистические представления или методы формальной логики. В частности, лингвистические и семиотиче ские представления являются удобным аппаратом (особенно в сочетании с графическими) для пер- юго этапа постановки и формализации задач принятия решений в ситуащмх с большой на чальной неопределенностью, чем и был вызван интерес к этим методам со стороны инженеров и специалистов, занимающихся исследованием и разработкой сложных систем. На их основе разра батывают языки моделирования и автоматизации проектирования. В случае применения этих методов следует иметь в виду, что при усложнении языка модели рования, применении правил произвольной грам матики или семиотики трудно гарантировать дос товерность получаемых результатов, возникают проблемы алгоритмической разрешимости, пара доксов, которые частично могут бьп"ь преодолены с помощью содержательного контроля и коррек тировки языка на каждом шаге его расширения в диалогоюм режиме моделирования. При этом разработчик языка моделирования не всегда мо жет формально объяснить его возможности, про исходит как бы «выращивание» языка, у которого появляются новые сюйства, повышающие его смысловыражающие возможности. определить характером правил фамматики: если пра вила не охватываются классификацией формальных грамматик Н. Хомского, то модель относят к семио тической и применяют произвольные правила взаи моотношений между знаками, отображающими ком поненты модели, допустимые семиотикой. Графические представления <t>isj К графическим представлениям здесь отнесены любые графики {диаграммы, гистограммы, графики Ганта, т.е. «время-операция» в прямоугольных коор динатах, и т.д.) и юзникшие на основе графических отображений теории: теория графов, теория сетевого планирования и управления и т.п., т.е. все, что позволя ет наглядно представить процессы, происходящие в системах, и облегчить таким образом их анализ для человека (лица, принимающего решения). Графики Ганта выполнялись с ручным, а в после дующем - и с автоматическим управлением. В даль нейшем на этой основе возникли представления со- юкупности дискретных операций в дискретном времени как множества собьппй, упорядоченных в двух измерениях, - сетевые структуры. Есть и юзникшие на основе фафических пред ставлений методы, которые позволяют ставить и решать юпросы оптимизации процессов организа ции, управления, проектирования и являются мате матическими методами в традиционном смысле. Таковы геометрия, теория графов. Понятие графа в математическом смысле перю- начально было введено Л. Эйлером. 4^ 00 Графические представления являются удоб ным средстюм исследования структур и процес сов в сложных системах, средстюм организации взаимодействия человека и технических устройств (в том числе ЭВМ). На основе сетевых структур возникли при кладные теории: PERT (ProgTam Evaluation and Review Technique - Методика оценки и контроля профамм), теория сетевого планирования и управ ления (СПУ). Перюначально СПУ широко применялись не только в управлении произюдственными процессами (где достаточно несложно построить сетеюй график), но и в системах организационного управ/1ения. Однако применение СПУ ограничивается ее не достатками: 1) теория перюначально была ориенти рована на анализ только одного класса фафов - на правленных (не имеющих обратных связей, т.е. циклов, петель) и 2) доля «ручного» труда ЛПР при ра:рабоже сетеюго графика составляет, по оценкам специали стов, до 95% общих затрат щземени на анализ сшуа- ций и процессов с использованием СПУ. Поэтому разрабатываются методы статисти неского сетевого моделирования с использованием вероятностных оценок и ненаправленных фафов, подходы к автоматизации формирования фафов. графические (см. Графические представления), включающие теорию графов и разного рода графические представления ин формации типа диаграмм, гистограмм и других графиков. Разумеется, в табл. 1 приведены лишь укрупненные группы- направления, конкретные методы которых только в начальный период развития характеризуются рассмотренными особеннос тями. Эти направления непрерывно развиваются, и в их рамках появляются методы с расширенными возможностями по сравне нию с исходными. Кроме того, в математике постоянно возникают новые на правления как бы «на пересечении» методов, отнесенных к упо мянутым укрупненным группам. В частности, на пересечении аналитических и теоретико-мно жественных представлений возникла и развивается алгебра групп; параллельно в рамках алгебры групп и теории множеств начала развиваться комбинаторика (см.); теоретико-множественные и графические представления стали основой возникновения топо логии', статистические и теоретико-множественные методы ини циировали возникновение теории «размытых» множеств Л. Заде, которая, в свою очередь, явилась началом развития нового на правления - нечетких формализации (см. Нечеткие или размытые мноэ/сества) и т.д. Практически невозможно создать единую классификацию, которая включала бы все разделы современной математики. В то же время перечисленные направления помогают понять особен ности конкретных методов, использующих средства того или ино го направления или их сочетания, выбрать методы для конкрет ных приложений.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Классификации методов формализоваиного представления систем» з дисципліни «Теорія систем і системний аналіз в управлінні організаціями»
