Рассмотрим цилиндрический стержень произвольного поперечного сечения плошади S, к торцам которого приложены растягивающие силы So, равномерно распределенные по поверхности торцов; боковая поверхность стержня свободна от нагрузок. Обозначим через q единичный вектор, направленный вдоль оси стержня. Тензор напряжений E3.7) §53] ПРОСТЫЕ НАПРЯЖЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ 325 Тензор Таблица 53.1 Для вссх кристаллографических и предельных классов Системы Триклинная система Моноклинная система 2 |j Х2 2 11*3 Ромбическая система Тригональная, тетрагональная, ** гексагональная системы и текстуры Кубическая система и изотропные тела /2 (^15 ~г" ^2Б "Т~ ^Зб) $11 "Т" ^31 + ^12 0 V2 («1б + «2б + «3в) 0 Sll + «31 + S12 0 0 0 0 0 0 Тензор Sif = sljkk S22 + S12 + S23 0 «22 + «l2 + «» 0 0 0 0 0 S11+S12 + S13 0 0 0 V2 («15+ «25+«35) V2 («15+ «25 +«35) 0 0 0 0 0 0 0 S33+2S13 0 0 очевидно, удовлетворяет граничным условиям. Отсюда по закону Гука определяем деформации е = as : qq, if = esimqkqi. E3.8) Относительное удлинение стержня Д/// = ^nWi ~ GSijkiQiQjQkQh Его отношение к напряжению a — обратная величина модуля Юнга Е для направления q: (q) = Ьцл = qq s: E3.9) Вычисление модуля Юнга можно упростить: если ввести обозначение qtqj = (qq)%, где ij «+ К = 1, ..., 6, то компоненты напряжения 326 упругость кристаллов [гл. vi примут вид 0ц = a (qq)n, деформации ел = os^ (qq)^ и, наконец, обратная величина модуля Юнга E-1(q) = s^(qq)x(qq)ii. E3.10) Эта формула удобнее формулы E3.9), в ней значительно меньше слагаемых, а значения s^ берутся непосредственно из экспериментальных данных. Расчетные формулы для вычисления модуля Юнга собраны в табл. 53.2. Относительное изменение толщины стержня, точнее, его линейных размеров в направлении т, перпендикулярном к направлению растяжения, равно Д/ (т)/1 (т) = е/;тгту. Выразим деформации через напряжение; тогда Д/ (т)/1 (т) = оь^ш^ЩЯиЧь Отношение изменения толщины стержня к изменению его длины, взятое с обратным знаком, называется в теории упругости изотропных тел коэффициентом Пуассона и обозначается v. Если обобщить это понятие на анизотропные тела, коэффициент Пуассона окажется функцией двух взаимно перпендикулярных направлений q и т: _ А/ (т)Ц (т) __ sijklmlmjqkql mm i si qq V(q,m)- A/ (q)/l (q) - ~ snprtqnqpqrqt ~ ~ qq:s:qq Более удобна для вычислений такая форма записи: Можно определить коэффициент Пуассона анизотропной упругой среды и так, чтобы он зависел не от двух единичных векторов, а только от одного, если трактовать его как характеристику изменения площадей в плоскостях, перпендикулярных к направлению растяжения: AS (q)/S (q) -„,. Так как AS (q)/S (q) = е: (I — qq) = Eif Flf — qtqf), a деформации подсчитываются по формуле E3.8), qq:s(\-qq) Ы VW-~ 2qq:s:qq = 2snprlqnqpqrqt ' *МЛ^ Заметив, что (qq : s : qq)'1 — это модуль Юнга Е (q), a qq : s : I = = q -S-q — нормальная составляющая тензора коэффициентов сжимаемости S в направлении q9 получаем еще одно определение для коэффициента Пуассона анизотропной упругой среды: J E3.15) } 53] ПРОСТЫЕ НАПРЯЖЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ 327 Таблица 53.2 Обратная величина модуля Юнга Е-1 (q) = E[hkl]> выраженная через компоненты Qi единичного вектора q и через индексы Миллера Н1 — Нч k, I кристаллографического направления \hkl\ |] q Общие формулы ffi it~%=*\ 6). Триклинная система + (sb5 + 2s31) QsQi + (s6e + 2s12) Q1Q2 + 2 (s14 + s6e) QxQt + +2 (s26 + se4) Q2Q6 + 2 (s3e + s46) Q3Qe+2s,5QiQ5 + + ZsuQ&o + 2s26Q2Qe + 2s24Q2Q4+2s34Q3Q4 + 2s36Q3Q6, где Qi = <7? = (ha sin p —Л6 sin a cos y*J/gt Q* = qi = Wngt Q3 = ql = (ha cos $ + kbcosa + lcJ/g, Q* = ЯъЯъ = (^*) (^a cos P + /гб cos a + /c)/g, Qb = ^s7i = (ha cos P + /г6 cos a + /c) (/ia sin $—kb sin a cos y*)/g, Qq = ?i?2 = (k/Ь*) (ha sin §—-kb sin a cos 7*)/g, cos a + 2lhca cos p + 2hkab cos 7. Моноклинная система B1| X2, m ± X2) E-1=snQf+s22Ql + 533Q1 + (s44 + 2s23) Q2Q3 + («66 + 253i) Q3Q1 + + (see + 2s12) Q1Q2 + 2 (s26 + se4) Q2Q6+2s15QiQ6 + 2S35Q3Q6, где Qi = Я\ = (Л« sin PJ/^r, Q3 = tyf = (Ла cos p + lc)*/g, Q2 = ql = (kbflg, Qb = Wi=Ла sin p (ha cos p + lc)/g, g = /i2a2 + pb*+/2C2 + 2lhca cos P. Ромбическая система S44 + 2s23) qtq\ + 55 + 2s3i) q\q\ + (see + 2s,8) ^?G?, = 4 + 2s23) + /%2c2a2 (s65 + 2s3i) + + hWaW (s6Q + 2s12)]/(/i2a2 + k°-b2 + /2c2J Тетрагональная система su (qi + qi) + s33q* + (su + 2s13) (q\ + qi) ql + + (see + 2si2) q\q\ + 2slQqiq2 ((/? - </|) = (s66 + 2s12) + 2/i^ (Л»-Л«) s16] + для классов 4, 4, 4/ш все коэффициенты s^ отличны от нуля; для классов 422, 4///ш, 42/71, 4/пишп — коэффициент Si6 = 0. 328 упругость кристаллов Ггл vi Таблица 53.2 {продолжение) Тригональная и гексагональная системы (в гексагональной установке) и текстуры £-1 = su A - ql)* + satfi + (S44 + 2sl3) q* A - q\) + — q\) l, + a3c [3/3 Ш (Л — *) s14 + / B/i — ^) BЛ«—/i2 + hk) s2BI} : классы 3,3 —все коэффициенты s^ отличны от нуля; классы 32, Зт, Зт— коэффициент S25 = 0; гексагональная система и текстуры —коэффици0 енты s14 = s26 = Кубическая система l = su — Bsn — 2s12 - s44) (qlq'i + qiql + (/?(/i) = = su - Bs, 1 - 2s12 - s44) Изотропные тела Обозначения. Sy—коэффициенты упругой податливости, а, Ь, с, а, р — параметры кристаллической решетки, Ь*, у* — параметры обратной решетки, А ,, g — см прилол<ение Б При одноосном растяжении объем стержня изменяется (обычно увеличивается). Относительное изменение объема AV/V = &и при этом равно AV/V = oSuqiqf = oq-Sqt E3.16) где S — тензор коэффициентов сжимаемости. Сравнивая этот результат с формулой E3.15) для коэффициента Пуассона v (q), видим, что известная формула AV'V = A — 2v) a/£, определяющая относительное изменение объема при одноосном растяжении изотропных тел, справедлива также и для анизотропных тел в форме На примере коэффициентов Пуассона v {q, m) и v (q) мы еще раз убеждаемся, что одна и та же величина, характеризующая свойство изотропного тела, может обобщаться на анизотропные тела различными способами, и выбор того или иного обобщения зависит от того, какое именно свойство анизотропного тела мы хотим описать.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Одноосное растяжение» з дисципліни «Основи кристалофізики»
