Чтобы в рамках термодинамики кристаллов (см. §§ 57, 60, 61, 63) описать нелинейные эффекты, необходимо принять во внимание члены третьей степени в разложениях термодинамических потенциалов. Так, для термодинамического потенциала Ф и изотермических процессов (в = 0) следует вместо F0.8) пользоваться разложением <ь m л- { 1 д2ф \ у у о. ! ( дзф ф - фо + \ дХадХь HЛаЛь +Т \ дХадХьдХс (а, ь, с=1,...,9), где Ха — компоненты вектора напряженности электрического поля Е и тензора напряжений а. Приняв во внимание формулы E7.13), E7.14) и E7.17) и применив для третьих производных термодинамического потенциала обозначения 1 / дзф i j / азф \ «Ч* - 2 \dEidEjdEk h' ij% ~~ 2 \дЕ0Е0оь )о' {7А П Г 1 запишем это разложение в виде Ф = Фо - у KijEiEj - diXEiOb - у s^0^ - у - Pi/xEiEjOK - Q/яц^ог^ - у Lxnvcrx^o'v G4.2) Отсюда по E7.7) получим для вектора электрической индукции D и тензора малых деформаций е обобщение соотношений E7.18) Dt ^iiEf + daGK + RifkEjEk + 2Pi/lEfax + QiKlxaka[iy G4.3a) е^ = dirJEi + s^Ov + Pi^EiEf + 2QaixEla[l + L^a^; G4.36) здесь тильда, как и в гл. VII, означает деление на 4я. 16 Ю, И, Сиротин, М. П. Шаскольская 482 ЭФФЕКТЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ [ГЛ. IX Вместо коэффициентов Р^ Q^, L^v можно использовать в соотношениях для Ь и е компоненты соответствующих материальных тензоров: Dt = KlfEj + dlfkoJk + RmEfEk + 2PifklEfokl + QimmGfkalm, G4.4a) e/y =■ d>kijEk + SykiOkl + PklljEkEi + 2Qlii/lmEkGlm + LijklmnGklGmn- G4.46) Внутренняя симметрия и названия этих тензоров: Тензор Симметрия Название R [V3] тензор квадратичных коэффициентов диэлектрической проницаемости, Р [V2]2 тензор коэффициентов электрострикции, Q У[[У2]2] тензор квадратичных пьезоэлектрических коэффициентов, L [|У2]3] тензор квадратичных коэффициентов упругой податливости *). Правила пересчета, связывающие компоненты этих тензоров с коэффициентами Р/д» Qi^i и L^v» выведены в приложении Е. Внешняя симметрия этих тензоров, как и всяких материальных тензоров, не ниже симметрии кристалла; общий их вид для различных классов приведен в приложении Д (см. также § 48). Тензоры Р и L — четного типа; они отличны от нуля для всех классов симметрии кристаллов. Квадратичные коэффициенты упругой податливости описывают малые поправки к закону Гука. Коэффициенты же электрострикции описывают малые поправки к обратному пьезоэлектрическому эффекту в пьезоэлектрических кристаллах, а для кристаллов непьезоэлектрических классов и изотропных тел вся деформация, обусловленная действием на кристалл электрического поля сводится к электрострикции. Тензоры R и Q — нечетного типа. Тензоры Q отличны от нуля для кристаллов всех нецентросимметричных классов. В частности, на кристаллах класса 432, в которых обычный, линейный пьезоэлектрический эффект невозможен, мог бы наблюдаться квадратичный пьезоэлектрический эффект: электрическая поляризация под действием механических напряжений, пропорциональная, однако, не компонентам тензора напряжений, а некоторым попарным их произведениям. Тензоры квадратичных коэффициентов диэлектрической проницаемости R отличны от нуля тблько у кристаллов, симметрия которых допускает проявление продольного пьезоэлект- *) В литературе можно встретиться с различными способами определения этих тензоров, в частности, с отсутствием коэффициента 1/2 в формулах G4.1); разумеется, при этом коэффициент 1/2 появляется в формулах G4.2) G4.4), Именно так определены тензоры g^ и c?4AV формулами G4.5) - G4.8), § 74] ТЕРМОДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНЫХ ЭФФЕКТОВ 483 рического эффекта; общий вид таких тензоров приведен в табл. Д. 10, а классы симметрии этого эффекта — в табл. 58.3. То обстоятельство, что влияние механических напряжений на диэлектрическую проницаемость в формулах G4.3а) и G4.4а) описывается теми же коэффициентами, которыми в формулах G4.36) и G4.46) описывается электрострикция, — следствие того, что эти коэффициенты — третьи производные термодинамического потенциала (см. G4.1)). По той же причине коэффициенты квадратичного пьезоэлектрического эффекта характеризуют также влияние электрического поля на коэффициенты упругой податливости. Возможность хотя бы приближенного применения термодинамических соображений для уменьшения числа независимых коэффициентов следует иметь в виду при анализе эффектов высших порядков. Например, распространение упругих волн в кристалле, подвергнутом статическому напряжению аст, значительно большему, чем напряжения, связанные с упругой волной, определяется коэффициентами упругости ^ = ^ + £WU\ G4.5) где cfijx — коэффициенты упругости ненапряженного кристалла*). Коэффициенты g-^x — компоненты тензора внутренней симметрии [[Vя]2] [V8], имеющего в общем случае 126 независимых компонент. Рассмотрим, однако, упругую энергию кристалла с точностью до кубичных по деформациям членов: W = ~ cmifitfb +| C^MWv. G4.6) Очевидно, C^v = dzW /дъфг^дъ^ — компоненты тензора внутренней симметрии [[К2]3], у которого, согласно табл. 47.1а и 47.16 в общем случае 56 независимых компонент. Дважды продифференцировав по деформациям упругую энергию G4.6), найдем G4'7) где ev, очевидно, можно рассматривать как е". С принятой здесь степенью точности e£T = svxo£T, где sVK — коэффициент упругой податливости и, следовательно, с^ = с^ + С^у8^а^ш Сравнив это с G4.5), получим - G4.8) Соотношение G4.8) не противоречит тому, что внутренняя симметрия тензора g равна [[К2]2] [У2], но резко уменьшает число независимых компонент этого тензора: со 126 до 56 + 21 = 77, из них *) О распространении упругих волн в этих условиях и другие вопросы нелинейной кристаллоакустики см. Терстон A966); Зарембо и Красильников A970). 16* 484 эффекты высших порядков [гл. тх нелинейно-упругие свойства характеризуют лишь 56. При выводе соотношения G4.8) не учитывается различие между изотермическими и адиабатическими коэффициентами; принимая его во внимание при определении главного члена, т. е. сх% им, по-видимому, можно пренебречь при оценке малых добавок к нему. Вид тензоров C^v и g^v для нескольких классов приведен в табл. Д.24 и Д.25. Ведутся работы по экспериментальному определению и других подобных тензоров, например, тензора квадратичного пьезоэлектрического эффекта и тензора пятого ранга, определяющего составляющую деформации, зависящую от куба напряженности электрического поля: е{}' = А,^/ш£*£/£ш.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Термодинамическое рассмотрение нелинейных эффектов» з дисципліни «Основи кристалофізики»
