В § 37 показано, что в произвольной, в частности, кристалло- физической системе координат уравнение C7.11) для определения показателей преломления волн, распространяющихся в направлении т, имеет вид = 0. C8.1) Здесь п — показатель преломления, а ти т2, т3 — компоненты единичного вектора волновой нормали т. В системе координат, построенной на собственных векторах диэлектрических тензоров, это уравнение (после умножения на n*N\N\N\ обеих его частей) записывается в форме я4 {N\m\ + N\m\ -f Ы\/гЦ) - п* [N\ (N\ + Щ) m\ + + N\(Nl + N\)m\ + Nl(N\ + N$ml} + N\N\Nl = O C8.2) и называется уравнением Френеля. Оно определяет показатель преломления п как функцию единичного вектора волновой нормали т. Если от начала координат отложить во всех направлениях m отрезки длины п (т), получится двуполостная (так как почти каждому вектору m соответствуют два значения п) поверхность показателей преломления. Ее уравнение в полярных координатах получается из уравнения Френеля C8.2) посредством подстановки ml = cos ф sin О, m2 = sin9sin/6<, ms = cosd, C8.3) а в декартовых — посредством подстановки nm1=x1> nm2 = x2t nm3 = x3t n2 = x\ + xl + xl. C8.4) § 38J ВОЛНОВАЯ И ЛУЧЕВАЯ ПОВЕРХНОСТИ 231 Поверхность эту называют также поверхностью волновых векторов: если из одной точки отложить волновые векторы всех распространяющихся в кристалле световых волн данной частоты, то концы их образуют поверхность, подобную поверхности показателей преломления, так как длины волновых векторов пропорциональны показателям преломления соответствующих волн. Для оптически изотропных сред эта поверхность — сфера. Для одноосных кристаллов уравнение Френеля C8.2) приводится к виду (л2 - N1) {я2 [NI (т\ + ml) + Щт$] + Щ№} = 0. C8.5) С помощью подстановки C8.4) выводим из него уравнение поверхности показателей преломления для одноосных кристаллов (А+А + А - N1) [NI (х\+х1) + Nlx\ - NlNl] = 0. C8.6) Это двойная поверхность, которая распадается на сферу и эллипсоид вращения *\+*\ I A 1 Очевидно, световая волна в кристалле средней категории распадается на две: обыкновенную волну, для которой скорость и показатель преломления no = No не зависят от направления, и необыкновенную волну, для которой показатели преломления пв в разных направлениях различны (рис. 38.1). Сфера и эллипсоид касаются друг друга в двух точках, которые определяют направление оптической оси, совпадающей с главной осью симметрии кристалла. Напомним, что в оптически одноосных кристаллах главная ось симметрии является оптической осью кристалла и одновременно бинормалью (т. е. нормалью к круговому сечению оптической индикатрисы) и бирадналью (т. е. нормалью к круговому сечению эллипсоида Френеля). Волна, идущая вдоль оптической оси, не испытывает двойного лучепреломления. Кристаллы средней категории оптически однооспы. Как указано выше, принято считать одноосные кристаллы оптически положительными, если Ne>N0. т. е. сфера вписана в эллипсоид, и оптически отрицательными, если Ne<N0, т. е. эллипсоид вписан в сферу. Исследование общего уравнения Френеля C8.2) дает возможность выяснить вид поверхности показателей преломления двуос- ных кристаллов. Ее уравнение в декартовых координатах запи-, шем в форме {Х2 + у2 + Z2) (M2pX2 + Nfny2 _|_ Nlz2} _ Щ{М%1 + tf«) X* _ - № (N\ + N1)? - N1 (N1 + Юп) 22 + NlNfnNl = 0, C8.7) 232 ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. IV выявляющей сравнительную величину главных показателей преломления. Анализ этой поверхности четвертого порядка в общем Рис. 38.1. Сечения поверхностей показателей преломления и поверхностей скоростей волн для оптически одноосных кристаллов. виде сложен, поэтому сначала рассмотрим сечения поверхности координатными плоскостями. Сечение ее плоскостью z — О характеризуется уравнением (Х2+у2 _ NIJ(Nlx* + Nhy2 - NINtn) = 0, C8.8) §38] ВОЛНОВАЯ И ЛУЧЕВАЯ ПОВЕРХНОСТИ 233 которое показывает, что это сечение состоит из окружности х2 2 у2 = N\ и эллипса ~ = 1, причем эллипс расположен внутри окружности. Сечение поверхности показателей преломления плоскостью х = 0 также состоит из окружности у2 + z2 = Np и эллипса Ф , г2 -^j-\—2 =1, но в этом случае окружность располагается внутри Ng Nm эллипса. Наконец, в сечении у = О окружность х2 + г2 = N2m и эллипс х2 г2 —- Н—тг = 1 пересекаются. Их общие точки — точки пересечения поверхности показателей преломления оптическими осями, т. е. бинормалями оптической индикатрисы. (Напомним, что у двуосных кристаллов бинормали и бирадиали не совпадают по направлению, см. § 36.) Вид сечений показан на рис. 38.2. Взаимность между волнами и лучами, установленная в § 36, позволяет получить аналогичные результаты и для лучей. Пользуясь заменой C6.7), выпишем в произвольной системе координат уравнение для определения квадратов лучевых показателей преломления световых лучей, распространяющихся в направлении единичного вектора 5 с компонентами slt s2, s3: Рис. 38.2. Сечения поверхности показателей преломления двуосного кристалла координатными плоскостями. «12 «13 Si «22 —Г2 «23 S2 «32 «зз — q-* s3 S2 S3 0 = 0. C8.9) В системе координат, построенной на собственных векторах диэлектрических тензоров т) (со) и к (со), оно (после умножения на q*) принимает вид C8.10) q' {N\N\s\ - q2 [(№ + Щ) si + (Щ + N1) si + (№ + N1) si] +1 =- 0. Из этого уравнения посредством подстановок C8.3) или C8.4) получается уравнение лучевой поверхности (иногда ее называют 234 ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ [ГЛ IV волновой поверхностью); в декартовых координатах оно таково: М + х\ + х\) (ЩЩх\ + N\N\x\ + N\N\xl) - -№ + Nl)xt-(Nl + Nl)xl-(N! + Nl)xl+1=0. C8.11) Так как лучевая скорость и пропорциональна величине q, лучевую поверхность можно наглядно представлять себе как фронт волны, испущенной из точечного источника света, расположенного в центре этой поверхности. Поскольку в каждом направлении, не совпадающем с бирадиалью, распространяются с различными скоростями два взаимно перпендикулярно поляризованных луча, это двуполостная поверхность. По виду она напоминает поверхность показателей преломления, но различие между этими поверхностями состоит в том, что поверхность показателей преломления отсекает на координатных осях отрезки длины No, Ne или Ng, Nmi Npi а лучевая поверхность отсекает на тех же осях отрезки длины l/N01 \INe или \INg% l/Nmi l/Np. Поэтому поверхности обратны. Так, например, для одноосного отрицательного кристалла поверхность показателей преломления — это эллипсоид вращения внутри сферы, а лучевая поверхность — сфера внутри эллипсоида (см. рис. 38.1). Таковы же обратные соотношения для положительных одноосных кристаллов и для двуосных (см. табл. 39.1).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение Френеля. Волновая и лучевая поверхности» з дисципліни «Основи кристалофізики»
